二次函数

二次函数~

（1）y=-x=-(-1)=1； 1=a(-1)^2，a=1
（2）N点坐标为：y=m^2 (m>-1)；
P点坐标为：y=(m+y)^2 (m+y>-1);
（3）当(1-√3)/2>m=>-1时，正方形MNPQ与三角形ABO的重叠部分为一矩形，
C=(m-(-1))*2+y*2=2(m^2+m+1)
当(1-√3)/2<=m<=0时，正方形MNPQ与三角形ABO的重叠部分为正方形MNPQ，
C=4y=4m^2
当(1+√3)/2>=m>=1时，正方形MNPQ与三角形ABO的重叠部分为一三角形，
C=2*(m^2-m)+√2*(m^2-m)

二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a) ；
顶点式
y=a(x+h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-h，k）或（h,k）对称轴为x=-h或x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y＝ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 由一般式变为交点式的步骤： ∵x1+x2=-b/a x1x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a) =a[（x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

二次函数y=ax2
学习要求:

1．知道二次函数的意义．

2．会用描点法画出函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念．

重点难点解析

1.本节重点是二次函数的概念和二次函数y＝ax2的图象与性质；难点是根据图象概括二次函数y＝ax2的性质.

2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数都是二次函数.解析式中只能含有两

个变量x、y，且x的二次项的系数不能为0，自变量x的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中应使实际量有意义。如圆面积S与圆半径R的关系式S＝πR2中，半径R只能取非负数。

3.抛物线y＝ax2的形状是由a决定的。a的符号决定抛物线的开口方向，当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.

4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

本节命题主要是考查二次函数的概念，二次函数y＝ax2的图象与性质的应用。

核心知识

规则1

二次函数的概念:

一般地，如果是常数，那么，y叫做x的二次函数．

规则2

抛物线的有关概念:

图13-14

如图13-14，函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．抛物线y=x2是开口向上的,y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点．

规则3

抛物线y=ax2的性质:

一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．

规则4

1.二次函数的概念

(1)定义：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的的二次函数. (2)二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征是：等号左边是函数y，右边是自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中一次项系数b和常数项c可以是任意实数，而二次项系数a必须是非零实数，即a≠0.

2.二次函数y＝ax2的图像

图13-1

用描点法画出二次函数y＝x2的图像，如图13-1，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

3.二次函数y＝ax2的性质

函数
图像

开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值

y=ax2
a＞0

向上
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而增大；

x＜0时，y随x增大而减小.
当x＝0时，y最小＝0.

y=ax2
a＜0

向下
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而减小；

x＜0时，y随x增大而增大.
当x＝0时，y最大＝0.

4.二次函数y＝ax2的图像的画法

用描点法画二次函数y＝ax2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.
二次函数y=ax2+bx+c
学习要求：

1．会用描点法画出二次函数的图象．

2．能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点、的位置．

*3．会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．

重点难点

1.本节重点是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质的理解及灵活运用，难点是二次函数y＝ax2+bx+c的性质和通过配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。

2.学习本小节需要仔细观察归纳图象的特点以及不同图象之间的关系。把不同的图象联系起来，找出其共性。

一般地几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同.

任意抛物线y＝a(x-h)2+k可以由抛物线y＝ax2经过适当地平移得到，具体平移方法如下图所示：

注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不能死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便.

图13-11

例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.

二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y＝ax2的图象形状完全一样，它们的性质也有相似之处。当a＞0时，两条抛物线的开口都向上，并向上无限延伸，抛物线有最低点，y有最小值，当a＜0时，开口都向下，并向下无限延伸，抛物线有最高点，y有最大值.

3.画抛物线时一定要先确定开口方向和对称轴、顶点位置，再利用函数对称性列表，这样描点连线后得到的才是完整的，比较准确的图象。否则画出的图象，往往只是其中一部分。例如画y＝- (x+1)2-1的图象。

列表：

x
-3
-2
-1
0
1
2
3

y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9

描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。

正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)

列表：

x
-4
-3
-2
-1
0
1
2

y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5

描点连线：如图13-12

图13-12

4.用配方法将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次项系数a。常犯的错误只提第一项，后面漏提。如y＝- x2+6x-21 写成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符号弄错，主要原因是没有掌握添括号的规则。

本节命题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质及其在实际生活中的运用。既有填空题、选择题，又有解答题，与方程、几何、一次函数的综合题常作为中考压轴题。

核心知识

规则1

抛物线 y=a(x-h)2+k 的性质:

一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2 形状相同，位置不同．抛物线 y=a(x-h)2+k 有如下特点：

(l) a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；

(2) 对称轴是直线x＝h；

(3) 顶点坐标是(h，k)．

规则2

二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:

y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常数，a≠0）是二次函数，图象是抛物线．利用配方，可以把二次函数表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．

规则3

1.二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.

(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和

x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).

2.二次函数解析式的确定

确定二次函数解析式，一般仍用待定系数法.由于二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便；当已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个点的坐标(或横坐标x1,x2)时，选用两根式较为方便.

注意：当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时，最后一般都要化一般式.

3.二次函数y＝ax2+bx+c的图像

二次函数y＝ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数的性质

根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像可归纳其性质如下表：

函数
二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)

图

像
a＞0
a＜0

(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸.

(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).

(3)当x＜- 时，y随x的增大而减小；当x＞- 时，y随x的增大而增大.

(4)抛物线有最低点，当x＝- 时，y有最小值，y最小值＝ .
(1) )抛物线开口向下，并向下无限延伸.

(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).

(3)当x＜- 时，y随x的增大而增大；当x＞- 时，y随x的增大而减小.

(4)抛物线有最高点，当x＝- 时，y有最大值，y最大值＝ .

5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法

①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.

②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .

6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；

(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

7.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的位置与a、b、c及Δ符号有密切的关系(见下表)：

项

目

字

母

字母的符号
图像的位置

a
a＞0

a＜0
开口向上 开口向下

b
b=0 ab＞0 ab＜0
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧

c
c=0 c＞0 c＜0
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交

8.二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

Δ＞0 抛物线与x轴有2个交点；

Δ＝0 抛物线与x轴有1个交点；

Δ＜0 物线与x轴有0个交点(没有交点).

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井陉矿区17645856964： 初三数学二次函数的定义 - ？
傅莲气片：[答案] 整理后形如y=ax²+bx+c(a不等于0,a,b,c为常数)的函数叫做二次函数,其中a叫二次项系数,b是一次项系数,c是常数项

井陉矿区17645856964： 什么是二次函数 - ？
傅莲气片： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0,b,c可以为0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.x为自变量,y为因变量.等号右边自变量的最高次数是2.二次函数的各种形式:①一般式 y=ax²+bx+c(a≠0) ②顶点式 y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,③交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b²-4ac≥0] ;

井陉矿区17645856964： 什么是二次函数？
傅莲气片： 二次函数 定义与定义表达式 y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 则称y为x的二次函数.

井陉矿区17645856964： 二次函数的定义是什么? - ？
傅莲气片： 二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数. 二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0).其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线. 一般式y=ax∧2+bx+c 顶点式y=a(x+m)∧2+k 交点式y=a(x-x1)(x-x2)

井陉矿区17645856964： 什么是二次函数啊 - ？
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