基本理论的概念

基本概念与基本理论~

6.1.1.1 基本概念
势：初等突变论研究的是势系统。严格力学意义上的势，是一种相对的保守力场的位置能。在热力学系统中，热力学势是自由能，系统演化的方向由它决定。把“势”看作系统具有采取某种趋向的能力。势是由系统各个组成部分的相对关系、相互作用以及系统与环境的相对关系决定的，因此系统势可以通过系统行为变量（状态变量）和外部控制参量描述系统的行为。
这样，在各种可能变化的外部控制参量和内部行为变量的集合条件下，可构成行为空间和控制空间，我们把由n个行为变量构成的n维行为空间（又称状态空间）记为Rn，把m个控制变量构成的m维空间称为控制空间，记为Rm。综合空间则表示为Rn＋m。突变论就是把事物状态的变化发展演化放置在这样的Rn＋m空间中研究其行为突变的。一般而言，Rn＋m是高维空间，被研究对象行为构成的控制与行为空间构成了一种数学上称为超曲面的高维状态曲面。给定控制参量变化范围即在给定控制空间中，看系统的行为参量如何变化，在数学上就称为把系统的行为投影到控制空间上。突变论的另一个重要方法论特点，就是把高维曲面Rn＋m空间投影到控制空间Rm上，研究控制参量C连续变化时事物位势的性质如何变化。m不大时，可以大大降低问题的复杂性。如当m＝3，特别是m＝2时，研究势函数非常方便和容易，并且具有明显几何意义。
定态点：突变论把满足一个滑函数的位势导数为零条件的点称为“定态点”。定态点在不同条件下有不同的分类。如当n＝1时，定态点有三种类型：极大、极小和拐点；当n＝2时，对不同的势函数，定态点有更多的类型。更深刻的差异反映在定态点的退化和非退化上。退化定态点称为奇点，因为在该点附近系统往往出现许多奇异行为［71］。连续变化的原因引起的不连续结果，就发生在奇点上。
势的局域性质：孤立点性质并无太大意义，我们感兴趣的是该点附近系统行为的变化，突变论通过考察，找到了利用一系列定义和定理表达的关于点附近的系统局域性质特征：①非定态点局域无奇异性；②非退化定态点局域无奇异性；③退化定态点局域（莫尔斯与非莫尔斯部分），其中非莫尔斯部分包含奇异性。
吸引子（attractor）。吸引子是系统趋向的一个极限状态。作为一般规则，系统将逐步趋向于唯一的极限状态。不过，也有可能存在多个极限点的情况。根据具体情况，极限状态可是闭轨线，也可是更为复杂的图形，如一曲面或维数很大的一流形。这些极限点的连通集就被称为系统的一个“吸引子”。按照托姆定义，给定这样一吸引子A，动力场中趋向于A的轨线集合构成空间Rk一个区域，此区域称为吸引子A的洼（basin）。若系统具有多个互不相交吸引子，这些吸引子就将处于相互竞争状态，吸引子A有可能受到破坏分解为多个吸引子［彭加勒将这一现象称为“分叉”］。这种情况类似于一个小球在一个凸凹不平的高尔夫球场滚动时的全部行为构成的“相空间”，其行为必然会受到那些被高地分割开的各个低洼的竞争“吸引”。这时，小球的行为在不同地点是不同的，在有些地点就会变得不稳定，其行为的结构空间也因此出现了局域的结构非稳定性。
6.1.1.2 基本理论
（1）拓扑学（Topology）：就是和研究地形、地貌相类似的相关学科，拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。它是研究几何对象在经受了连续变换后保持不变的那些性质，它只考虑物体之间位置关系。拓扑学的性质：①拓扑等价；②有洞无洞；③有边界约束。这里只介绍比较容易理解的一个拓扑性质———拓扑等价。
拓扑学也被形象地成为“橡皮片几何学”。如果在橡皮板上画出一种鱼。然后只要拉伸或压缩橡皮板，就可以从一种图像连续地变为另一种图像，这种操作可理解为拓扑变换或微分同胚。如果两个几何对象之一可以连续地变形到另一个无任何撕裂或无不同点黏合，则把它们看做是拓扑等价或是同胚的。微分同胚指一个一一对应的连续可微变换。如果两个几何对象是微分同胚的，并且变形不引起皱褶或展平折痕，则它们就是微分同胚的。只要两个几何对象是拓扑等价的，经拓扑变换后它们的定性性质会保持不变，即结构是稳定的，或称保持着结构稳定。例如，对于一个动力系统，如果可能控制参数连续变化，它的相空间的奇点数目以及吸引子和排斥子的性质不变。尽管奇点周围轨线的分布形状发生变化，我们认为它的结构霉变，即变化前后是拓扑等价的。突变理论是在更一般意义上来研究分支点集的拓扑结构不变形。
（2）奇点理论：英国数学家桑德斯［18］指出：“突变理论士关于奇点的理论”。所谓奇点是对于正则点而言的。一般说来，正则点是大量的，而奇点则是个别的，因为奇点奇特个别，因而它在数学中占有重要的地位。从数学观点看，突变现象也叫做“不稳定奇点”。
突变理论主要考虑某种系统或过程，从一种稳定态到另一种稳定态的跃迁。所谓稳定态是指系统或过程某一状态的持续出现。一个系统所处的状态可用一组参数来描述，当系统处于稳定态时，该系统状态的某个函数取唯一的极值，如能量取极小、熵取极大等。当参数可在某个范围变化时，该函数如果存在多个极值时，那么该系统必定处于不稳定状态。
从数学的角度考虑一个系统是否稳定，常常要求出某函数的极值，即求函数的导数为零的点，该点就是最简单的奇点，或称临界点。
设函数为Fuv（x）的临界点就是求微分方程的解，当给定u，v时

