麻烦的奥数
百度的解释: 奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。1934年—1935年,前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛,并冠以数学奥林匹克竞赛的名称,1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。 国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事,由国际数学教育专家命题,出题范围超出了所有国家的义务教育水平,难度大大超过大学入学考试。有关专家认为,只有5%的智力超常儿童适合学奥林匹克数学,而能一路过关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。还可参考: www.aoshu.com http://www.100math.com/OTDetail.aspx?id=8889
先采必答
1.设该四位数为a^2,则由题意,应该有一个平方数b^2,满足下式:
b^2-a^2=1111,
由平方差公式知,(b+a)(b-a)=1111, (#式)
因为a^2、b^2都是四位数,所以a、b只能是两位数,a+b只能是比较大的两位数或三位数。
对1111分解质因数:
1111=101*11
所以,结合(#式)看出,b+a=101,且b-a=11,
所以,a=45,b=56.
所以,所求的四位数为a^2=45^2=2025,
它加上1111后的数为b^2=56^2=3136
2.
由题意有,(10a+b)^2-(10b+a)^2=x^2,这里x是一个整数。
由平方差公式,上式可化为
(10a+b+10b+a)*(10a+b-10b-a)=x^2,即
11(a+b)*[9(a-b)]=x^2,
99(a+b)(a-b)=x^2, (#式)
我们来分析上面的(#式)。
因为左边三个因式的乘积等于一个平方数,所以所有的因子都应该是<成对出现>的(比如2*2,3*3,而不可能只有一个2或一个3)。
而99=3^2*11,
缺一个因子11,这说明另外的乘式(a+b)(a-b)里面肯定有一个式子含有因子11。
考虑到a,b都是一位数,a+b不超过18,a-b不超过9,所以含因子11的式子应该是a+b,而且a+b=11.
这时(#式)变成了(3^2)*(11^2)*(a-b)=x^2,
所以(a-b)必须是一个平方数,在1~9的数里只有0,1,4,9.
经过检验,只有a-b=1,a+b=11才成立,也就是说
a=6,b=5.
答:所求的数字是65。
3.
要解决的判断是:
(a^2+b^2)*(c^2+d^2)=?=(e^2+f^2) (#式)
将式子左边展开,得
a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2,化简,
(a*c)^2+(a*d)^2+(b*c)^2+(b*d)^2,
简写成(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2,
引入两个一正一负的2abcd(即2*a*b*c*d),并与之组合成完全平方公式,
[(ac)^2+2abcd+(bd)^2]+[(bc)^2-2abcd+(ad)^2],
(ac+bd)^2+(bc-ad)^2,得到这个。这正好是两个平方数的和。
也就是说,通过上面过程,我们证明了
(#式)左边=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2=e^2+f^2=右边。
答:这个叙述是正确的。
1) 设 (ab)^2=ABCD
(xy)^2=ABCD+1111
(xy)^2-(ab)^2=1111
(xy-ab)(xy+ab)=1111
11(ab+11+ab)=1111
2ab+11=101
2ab=90
ab=45
所以45平方=2025
2025→3136=56^2
2) (xy)^2 = (ab)^2-(ba)^2
(xy)^2 = (10a+b)^2-(10b+a)^2
= (10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)
= 9(a-b)*11(a+b)
=9*11(a^2-b^2)
因为是平方数,所以 9可以不用理
11是质数所以(a^2-b^2)也会等于11
所以9*11*11=1089=33^2
(3)前面四个数是a,b,c,d
所以(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2=
a^2*c^2+b^2*d^2+a^2*d^2+b^2*c^2
=a^2*c^2+b^2*d^2+2abcd+a^2*d^2+b^2*c^2-2abcd
=(ac+bd)^2(ad-bc)^2
所以成立
1) 设 (ab)^2=ABCD
(xy)^2=ABCD+1111
(xy)^2-(ab)^2=1111
(xy-ab)(xy+ab)=1111
11(ab+11+ab)=1111
2ab+11=101
2ab=90
ab=45
所以45平方=2025
2025→3136=56^2
2) (xy)^2 = (ab)^2-(ba)^2
(xy)^2 = (10a+b)^2-(10b+a)^2
= (10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)
= 9(a-b)*11(a+b)
=9*11(a^2-b^2)
因为是平方数,所以 9可以不用理
11是质数所以(a^2-b^2)也会等于11
所以9*11*11=1089=33^2
3) 不是很明白,12,22,32是平方数?
大便
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