数学思想方法揭秘-25后记10(原创)
先讨论 为锐角的情况，如下图，O是三角形ABC外接圆圆心。
当 为直角或钝角时，上述结论也成立。
这篇用另一种方法，局部调整法来证明定角定高问题。
局部调整法在前面使用过几次，例如数学思想方法揭秘-3-3的第4题、揭秘-5的30题和31题。
局部调整一般用在动态变化的情况下求最值(最大值、最小值、最优、最差)极值或探求递增递减或正向负向的变化趋势，它通过对问题在某一状态的情况case进行调整，得到另一状态下的case，比较调整前后这两种case情况下结论的变化趋势。
可把局部调整法理解为粗略的定性形式的微积分求导：调整就对应dx，比较调整前后结论的变化就是函数的差值dy，分析dy的变化趋势是增大还是减少。可以结合恩格斯关于微积分的一段话来对比理解局部调整法与微积分求导的类同，他说”只有微积分才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程:运动。”。局部调整法既有静止的状态，也有运动，调整就是运动变化，通过调整改变函数自变量，从一个状态(取值)变到另一状态，再分析变化后对应的因变量的变化趋势。
局部调整法和爬山法也比较类似。
局部调整可分为单次调整或多次重复调整。
在碰到动点问题、不等式、求最优解问题时，局部调整法或局部调整思想是我们思维工具箱中很重要的一种思想方法。
这里用初中数学的定角定高求最小面积(最小边长)或确定三角形的形状来讲解局部调整法的运用。
问题1 ：如下图，已知三角形ABC中，角A大小为一固定值， 且为锐角 ，BC边上的高AD也为一固定值。当三角形ABC面积最小时，它是什么三角形(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)？
这道题可理解为B、C为动点，但BC边对的角A和高AD是定值。角A为锐角，三角形可为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，所以要分类讨论。如果角A为直角或钝角，显然不存在这种分类讨论。
解题思维过程：
因为高AD为定值，显然三角形面积和BC边的长度成正比，面积越大,BC边越大，面积越小边越小，反之亦然。
我们选取直角三角形为起点，可以把这个直角三角形理解为三角形的当前状态或函数自变量(三角形形状，初始形状取值为直角三角形)，将它调整为锐角和钝角三角形(调整后的状态，自变量的取值从直角三角形变为锐角三角形或钝角三角形)来研究BC长度(这个长度就是函数因变量)的变化趋势。
首先调整为锐角三角形，如下图。
再调整为钝角三角形，如下图。
所以可知：
1）在定角(锐角)定高情况下，当三角形面积最小时，必为锐角三角形。
2）随着锐角三角形变为直角三角形,再从直角变为钝角三角形时，面积是递增的。
3）在钝角三角形情况下(假设角B为钝角)，AB边和高AD的夹角 越大，三角形ABC的面积越大、BC边越大，如下图。
4）从锐角三角形调整为(变为)直角三角形，再从直角三角形调整为钝角三角形，三角形周长是递增的，省略证明。
问题2 ：在定角(锐角)定高情况下，求三角形的最小面积。
利用问题1的结论，可知面积最小时必为锐角三角形。解题思维过程如下图。
结论：
1）三角形为等腰(AB=AC)时面积最小(高AD也是角BAC的角平分线)，用符号 分别表示定角和定高，可得最小面积为 ，BC最小为 。
高中阶段用三角函数也可得出等腰时面积最小，也就是BC边长最小，如下面两张图。
2）由上图的调整可得出，在角A为锐角情况下，角B或角C越接近90度，则面积越大、BC越大。例如角A为40度，AD为1，则角B为60度时的BC小于角B为89度时的BC，角B为89度时的BC小于角B为89.5度时的BC。也就是此时的三角形趋向直角时，面积是递增的，越来越大，面积的极限(最大值)就是直角时的面积 ，BC的极限是 。
3）由1)和2)可知，A为锐角时，三角形面积和BC有最小值，但没有最大值，最大值只能趋向2)中的极限，但取不到极限，也就是没有最大，只有更大。
问题3 ：问题2是针对定角为锐角时的结论，对问题2作下一般化的推广，求定角 定高 情况下，三角形的最小面积和BC的最小边长和最大极限。
分类讨论：
a)当定角为锐角时，根据问题2的结论，此时三角形为等腰三角形。最大值极限见问题2。
b)当定角为直角时，参照上面的锐角三角形的证明方法，同理用局部调整法可证明为等腰直角三角形时面积最小，BC边长最小。也可用射影定理加基本不等式或勾股定理加基本不等式或高中三角函数(最简单)，射影定理和三角函数法如下图。
当角B或角C趋向90时，面积和BC均递增，趋向无穷大，高AD趋向直角边。
c）当定角为钝角时，同理可用局部调整法证明等腰三角形时面积最小、BC边长最小。当角B或角C趋向180-角A时，面积和BC递增，均趋向无穷大。同理也可用三角函数法。