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可以得到一个或几个临界点x，因此，临界点可看作是参数u，v的单值或多值函数，记为x＝l（u，v）。显然，这样的函数在几何上可以确定一个三维欧式空间，即（u，v，x）最近红的一个曲面，即临界点的几何，称临界曲面。使函数取极值的点称为稳定点，临界点不一定是稳定点，所以临界点可能使系统稳定或不稳定。因此研究系统稳定与不稳定就是函数Fab（x）的极小值变化问题，称Fab（x）为势函数。
下面给出动力学系统的一般描述。设由n个状态变量（又称内部变量）x1，…xn和m个控制参数（又称外部变量或控制变量）u1，…um描述的系统动力学方程可写为

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该方程成为自治动力方程（方程的右边不含时间变量），方程右边可以表达为一个势函数v（x｛j｝，u｛a｝）的梯度，即

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此方程称为梯度动力系统，它的定态解由 求得。定态解｛xj0｝在相空间表现为奇点。突变理论就是利用势函数v来研究奇点如何随控制参数变化，以及v与｛xj｝和｛ua｝的拓扑不变关系的理论。
（3）结构稳定性理论：
A Hessen矩阵与余秩数：奇点的稳定性可由势函数的二阶导数来确定，势函数的Δ极小值点为吸引子，极大值点为排斥子。势函数的梯度 确定了奇点，而奇点的性质由它的二阶偏导数矩阵来确定，即

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矩阵

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称为Hessen矩阵。
若Hessen矩阵的行列式detVij≠0，则由梯度为

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确定的奇点，称为孤立奇点（或称Morse奇点）。Hessen矩阵是对称的，经过线性变换（如正交变换）可划为对角阵，对角阵元ω1，ω2，…ωn是Hessen矩阵的特征值。
奇点与控制参数有关，故特征值也是控制参数的函数。如果在控制参数u1，u2，…，um取某些特定值时ωi（i＝1，2，…l）为0，这时Hessen矩阵就不是满秩阵，即detVij＝0，这时由ΔV＝0和detVij＝0确定的奇点是非孤立奇点（或非Morse奇点），l是Hes－sen矩阵的余秩数，Hessen矩阵的秩为n－l。
B Morse引理：势函数V（x｛j｝，u｛a｝）可在奇点附近按Taylor级数展开。假定Δ奇点取在相空间原点，这样的展开式中常数项可取为零。由奇点的定义，一阶偏导数

