关于三角形的重心

三角形的中心、重心的定义？性质？~

三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，这个心是三角形的中心。
三角形重心：三角形三条中线的交点即为三角形重心。
三角形的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

扩展资料五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。
三角形的五心定理 ：①重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
②外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
③垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
④内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
⑤旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
参考资料：百度百科-三角形

三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
中线（中点）运用：
1、几何中的中线（中点）常常是联系在一起的。因此遇到中点这样的条件（或关键词）我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考。
2、在面积问题中，中线把三角形的面积等分，如果两个三角形的高相同，面积之比可转化为底边之比。
3、在涉及中线的有关长度计算问题，往往需要“倍长中线”。


扩展资料
三角形重心常用性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A分别作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB


3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数
即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；
4、三角形内到三边距离之积最大的点
5、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2
参考资料来源：百度百科-三角形重心

【结论：（1）任意一个三角形的三条中线必交于一点，该点称为这个三角形的重心。（2）三角形的重心分是每条中线的一个三等分点。】解：设⊿ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).点D是BC边的中点，则由中点公式得D((x2+x3)/2,(y2+y3)/2).则重心G(x,y)必在线段AD上，且AG:GD=2:1.再由定比分点坐标公式得x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3.

三角形重心是指三条中线的交点，要证明该公式其实是比较繁琐的，也没必要。可以这样帮助理解，一条线段的中点是1/2(x1+x2），那么对于平面坐标系以及对称性，横坐标为x=1/3(x1+x2+x3),纵坐标为y=1/3(y1+y2+y3)可以并不难理解，仔细多想想。找出一些特殊的例子也可以帮助理解，比如说正三角形，重心在原点的。
像这种问题可以有一套自己的理解，多联想下。希望对你有所帮助！

三角形的重心是三角形的三条中线交于一点。

成立，这是放在坐标系中，设三个顶点A（x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),做顶点A的平分线AD，则D为BC中点，D（1/2（x2+x3),1/2(y2+y3)),重心G为AD的一个三等分点，知道G的坐标

梅涅劳斯定理证明重心分中线比为2：1
已知:△ABC中,中线AD,CE交于O,
求证:AO/OD=2:1,
证明:由梅涅劳斯定理,
(AE/EB)(BC/CD)(DO/OA)=1,
即AO/OD=2/1

三角形重心的性质

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宿迁市13952408105： 三角形重心(几何学名词) - 搜狗百科？
辟阅小儿： 三角形重心是三角形三边中线的交点.当几何体为匀质物体时,重心与形心重合.

宿迁市13952408105： 三角形重心公式 - ？
辟阅小儿：[答案] 1.三角形的重心是三角形三条中线的交点. 2.三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2北. 3.在直角坐标系内,若三顶点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则三角形的重心G的坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3). 4.三角形的重心...

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辟阅小儿：[答案] 定义 三角形三条边的中线的交于一点,该点叫做三角形的重心.(三中线交于一点可用燕尾定理证明) 三角形重心的性质 设⊿ABC的重心为O,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2. 1、重心到顶点的距离与重心到对边交点的距离之比为2:1. ...

宿迁市13952408105： 何为三角形的重心 - ？
辟阅小儿： 三角形重心是三角形三边中线的交点.重心顺口溜三条中线必相交,交点位置真奇妙,交点命名为“重心”,重心性质要明了,重心分割中线段,线段之比听分晓;长短之比二比一,灵活运用掌握好.

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辟阅小儿： 三角形重心是三角形三边中线的交点.

宿迁市13952408105： 三角形的重心,中心,外心,内心,垂心分别是怎么定义的?与三角形什么线有关? - ？
辟阅小儿：[答案] 三角形内接圆的圆心就是内心,也就是三条内角平分线的交点 外接圆的圆心就是外心,也就是三边中垂线的交点 三条高的交点就是垂心 三条中线的交点就是重心

宿迁市13952408105： 求关于三角形的知识什么是三角形的重心、垂心、内心、外心 - ？
辟阅小儿：[答案] 所谓三角形的＂四心＂,是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.1.垂心 三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.2.重心 三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形...

宿迁市13952408105： 三角形的重心是? - ？
辟阅小儿： 三角形重心是三角形三边中线的交点.当几何体为匀质物体时,重心与形心重合.重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;垂心:三角形三条高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.望采纳,谢谢啦.

宿迁市13952408105： 三角形的重心是什么,求画图,有什么性质 - ？
辟阅小儿： 三角形三边中线的交点叫做三角形的重心. 画图:取三角形的三边的中点,联结各边的中点与其对角的顶点,三线相交于一点,这点就是重心. 性质1:重心到三角形某角的顶点的距离:重心到该角对边中点的距离=2:1 性质2:重心和三角形3...