如果用局部调整法，b和c两种情况可合为一种情况。
如果引用问题1的结论：定角为锐角时，如三角形面积最小则必为锐角三角形。则本问题使用三角函数法就不用分类讨论，因为无论定角的大小，垂足一定在线段BC内部，如图。
综合上述三种情况可得：无论定角A是锐角还是直角或钝角，当其为等腰三角形(AB=AC)时面积最小 ，BC最小 。最大值极限：角A为锐角时存在；角A为直角或钝角时，无最大值极限，或极限为无穷大。
总结：定角定高求面积最小值问题难在定角为锐角时要进行分类讨论，难在初中阶段没学过三角函数的和差公式，在初中适合用局部调整法得出定性的结论：为等腰时面积最小。
问题4： 已知三角形ABC的角A为45度，高AD为2，求三角形的最小面积。
这道题套用问题2的结论。但对初中生，没学过用三角函数如万能公式求22.5度的正切值。
初中阶段解这道题，有多种方法。
首先利用前面的结论，面积最小时，三角形为等腰三角形，AB=AC，高AD为中垂线。
方法1：联想到圆心角是圆周角的2倍，故圆心角为90度，作外接圆O。
角BOC=2倍角A=90度，故三角形BOC为等腰直角三角形。R为半径，BD=DC=OD= ，AO=BO=OC=R。
由AO+OD=AD=2可求出R，其余省略。
方法2：联想到对称，以AB对对称轴，作AD的对称线AD1，同理以AC为对称作AD2，延长D1B和D2C交于点E，易证AD1ED2为正方形，且边长等于AD。
方法3，由45度，容易联想到作高BE,再利用勾股定理和相似列方程。
其他两种可能的方法如下图，自行思考下。
问题5.
如下图，在矩形ABCD中，AD=1，AB= ，点E为AB边上的动点，点F和点G为DC边上的两个动点，且 求线段FG的最大值。
解题思维过程：
FG的最大值不能超过DC，F、G不能超出DC线段，也就是其最大值是受限的，受约束的。
根据前面的结论，FG取最大值时，三角形形状按可能性大小从大到小排列顺序为：钝角三角形->直角三角形-> 锐角三角形。易知EFG可为等腰直角，此时FG为1，小于DC，还有增大FG的调整空间(根据前面得出的结论，增大FG就是将直角三角形EFG变成钝角三角形，此时FG虽然增大，但F、G点仍在DC线段内)，也就是可将直角三角形调整为钝角三角形(角EFG或EGF为钝角)，FG变大(大于1)，所以FG取最大值时，三角形EFG必为钝角三角形。
为什么需要上面的论述？是因为FG大小是受约束的，不能超过DC长度。如果AB过小，则FG取最大值时，三角形EFG有可能不能为钝角。例如将题目修改下：ABCD是边长为1的正方形，角FEG仍为45度。此时EFG为直角三角形ADC时，FG就已经=DC=1了, 显然FG取最大值时，EFG不能为钝角三角形。
得出FG取最大值时EFG形状必为钝角三角形之后，不妨设角EFG为钝角(角EGF为钝角时结论是一样的)，如果FG取最大值时E点不在A点，就将三角形EFG平移使E点与A重合，如下图。这个平移也是调整！还有将G点调整为与C点重合。
如果要求FG的最小值，怎么求?
根据前面的结论，当EFG为等腰三角形(EF=EG) 时最小，如图设外接圆圆心为O,EO=FO=GO=r,角FOG=2*45=90，FOG为等腰直角三角形，作OD垂直于FG于D。E、O、D三点共线，OD=FD=DG= .
也可不用结论来求FG最小值，如下图，也可得出为等腰三角形时FG最小。
如何学会学习政治
(2)同思想政治课学习教好的同学组成学习小组,互相取长补短,交流学习心得,来培养学习的兴趣。(3)融洽师生关系。若是由于师生关系不融洽造成学习思想 政治课兴趣不高,就应努力改善师生关系,听从老师的教诲,做到“亲其师,信其道”。 祝你成功 天天向上 3、采取正确的学习方法。这可以表现在学习过程的各个方面:(...
数学分析思想方法第 2^3+3^2 期 -- 无穷小量的阶
等价量代换法则是一种巧妙的转换技巧，当我们需要计算极限时，如果lim(f(x)g(x))存在，且已知f(x)~g(x)，可以将f(x)替换为g(x)，前提是它们的乘积形式的极限成立。例如，如果lim(f(x))和lim(g(x))都存在，且f(x)~g(x)，那么lim(f(x)g(x)) = lim(f(x))^2。在解题实践中，...
如何更好学习高中思想政治
一、端正学习态度,提高学习思想政治课的兴趣有的同学感觉政治课比较枯燥,所以,对政治课缺乏学习的兴趣。其实,理论都是对具体问题的总结和升华,都存在着抽象、枯燥的问题。高中政治课有些内容比较生动有趣,有些内容的确比较枯燥。对政治课缺乏兴趣,其中重要原因是同学们的学习方法有问题、学习中受实用主义的影响以及现...
怎样学会思想?思想方法有哪几种?如,换位思考……;思维方式有哪几种...