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也为零。于是有

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假如上式已通过线性变换把Hessen矩阵化为对角形，Hessen矩阵的秩为n，则奇点性质完全会由Hessen矩阵的特征值ωi来决定，高次项不起作用，这时的势函数称为Morse势，它的结构是稳定的。
如果Hessen矩阵的秩为n－l，则有ω1＝ω2＝…＝ωl＝0，二阶偏导数不能决定状态变量x1，x2，…，xl的奇点性质，需考虑势函数对它们的三阶偏导数。这样余函数为l的Hessen矩阵可把势函数分为Morse部分和非Morse部分，即

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式中 是孤立奇点对应的Morse部分；VNM是非孤立奇点对应的非Morse部分。显然，VNM是Taylor级数展开式中关于x1，x2，…xl的三次项，如果势函数对它的三阶偏导数为零，就应去考虑四次项为零，以此类推。
结构不稳定性只局限于状态变量x1，x2，…xl，其余状态变量xl＋1，xl＋2，…xn均与势函数的性质无关，因而可忽略。这一结果表明，势函数可剖分为Morse部分和非Morse部分；同时，将状态变量也剖分为两部分，与结构稳定性有关的实质性变量和与结构稳定性无关的非实质性变量。这一结论称为Morse引理，在分析突变类型时，可将第二部分略去。可能出现的突变类型的树木不取决于状态变量的数目n，而取决于实质性变量的数目l，即取决于Hessen矩阵的余秩数l。
C 万能展开与余维数：上述势函数中的VNM是突变的生成项，它是结构不稳定的。通过添加一些项使其变为上述意义的结构稳定函数，这个添加过程成为扩展。
例如，以VNM＝x4为例来说明万能扩展的概念。x4→x4＋ax2仍然是结构不稳定的，因为再添加其他项还会得到与x4＋ax2不同的类型。如把x4扩展为

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则 的结构是稳定，因为外加五次项或高次项不会影响它的类型，而且没有更低次项可供添加。 是x4的结构稳定的扩展，结构稳定的扩展称为完全扩展。
其实不必添加所有低次项就能获得一个结构稳定的扩展，通过坐标平移，可把 中三次项和常数项消去，得到

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V（x）也是x4的一个完全扩展，它同 是拓扑等价的，即在函数族 中遇到的所有类型也都出现在函数族V（x）中，但V（x）只用了两个扩展参数u和v，把扩展参数最少的完全扩展成为万能扩展。
万能扩展所需要扩展参数的数目等于余维数。余维数定义为几何对象的维数与所在空间的维数之差，它表示描述几何对象所需要的方程数目。例如，在三维空间的一个二维曲面（几何对象），它的余维数为1，需要一个方程来描述；在三维空间的一维曲线，其余维数为2，需要两个方程；在三维空间零维的点需要三个方程，其余维数也为3。
余维数有剖分性和不变性两个重要性质：剖分性是指不论几何对象的维数是多少，只有当它的余维数为1时才能将它所在空间剖分成两个不同的部分；不变性是指一个势函数的状态变量被剖分成实质性的与非实质性的两部分时，略去非实质性部分后余维数是不变的。

地幔柱（mantle plume）也被译成地柱、幔羽、幔柱、地幔羽、热幔柱、热柱、热幔热流柱 等。自1963年，Wilson提出热点假设以来，有关地幔柱（mantle plume）和热点（hotspots）的 定义或概念至今还未统一。
Morgan（1971）认为“地幔柱”是深部热的地幔物质上涌形成的，其可能起源于接近地核 的地幔深部，即核-幔边界的热层（thermal boundary layers）（又称D″层），是由于热浮力作 用而上升，热点活动是其在地表的表现形式；Deffeys（1972）认为地幔柱是下地幔上涌形成 的；Anderson（1975）则认为热幔柱与其说是热柱，不如说它是一种化学柱，它的化学成分与 周围地幔物质有明显的差别，它来源于地幔底部层D″；Hofmann（1997）在研究海洋火山 作用的基础上认为地幔柱是一种近似固态、起源于深660 km处的地震间断面或近2 900 km 处核-幔边界的低密度上升热流。核-幔边界的D″层从外地核那里聚集了大量放射性元 素，放射热导致D″层具有高温低黏度特征，从而形成地幔柱。后来许多研究者的工作进一 步证明地幔柱起源于地幔底部与地核之间热边界层（thermal boundary layers）。因此，概括 地说，地幔柱是指储藏巨大能量的热柱和化学成分与周围有明显差别的化学柱的综合，它可 起源于地球内部不同的深度（李子颖，1999）。
地幔柱从产生到消亡时间延续可达100 Ma，一般经历的过程如下（图1-1）：（1）核-幔 边界或地幔物质被加热；（2）在浮力和压力的作用下，向上产生大的球状体，形成地幔柱雏 形；（3）产生的球状体不断向上运动，在其下部形成较小的管状通道；（4）地幔柱前部到达岩 石圈时，受其作用产生延展，同时对岩石圈产生作用，形成拉伸、断裂和裂谷等；（5）减压熔 融产生岩浆的喷发和侵入，其规模随时间演化从大到小；（6）地幔柱失去能量，最终消亡。

