一元函数在一点连续、可导、可微三者的关系为?
一元函数与多元函数连续,可导,可微之间的关系:
1、一元函数涉及的是两维曲线,多元函数涉及到的是至少是三维的曲面。
一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑;
多元函数的可导可微,必须从各个角度,各个方向,各个侧面,进行前后、
左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑。
2、一元函数,只要曲线光滑--没有尖点、没有断点,切线垂直于x轴就行,
也就是不能斜率为无穷大;
多元函数的要求就是一方面曲面光滑--没有裂缝、没有皱褶。同样没有垂直
于各个坐标的垂直切线。
3、一元函数的求导,就是简单的沿着x轴考虑曲线变化率,考虑曲线的连续性、
可导性、凹凸性等等;
多元函数要考虑在某一个方向的特殊导数--方向导数。方向导数取得最大值
的方向,就是梯度的方向,而它的反方向一定存在一个力,整体存在一个力
场。例如温度增加得最快的方向,其反方向就是热流的方向;如电势增加得
最快的方向,反方向就是电场力的方向。这样的例子举不胜举。
4、一元函数的可导可微没有什么惊人区别,工程上的误差计算:
Δy
=
(dy/dx)Δx,
dy/dx
利用的是可导,
Δx,
Δy
运用的就是可微。
无论是牛顿的近似计算,还是用麦克劳琳级数计算,还是用泰勒技术计算,
也都是运用的可导性与可微性。
在多元函数中,就不一样了,u
=
f(x,y,z),
随便写出
du/dx,
du/dy,
dy/dz
都是错误的。我们可以有三种写法:
du
=
(∂u/∂x)dx
+
(∂u/∂y)dy
+
(∂u/∂z)dz
du/dt
=
(∂u/∂x)dx/dt
+
(∂u/∂y)dy/dt
+
(∂u/∂z)dz/dt
grad
u
=
(∂u/∂x)i
+
(∂u/∂y)j
+
(∂u/∂z)k
(i,j,
k
是单位矢量)
5、一元函数可微就是可导,可导就可微;
多元函数可导就含糊了,沿100万个方向可偏导,只要一个方向不可偏导,
就不可微,只要可微,就表示沿各个方向可偏导;
多元函数,在任何方向的导数都是偏导。没有全导的概念,只有偏导、偏
微、全微的概念。如果讲全导,则是意指上面的du/dt的情况。
6、在一元函数,我们可以计算极值点。
在多元函数中,当然仍然有极值点的计算。但是可能多出了一个极值面,
或极值曲线的概念。例如,在引力场中,物体下滑时,沿什么样的曲线最
快?这就要涉及多元函数的张量问题。
7、一元函数,通常是常微分的解;多元函数是偏微分的解。
总而言之,言而总之,多元函数考虑的情况是三维以上的情况,考虑的因素多了许多,基本上仍然是一元微积分的应用。本质上没有区别,只是在复杂程度上,麻烦了许多
设 f(x) 在 x0 处可微,则存在常数 A,使
f(x0+h) - f(x0) = Ah + o(h),
于是
lim(h→0)f(x0+h) = lim(h→0)[f(x0) + Ah + o(h)]
= f(x0) + lim(h→0)[Ah + o(h)]
= f(x0),
即 f(x) 在 x0 处连续。
一元函数中可导与可微等价,多元函数中可微必可导,可导不一定可微,即可微是可导的充分条件,可导是可微的必要条件
一元函数中可导与可微是等价的。
连续不一定可导,可导一定连续。
不连续一定不可导。
连续的条件:
左导数和右导数存在,且相等。
函数在一点连续,那么它在这一点邻域连续吗?
点连续只能说明这一点连续,而不能说领域内都连续,比如第一类间断点都不在领域内连续。函数(function)的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A...
什么是函数在某一点的左右连续性?
右连续是指函数在一点右侧连续。左连续(一元函数f在x0处的左极限为f(x0),即f(x0-0)=f(x0)。若一元函数f在x0处的右极限为f(x0),即f(x0+0)=f(x0),则称f在x0处右连续。函数f在x0处右连续是函数f在x0处连续的必要不充分条件。当函数f在x0处既左连续又右连续时,...
函数在某点连续是不是一定可微呢?
如果一个函数在某点偏导数存在,且连续,那么在该点可微,这个是函数可微的条件,那么就知道函数不一定是在任何一点偏导数连续,故函数可微推不出偏导数各点连续。 扩展资料 设函数y= f(x),若自变量在点x的`改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A为不依赖Δ...
请高人指点一下 多元函数连续性的问题,和如何看这个函数在(x0,y0)这...
从定义上说,如果以任意路径通过时在这点的极限均相等等于该点的函数值,那么多元函数在这一点连续。从充分条件来说,可微必连续,所有偏导数连续的多元函数连续。可微:从定义上说,如果全增量公式成立,则函数可微,从充分条件来看,偏导数连续推出可微。
判断某一个二元函数在某一点是否连续。什么需要判断函数极限是否存在...