思想是一种境界的体现，有思想的人给人卓尔不群的感觉，它不是单纯学习的结果，是需要反复的理论与实践相互作用并给予经验归纳和理论演绎才可以拥有。思想在方法上一般表现为纵横开阖并自成一体，也就是拥有自己基本的三观和原则，以此出发来衡量周围的事物，并知道自身的行为，影响他人的想法。具体比如说...
一般的数学思想方法有哪些?
1 函数思想 把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。2 数形结合思想 把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答。3 整体思想 整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体...
如何在教学中教给学生数学思想方法
比如,在学习多边形对角线条数时,不能只让学生记牢结论:n边形对角线条数为多少条,而要重新帮助学生分析这个结论是如何来的。可引导学生从两个角度思考。角度1(从特殊到一般的思想方法):四边形对角线条数为2,五边形对角线条数为5=2+3,六边形对角线条数为9=2+3+4,……,从而n边形的对角线条数为2+3+4+...
浅谈几种常见的数学思想方法
一类是科学思想在数学中的应用,如分析与综合、分类讨论、类比、化归、归纳与演绎思想等;另一类是数学学科特有的思想方法,如集合与对应、数学建模、数形结合、函数与方程、极限、概率统计的思想方法等。 2教学中主要的数学思想方法 数学思想方法的学习和领悟能帮助学生构建知识体系,使学生所学的知识不再是零散的知识...
小学数学思想与方法有哪些
4、概括性原则 所谓概括就是将蕴含于数学知识体系中的思想方法归纳、提炼出来．在教学中，遵循概括性原则，将统摄知识的数学思想方法适时地概括出来，可以加强学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想方法解决问题的具体操作方式有更深入的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析问题、解决问题的...
数学的10种思想方法
十大数学思想方法：1.数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。2.联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分...
数学有哪些思想方法?
1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以...
邗顷甘露： LV.4 2017-10-25数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想
南丰县19111822340： 高中七种数学思想方法和十种常用数学方法 - ？
邗顷甘露： 方法:换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法 http://www.xzyz.net/jsfc/showarticle.asp?articleid=778 这里有很详细的高中数学方法
南丰县19111822340： 数学思考方式 - ？
邗顷甘露： 数学上的思考方式,有人总结了很多: 诸如定向思维、逆向思维、扩散思维、创新思维等,不一而足. 但我总认为都不如一个思维——逻辑思维. 逻辑有两种不同层次和角度的含义:1,逻辑是一种顺序,也是一种规律,2,逻辑需要归类,然后总结. 逻辑是人的一种抽象思维,是人们通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程, 讲白了,逻辑就是做事有条理. 逻辑思维是其他思维方法的基础,其他思维方法,诸如扩展思维、逆向思维等基本都是由逻辑思维方法派生出来的. 所以学好数学,可以考虑其他的思维方法,但不是仅仅记住那些思维方法的名称,更重要的是首先要做到做事有条理,培养并巩固逻辑思维!
南丰县19111822340： 谁能用通俗易懂的话解释一下这些数学思想. - ？
邗顷甘露： 1.配方法:意思就是说,把一个很长很复杂的多项式,配成一个很短的式子.举例:a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)²2.换元法:意思就是说,一个很复杂的式子,你可能会看的眼花缭乱,这个...
南丰县19111822340： 初中数学涉及到的数学思想方法有哪些遇到 - ？
邗顷甘露： 希望能帮到你! 方程的思想; 函数的思想. 等量代换的思想; 数形结合的思想;“数形结合”是数学中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想. 转化思想 .转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决,它是数学基本思想方法之一. .类比思想 特殊与一般的思想. 分类讨论的思想
南丰县19111822340： 电大数学思想与方法 什么是数学模型方法 - ？
邗顷甘露： 数学思想方法 一、单项选择题 1.算法的有效性是指( C ).C.如果使用该算法从它的初始数据出发,能够得到这一问题的正确解 22.算法大致可以分为( A )两大类.A.多项...
南丰县19111822340： 初中数学涉及到的数学思想方法有哪些遇到哪些问题要用 要举例 - ？
邗顷甘露： 巧啊,我也在找啊,班主任布置的题目和你的一样啊 对了,刚看了你别的回答,我们好像是同龄人额. 真的好巧啊 我是上南1班的,你呢? 废话不对说了 给你个网站 http://www.fwxf.com/xuexiao/2007/20272_2.html 不过网上的内容复制不了,我...
南丰县19111822340： 数学中立方根分之一如何有理化? - ？
邗顷甘露： 对于平方根和立方根,本文从课本、中考题型和数学思想的角度进行解读. 一、注重“一二三四五”,平方根的学习没问题 1. 明白一种运算 求一个数的平方根的运算叫开平方.开平方是继加、减、乘、除和乘方后的第六种运算.开平方与平方是一...
南丰县19111822340： 学习数学的学习方法 ？
邗顷甘露： 学习知识要善于思考,思考,再思考.每一门科目都有自己的学习方法,但其实都是万变不离其中的,数学作为最烧脑的科目之一,也是要记、要背、要讲练的.下面是小...
