有理数有哪些概念？

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有理数的概念：

有理数为整数(正整数 0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

一、有理数的定义

有理数有两种分类，分别是正有理数，包括正整数和正分数;负有理数，包括负整数和负分数。

1、正有理数指的是数学术语，除了负数、0、无理数的数字，正有理数能精确地表示为两个整数之比。

2、负有理数就是小于零并能用小数表示的数。如-3、123，-1、、、。

3、有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

二、有理数名字的由来

“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

三、有理数的认识

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

有理数a，b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。

四、有理数的运算

加法运算

1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

减法运算

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。

乘法运算

1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

除法运算

1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。

注意：

（1）零不能做除数和分母。

（2）有理数的除法与乘法是互逆运算。

（3）在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

（4）乘方运算

1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。

2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

3、零的零次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

 

除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：a=b。前提a不等于b

由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。

两边除以零，得出0a/0=0b/0。

化简，得：a=b。

以上谬论一个假设，就是某数除以0是容许的。

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玛纳斯县17351427567： 七年级数学第一章有理数有那些基本概念? - ？
台玲心安：[答案] 有理数包括整数和分数.一切有理数都可以化成分数的形式. 在有理数范围内: 整数包含有 正整数、0、负整数. 分数包含有 正分数、负分数. 小数包含有 有限小数、无限循环小数. 分数可称为小数;小数也可称为分数.因为分数和小数可以相互转换.

玛纳斯县17351427567： 数学有理数的概念是什么 - ？
台玲心安：[答案] 有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式. 有理数可分为整数和分数也可分为三种,一;正有理数,二;0,三;负有理数.除了无限不循环小数以外的实数统称有理数.

玛纳斯县17351427567： 有理数的相关概念, - ？
台玲心安：[答案] 有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式. (一)相反意义的量 在实际问题中区分表示相反意义的量,通常用“+”、“-”来区别.如今天气温是5℃,明天气温将下降7℃,则明天的气温是(5-7)℃,得-2℃,即零下2℃.又如规...

玛纳斯县17351427567： 什么叫有理数,有理数的定义 - ？
台玲心安：[答案] 数学上,有理数是一个整数a和一个非零整数b的比,例如3/8,通则为a/b,故又称作分数. 有理数是整数和分数的集合,整数亦可看做是分母为一的分数. 有理数的小数部分有限或为循环.不是有理数的实数遂称为无理数.

玛纳斯县17351427567： 有理数的含义 - ？
台玲心安： 数学上,有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b.0也是有理数.有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数. 有理数的小数部分是有限或为无限循环的数.不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小...

玛纳斯县17351427567： 有理数的定义是什么 - ？
台玲心安：[答案] 整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,且n≠0)的形式. 无限不循环小数和开根开不尽的数叫作无理数 ,比如π,3.1415926535897932384626. 而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数

玛纳斯县17351427567： 有理数的定义. - ？
台玲心安：[答案] 有理数为整数和分数的统称.正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数.因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零.

玛纳斯县17351427567： 有理数的概念是什么 - ？
台玲心安： 刚回答过这个问题...有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式 像0.5能转换成分数1/2 所以也是有理数 像 0.22222222222222.......后面省略无数个2 就是有理数 再例如 0.8747392948734......后面省略无数个任意数 也是无理数再不懂 请m我祝身体健康 学习进步

玛纳斯县17351427567： 有理数的定义?数学里的概念 - ？
台玲心安：[答案] 有理数是由正数、负数和0组成的

玛纳斯县17351427567： 有理数 是什么意思 - ？
台玲心安：[答案] 有理数可分为整数和分数也可分为三种,一;正整数,二;0,三;负整数.除了无限不循环小数以外的实数统称有理数.