Inequalities: 马尔可夫与切比雪夫不等式
作者&投稿：歧孔 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
对于一个未知分布或难以计算的随机变量[公式]，我们通常假设其期望为[公式]，方差为[公式]。马尔可夫不等式是基本的工具，它指出非负随机变量[公式]，如果其期望较小，那么其取较大值的概率也相对较小。例如，当[公式]服从区间[公式]的均匀分布时，虽然马尔可夫不等式给出了一个上界，但这个界限通常较为宽松。
切比雪夫不等式则更进一步，它关注方差。该不等式表明，如果随机变量[公式]的方差较小，那么其值偏离期望的幅度也有限。具体来说，[公式]，其中[公式]是标准差的倍数。与马尔可夫不等式相比，切比雪夫不等式提供了更精确的界限，特别是在处理具有小方差的随机变量时。
然而，当处理一系列独立同分布的随机变量和时，如扔[公式]次硬币正面朝上次数的总和，我们可以考虑使用更高级的工具来改进这些基本不等式，以获得更符合实际问题的界限。这两个不等式虽然基础，但它们为我们理解和控制随机变量的行为提供了关键的数学框架。
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