则二元函数f在该点偏导数存在,反过来则不一定成立。若二元函数函数f在其定义域内的某点可微,则二元函数f在该点连续,反过来则不一定成立。二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。可微的充要条件:函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续,则二元函数f在该点可微。
一元函数在一点可导必连续,在二元函数是否成立
先上图,对于多元函数,可导,连续,可微的关系如图。从图中可以看出 函数可导,但不一定连续 可导指的是偏导数存在,即沿x轴,y轴方向的导数存在(注意只有两个方向),但是二元函数的连续性是从各个方向,以任何形式来取极限的,所以从这个方面来讲,多元函数可导,但不一定能保证其连续,如果是可微就可以...
在点处,如何判断函数的连续性?
先用定义求出该点的偏导数值c,再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y),最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限,如果limfx(x,y)=c,即偏导数连续,否则不连续。x方向的偏导 设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有...
函数在点x处连续的充要条件是什么?
(1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]\/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。(2)若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分...
求:证明二元函数在一点连续的证明思路与方法
在点P0(x0,y0)的某领域内有定义,如果lim(Δx→0,Δy→0)Δz=0,或者(1)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某领域内有定义(2)lim(Δx→0,Δy→0)f(x,y)存在(3)lim(Δx→0,Δy→0)f(x,y)=f(x0,y0)不连续就反证法。
如何证明函数是连续的
1、证明一个分段函数是连续函数。首先看各分段函数的函数式是不是连续(这就是一般的初等函数是否连续的做法)然后看分段函数的分段点,左右极限是否相等并等于函数值。分段点处的左极限用左边的函数式做,分段点处的右极限用右边的函数式做。2、多元函数在某点处的连续性证明 如果一个多元函数是连续的...
冯将秘诀:[答案] 一元函数中可导与可微是等价的. 连续不一定可导,可导一定连续. 不连续一定不可导. 连续的条件: 左导数和右导数存在,且相等.
九台市13666682458: 函数在某一点可导与连续,可微的关系 - ?
冯将秘诀:[答案] 可微=>可导=>连续=>可积,在一元函数中,可导与可微等价.函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x),即函数在此点函数值存在,并且等于此点的极限值若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导....
九台市13666682458: 一元函数中,连续,可导,可微之间的关系? - ?
冯将秘诀: 一元函数与多元函数连续,可导,可微之间的关系:1、一元函数涉及的是两维曲线,多元函数涉及到的是至少是三维的曲面. 一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑; 多元函数的可导可微,必须从各个角度,各个方向,各个侧面,进行前后...
九台市13666682458: 一元函数"存在极限","连续","可导","可微","可积"之间...一元函数"存在极限","连续","可导","可微","可积"之间有什么联... - ?
冯将秘诀:[答案] 一元: 可导必连续,连续必存在极限,(单向) 可微与可导互推 多元: 一阶偏导连续推出 可微,(单向) 可微推出(1)偏导存在 (单向) (2)函数连续 (单向) 函数连续推出二重极限存在(单向) // 函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f...
九台市13666682458: 嘿嘿,请问函数的'连续、可导、微分'这三者的 关系 对应于 一元函数 和 多元函数 有什么区别? - ?
冯将秘诀:[答案] 可导一定连续,连续不一定可导! 可微也一定连续,连续不一定可微! 一元函数一般是与连续、可导有关系 多元函数一般是和可微、连续有关系
九台市13666682458: 一元函数连续、可导、微分的关系RT只要一元函数、不需回答多元函数 - ?
冯将秘诀:[答案] 连续不一定可导,可导必连续. 可导必可微,可微必可导.
九台市13666682458: 怎么证明函数在某点上可微 我会证明连续和可导 怎么证可微呢 - ?
冯将秘诀:[答案] 如果是一元函数,那么可微和可导是等价的,所以只需证可导就行了,而对于多元函数,如果可微一定可导,但是如果仅导函数或者方向导数存在不一定可微,如果当方向导数连续,那么一定可微,只要证明各方向导数或者偏导数连续就可以了.当然...
九台市13666682458: 函数可微、可导、可积、连续之间的关系 相互之间怎么推啊? - ?
冯将秘诀:[答案] 在一元的情况下 可导=可微->连续->可积 可导一定连续,反之不一定 二元就不满足了 导数:函数在某点的斜率就是函数在这点的导数 微分:一元情况下,可微和可导意思一样.求导就是求微分.多元就不一样了 积分:积分是已知一函数的导数,求这...
九台市13666682458: 请说明连续,可偏导和可微的关系 - ?
冯将秘诀:[答案] 1)对于一元函数,有 可微 可导 ==> 连续. 2)对于多元函数,有 可微 ==> 可求偏导; 可微 ==> 连续; 偏导数连续 ==> 可微. 注:严格的详细的描述请翻书.
九台市13666682458: 针对一元函数的可导、可微和连续的关系,三者之间关系的推导具体是怎样的?一元函数可导等价于可微,均是连续的充分非必要条件,我的问题是:怎么由... - ?
冯将秘诀:[答案] 设 f(x) 在 x0 处可微,则存在常数 A,使f(x0+h) - f(x0) = Ah + o(h),于是lim(h→0)f(x0+h) = lim(h→0)[f(x0) + Ah + o(h)]= f(x0) + lim(h→0)[Ah + o(h)]= f(x0),即 f(x) 在 x0 ...