图1-1 计算机模拟的地幔柱产生、演化和形态特征示意图

地幔柱构造对洋壳和陆壳的作用特征不太相同，在洋壳往往产生大规模的基性岩浆的 喷发，而在陆壳，由于硅铝质的混合使其既有酸性也有基性的岩浆喷发和侵入作用。
地幔柱构造的规模在很大程度上取决于其运移的距离以及其通过的周围介质的物理性 质，如黏度等。现代地幔柱在地幔中上升时，其影响的直径范围可达800～1 200 km，而在太 古宙则要小，直径变化在600～800 km。日本学者丸山茂德（S.Maruyama，1994）、深尾良夫（Fukao）利用地震层析成像研究地球深部构造，并以地幔底界（2 900 km），上地幔底界（670 km）和地壳底界（100 km）为限，划分为一、二、三级地幔柱，如图1-2所示。实际上，到达地表的即是热点活动。
有关热点作用的认识和起因也并不一致，Turcotte，Oxburgh（1973，1976）认为扩张的裂 陷可导致热点的形成，Sykes（1978）提出构造的活化也可形成热点，Sleep（1984）认为热点起 因于不均一的地幔。一般的说，热点被认为是地幔柱到达于地表之处的作用形式（Wilson 1963，Morgan 1971等）。
作者认为热点作用是在地幔柱直接作用下或在其影响下较长时间多期次改造深部壳幔 物质于地表的综合地质作用，热点可起源于地壳或地幔的不同深度。热点作用一般其规模 为数百至数千平方千米。热点作用根据其作用背景的不同又可分为大洋型和大陆型热点作 用。大洋型热点作用由于地壳和岩石圈较薄的洋壳，一般上升的炽热地幔柱可把上覆岩石 圈抬升，使地壳呈现巨大穹隆构造，地幔柱冲破岩石圈作用于地表多以大规模的基性火山喷出作用为特点，典型热点例子是在大洋环境中形成的火山岛链（海山链），如夏威夷岛链，它 们也被称之为热点行迹，它们比周围洋底高1～2 km，形成一条长1000～2000 km的异常地 形高地。大洋内线状排列的火山岛链，是大洋岩石圈活动板块在上地幔中的固定热点之上 的运动所造成的。大陆型热点作用于硅铝壳较厚的陆壳，一般产生熔融和混熔并在热动力 作用下出露地表或浅层，多产生构造伸展、多期次成分复杂的岩浆活动和火山作用、流体活 动等，且岩浆活动多以酸性组分为特点。据1998年美国《科学新闻》报道，格兰特等人通过 对地震波的研究发现，在地幔底部同地核交界处存在厚度5～40 km的“超低速带”（ul- tralow velocity zone），这些地带里物质呈半熔融高温状态，从而迟滞了地震波的传递。半液 体状态的地幔向外传递地核热能的速度比固体地幔快100多倍，从而地幔上面的温度很高，导致最上层地壳很热。“超低速带”对应地壳表面多有火山岩浆分布，它们遥遥相对。热点 作用在浅部地壳或地表是以构造、岩浆、沉积、变质和成矿等地质作用的强度来体现，其变化 主要取决于热点作用的强弱和发展演化阶段的不同：在热点作用的初期主要表现为穹隆和 穹隆深部的侵入作用；在热点作用的中期则表现为具有强烈的侵入作用和火山活动；在热点 作用的晚期则主要表现为热流体的活动。

