这个题怎么做？ 用根值审敛法？判定收敛性
作者&投稿：犹哄 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
可以如图求出通项开n次方的极限是1/3<1，所以由根值判别法可知这个级数是收敛的。
根值审敛法是判别级数敛散性的一种 方法 ，由法国数学家柯西首先发现。能用比值审敛的也肯定能用根值审敛解决，能根值审敛的不一定能用比值审敛，当数列单调（广义单调）有界时两种方法都可行，遇到负数的n次幂先考虑根值审敛。
一元函数的广义积分敛散性
一元函数的广义积分敛散性的分析，包括判定 绝对收敛性、条件收敛性、发散性，具有广泛的应用性，很多数学建模都得到广义积分，就此首先需要判定广义积分是否收敛，不然就需要考虑模型的合理性。如：
1、绝对收敛性：主要基于比较的思想，但仅限于 不变号的函数，往往可以利用无限小分析方法。
2、自身收敛性：主要基于 Abel-Dirichlet判别法，或者直接按 Cauchy收敛原理进行估计。
3、绝对发散性：对应不变号函数，基于比较的思想。
4、自身发散性 对于具体的广义积分，构造 特定的片段积分 违反 Cauchy收敛原理。
由于n(n+1)(n+2)1/(n+2)，由于∑1/(n+2)是发散的（因为它和调和级数∑1/n有相同敛散性），根据比较审敛法，知所求级数也发散。
如图所示：
亓霭科芬：[答案] lim[:(n/2n+1)^n]^(1/n)=lim(n/(2n+1))=1/2
全州县15574781167： 用根值判别法判定下列级数敛散性n*tan[π/2^(n+1)] - ？
亓霭科芬：[答案] 因为 lim(n趋向于+∞){ntan[π/2^(n+1)]}^(1/n) =lim [nπ/2^(n+1)}^(1/n) =1/2lim (nπ/2)^(1/n) =1/2
全州县15574781167： 用根值审敛法判定下列级数的敛散性 - ？
亓霭科芬： 用根值法 Un=[n/(3n-1)]^(2n-1) lim n→∞ Un^(1/n)=lim [n/(3n-1)]^(2-1/n)=lim [n/(3n-1)]²*[n/(3n-1)]^(-1/n)=lim [1/(3 -1/n)]²* 1=1/3²=1/9所以该级数收敛.
全州县15574781167： 用比值审敛法或根值审敛法判别(n/(2n+1))^(n+1)的敛散性 - ？
亓霭科芬： a(n+1)=[n/(2n+1)]^(n+1).a(n+1)=[1/(2+1/n)]^(n+1)→1/2^(n+1)→0.数列{a(n)}收敛.【1】比值判定.a(n+1)/a(n)=[n/(2n+1)]^(n+1)/[(n-1)/(2n-1)]^n=[n/(2n+1)]*[n/(n-1)]^n*[(2n-1)/(2n+1)]^n=[1/(2+1/n)]*[1/(1-1/n)^n]*[1-2/(2n+1)]^n→(1/2)*e*e^(-1)=1/2数列{a(n)}构成的级数收敛.【2】根值判定.[a(n+1)]^[1/(n+1)=n/(2n+1)→1/2数列{a(n)}构成的级数收敛.
全州县15574781167： (1)判别级数∞n=1n2n的敛散性;(2)判别级数∞n=1n2ncosn2是绝对收敛,条件收敛,还是发散? - ？
亓霭科芬：[答案] (1)级数收敛.设un= n 2n, 因为正项级数, lim n→∞ nun = 1 2<1,故该级数收敛. (2)绝对收敛. 比较审敛法: ∞ n=1 n 2n和 ∞ n=1 n 2ncos n 2都是正项级数, 令cos n 2≤M≤1,且 n 2ncos n 2≤M n 2n≤ n 2n, 又 ∞ n=1 n 2n收敛, 所以级数 ∞ n=1 n 2...
全州县15574781167： 用根值审敛法求∑(n/(3n+1))∧n收敛性 - ？
亓霭科芬：[答案] n/(3n+1)显然是从1/4到1/3的,n无穷大时极限为1/3,其上界小于1,因此原式是绝对收敛的;我不记得学过这个方法,可能当时学的时候不叫这个名字.百科了一下算法直接就发过来了……
全州县15574781167： 判断无穷级数 (n/(3n - 1))^n的敛散性 - ？
亓霭科芬：[答案] 根值审敛法,开完N次就变n/3n-1,lim n趋于无穷,n/3n-1趋于三分之一小于一,则级数收敛
全州县15574781167： ∑1/(ln n)^n敛散性 - ？
亓霭科芬： 这道题用根值法就能直接得出结论 当n趋于无穷大时,lim(1/ln n)=0,根据根值法定义,当此极限小于1时,即可判定级数收敛.PS:根值法,又叫柯西判别法,在有些书中可能省略了,可以查看同济版高等数学下册,正项级数判别法这节.
全州县15574781167： 用根值判别法判定下面级数的敛散性 - ？
亓霭科芬： 结果ρ=1/3<1,∴这个级数收敛
全州县15574781167： 这些级数是否收敛? 怎么判断 - ？
亓霭科芬： 1.先看级数通项是不是趋于0.如果不是,直接写“发散”,OK得分,做下一题;如果是,转到2. 2.看是什么级数,交错级数转到3;正项级数转到4. 3.交错级数用莱布尼兹审敛法,通项递减趋于零就是收敛. 4.正项级数用比值审敛法,比较审敛法等,一般能搞定.搞不定转5. 5.看看这个级数是不是哪个积分定义式,或许能写成积分的形式来判断,如果积分出来是有限值就收敛,反之发散.如果还搞不定转6. 6.在卷子上写“通项是趋于0的,因此可以进一步讨论”.写上这句话,多少有点分.回去烧香保佑及格,OVER!
