全国高一数学奥林匹克竞赛题

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http://www.ks5u.com/News/2010-3/20555/

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(1)M的长度是4/5,N的长度是1/4，且它们都在区间【0，1】上活动，当完全重合时，长度最大，为1/4,当一个居左，一个居右时，重合最小，即交集最短，长度为4/5+1/4-1=1/20.得解。

（2）B={2,3}
[1].A≠B；[2].A∪B=B；[3].A∩B≠Φ 这个条件告诉我们A={2}或者A={3}。
（x-a/2)^2+3/4a^2-19=0 让它有一个根，则3/4a^2-19=0，退出a不为整数
而a/2必须为2或者3，即a必须为4或者6.故这样的a不存在。
（3）由不等式以及它们都是自然数，则a3=a1^2 a4=a2^2 a3=2^2;a4=3^2
如此A中2,3,4,9，B中4,9,16,81
再由403减去得288，此时已经容易得到a5=11,a6=12

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C )
A 不存在 B 存在
C 存在 D 对任意的
2、 的定义域为 ， 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B )
A．3 B． C．2 D．
3、、等差数列 的通项公式是 ，其前 项和为 ，则数列 的前10项和为（ A ）
A．75 B．70 C．120 D．100
4、已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为 外心，动点P满足
,则P的轨迹定过 的（ D ）
A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点
5、若 是偶函数，则点( )的轨迹方程( B )

6、定义在 上的偶函数 ，满足 ，且 在 上是减函数．下面五个关于 的命题中，命题正确的个数有( C )
① 是周期函数；② 的图像关于 对称；③ 在 上是减函数；
④ 在 上为增函数；⑤ ．
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共5分）
7、已知集合A={—1，3，m}，B={3，4}，若B A，则实数m的值是 4 ．
8、在三角形ABC中，若 ，则该三角形的最大内角等于 .
9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 .
10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量 ，若 则角C的大小为
11、若 为 的各位数字之和，如 ， ，则 ；记 ， ，…， ， ，则 11 .
12、若数列{an}的通项公式an＝ ，记 ，试通过计算 ， ， 的值，推测出 ＝ ．
13、对于函数 ，在使 ≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数 的“上确界”，则函数 的“上确界”为 2 .
14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点，且截直线 所得的弦长为 ，则满足条件的一组参数 和 的值可以是 .
15、函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 3 .
16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样 来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 c ．（填入 中的某个字母）
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（本题满分12分）设命题 函数 是 上的减函数，命题 函数 在 的值域为 ．若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求 的取值范围.
解：由 得 ………………………………………………3分
，在 上的值域为 得 …………… 7分
且 为假， 或 为真 得 、 中一真一假．
若 真 假得， ……………………………9分
若 假 真得， ． ………………………………………………11分
综上， 或 ． ………………………………………………12分.
18（本小题满分12分）在 中，已知内角 ，边 .设内角 ,面积为 .
(1) 求函数 的解析式和定义域；
(2) 求 的最大值.
解：（1） 的内角和
………………………1分
……………4分
…………………6分
（2） ……………8分
…………11分
当 即 时，y取得最大值 ………………………12分
19（本小题满分13分）已知函数 的定义域为 ，值域为[5,4]；函数 .
(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x.
解：f(x)=a(1－cos2x)－ sin2x＋b
=－a(cos2x＋ sin2x)＋a＋b=－2a sin(2x＋ )＋a＋b . ----------------------------2分
∵x∈ ，∴2x＋ ，sin(2x＋ ) . 显然a=0不合题意.--------3分
(1) 当a＞0时,值域为 ,即 -----------------------------5分
(2) 当a＜0时,值域为 ,即 6分
(Ⅰ) 当a＞0时，g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1), ∴T=2, g(x)max=5;
当a＜0时，g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2),
∴ T=, g(x)max= . 8分
(Ⅱ)由上可知，
当a＞0时, 由g(x)=5sin(x1)，且tan1= , g(x)max=5，此时x1＝2k + (k∈Z).
则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, )，∴tanx=cot 1＝ . 10分
当a<0时, g(x)max= <5，所以不存在符合题意的x. 12分
综上，tan x=－ . ------------------------------------------------------------------------------------13分
20（本题满分13分）已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为 ，且m•n ．
（1）求向量n；
（2）若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为 ，向量b =（ ），其中A，C是△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求｜n+ b｜的取值范围．
（1）解：设 ，由 ，得 ----------------------------------------2分
∵向量 与向量 的夹角为 ，
又∵ ∴ ，则 ---------------------4分
解得 或 ∴ 或 ----------6分
（2）解：由向量 与向量 的夹角为 ，可知
由2B=A+C知B= ，A+C= ，0＜A＜ --------------------8分
若 ，则
--------------------10分
∵0＜A＜ ， ＜2A＜
∴ ， ， ----------------12分
∴ ----------------13分
21（本题满分15分）某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：① 与 和 的乘积成正比；②当 ， ；③ 其中 为常数，且 ．
(1)设 ，求出 的表达式，并求出 的定义域；
(2)求出附加值 的最大值，并求出此时的技术改造投入的 的值
解：(1)设 ．
由 ， ，得：k=4．
于是， ．---- ------3分
解关于x的不等式： ，得0≤x≤ ．---- ------5分
∴函数的定义域为 ， 为常数， ．---- ------7分
(2) ．
当 ；---- ------9分
当 上为增函数，故当 ．---- ------11分
故 时，投入 时，附加值 最大为 万元；---- ------13分
当 时，投入 时，附加值 最大为 万元---- ------15分
22（本题满分15分）设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）数列{an}满足a1=f（0），且
①求{an}通项公式。
②当a＞1时，不等式 对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。
解：（Ⅰ） 时，f（x）＞1
令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1
∴f（0）=1 …………………………2分
若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故
故x∈R f（x）＞0 …………………………………4分
任取x1＜x2

故f（x）在R上减函数 …………………………6分
（Ⅱ）①
由f（x）单调性知，an+1=an+2 故{an}等差数列 ………………8分
②

是递增数列 …………13分
当n≥2时，
…………………14分
即
而a＞1，∴x＞1
故x的取值范围（1，+∞） ……………………15分

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灯塔市17550795253： 求高一全国数学奥林匹克竞赛题？
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