图1-2 地幔柱构造分级（据S.Maruyama，1994）

由于热点是地幔柱构造在地表的表现形式，它不仅关系到地质构造作用，而且也与成矿 作用有着密切的关系，因此，它成为地学研究的热点。

人们都知道，语言是各种理论产生与形成的条件和基础，哲学理论也是如此。同时，语言还是人们进行思维活动的唯一工具。由于哲学理论所论述的对象是涵盖了人类社会及自然等所有事物运动的现象、本质及规律。所以，哲学理论中的若干概念，往往都是在其他理论已经抽象和概括所形成的概念基础上，再次进行抽象与概括所产生的。故此，哲学理论中的概念内涵及外延，与其他各种理论相比较，即使同一个概念，其内涵和外延也是必然有所不同的。诸如哲学理论中的“矛盾”与逻辑学理论中的“矛盾”，往往就会有着微妙的区别。又如哲学理论中的“质量”与物理学理论中的“质量”也同样存在着各种不同的解释。

在一般的情况下，概念的内涵，是指概念的内容。而概念的外延，则往往是指概念所确认的范围。通常，人们在论述哲学理论对象时，大都将概念的外延，误认为就是哲学理论的范畴。所以，平时人们一提到概念，在后面紧随着的就是范畴。我们知道，范畴有二种含义，一是指类型；范围。二是指事物之间的本质性联系的思维活动形式。而我们通常所说理论范畴，则往往是针对事物之间的本质联系的思维活动形式而言的。概念与范畴的共同之处，就是它们都是人们的基本思维活动形式。概念与范畴的不同之处，那就是概念是反映事物本质属性的思维活动形式。而范畴则是反映事物之间本质性联系的思维活动形式。所以，人们往往可以运用和通过一个词及其词义来表示出一个概念。但是，人们却不能使用一个词及其词义来表示出一个哲学理论范畴。这主要是因为一个概念是无法反映出哲学理论对象内部的本质性联系的。故此，在通常的情况下，人们总是说这一对理论范畴如何如何，或者是由这几个概念所构成的理论范畴又如何如何。在实质上，都是在说明或阐述哲学理论对象内部的本质性联系的。哲学理论对象的这种本质性联系，也是在说明，在任何一种理论对象的内部，都是包含着由各种要素性概念所构成的系统或体系，并通过这个系统或体系的结构，将其本质性的联系论述出来。

由系列相关概念而构成的相应的哲学理论范畴，在实质上，往往就是与系列相关概念而相对应的事物，在人们的思维活动过程中的反映。因而，为了尽量争取哲学理论与实际相符合，我们在论述相应的哲学理论范畴时，应当力求由其理论要素所构成的结构关系，符合其相应的事物运动的现象、本质及规律。只有如此，我们才能够基本正确地反映出哲学理论对象运动的现象、本质及规律。

总之，哲学理论的概念是构成其理论体系的要素之一。我们在论述哲学理论对象的过程中，应当尽量地准确把握系列相关的哲学理论概念，以及由此而产生的理论范畴。从而才能够基本准确地论述出哲学理论对象的运动现象，本质及其规律。

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冯昂珍香： 基础理论指一门学科的基本概念、范畴、判断与推理.科学的基础理论,指科学的基本概念、范畴与原理.

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冯昂珍香： 就是说从理论上找到证据,在行动之前要从理论上去论证行动的合理性,必要性等等.基础理论指一门学科的基本概念、范畴、判断与推理.科学的基础理论,指科学的基本概念、范畴与原理.经济学基础理论是由概念、范畴与范畴体系组成的学科逻辑体系,包括科学的经济学理论与不科学的经济学理论.科学的经济学理论即经济学科学真理,内容是反映经济发展客观规律的经济学科学规律,形式是语言(包括数学).不科学的经济学理论往往是复杂经济现象中某些方面的抽象,是片面的,包含着合理的因素.

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