数学高中竞赛整除问题求解

高中数学竞赛初等数论整除证明题~

4(2a+3b)也是17的倍数
4(2a+3b)+9a+5b=17(a+b)是17的倍数
所以9a+5b是17的倍数

你好，我是冼老师，刚才上网看到了你这道有趣的题目，好像有点难，不过想了一下，在纸上写了写，算出来了。希望能给你带来一点启发。分析如下：
1、“小的可以被9整除，中间的可以被8整除，大的可以被7整除”， 这句话中，我们抓住中间的数，这个数如果加上8，就变成了能同时被9和8和7整除的数。而这个数最小就是7*8*9=504，所以中间的数是：504-8=496，前一个数是495、后一个数是497.
2、问题答案是：495+496+497=1488

看明白了吗？好好加油哦！

26a+10b+c≡0(mod37)
等价于11a≡10b+c(mod37)
等价于10（a-b）≡（c-a）（mod37）
等价于10(a-b)=(c-a)+37n 其中n为整数
先估计n的范围
因为(a-b)和(c-a)=-8,-7,...7,8.
37n=10(a-b)+(a-c)属于-88到88。
所以n只能是-2，-2，-1,0，1,2,3。
再分情况讨论：
（1）
n=0时，10（a-b）=(c-a)
再由c-a的范围可知c-a=0
从而a-b=0 所以a=b=c
从而（a,b,c）=(3 3 3)(6,6,6)(9,9,9)(12,12,12)(15,15,15)(18,18,18)(21,21,21)(24,24,24)(27,27,27)
(2)n=1时,
(c-a)+37=10（a-b）
所以c-a=3或-7
然后再经过简单的讨论可得（a,b,c）=(8,5,1)(9,6,2)(5,1,8)(6,2,9)
(3)n=2时，
经过同样的讨论可得：
(a,b,c)=(8,1,4)(9,2,5)
(4)n=-1时，
(a,b,c)=(1,4,8)
(2,5,9)(4,8,1）（5,9,2）
(5)n=-2时，
（a,b,c）=(1,8,5)(2,9,6)
饿 终于写完了
综上 再把a b c 加起来得到
a+b+c=3,6,9,12,15,18,21,24,27,14,17,13,16共13种情况

这就是个凑数问题啊，当a=b=c时可以得出a（26+10+1）=37a 所以a可以从1--9随便取值有9种，在就是凑数了就可以了只要问题是a b只是个10位数的辅助c是个位数的辅助把a从2到9试一遍就出来了很简单的

问下26a 是指 26 * a 还是 26a 三位整数？

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浙江省13425601985： 求解数学竞赛题？
武吉先乐： x=3,y=2 此题可以理解为一个五位数x679y能被72整除.详细过程如下: 因此五位数x679y既能被8整除同时也能被9整除. 一个数被8整除时,它最后三位组成的数一定被8整除,所以,三位数79y能被8整除,通过除法运算,不难得到y=2 一个数能被9整数,它的数字之和能被9整除,所以x+6+7+9+2=x+24被9整除,注意到0 而且每瓶饮料的单价是5.11元

浙江省13425601985： 一道数学竞赛题 - ？
武吉先乐： 解:(1) 因为2a+5b=c 所以a+b+c=a+b+2a+5b=3a+6b=3(a+b) 由此a+b+c一定能被3整除 (2) 最大可被本身整除 即3a+b

浙江省13425601985： 求解一道高中数学奥赛题数论和构造？
武吉先乐： 解:首先,如下61个数:11, , ,…, (即1991)满足题设条件. …………(5分) 另一方面,设 是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数 ,因为 , , 所以 . 因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………(10分) 设 ,i=1,2,3,…,n. 由 ,得 , 所以 , ,即 ≥11. …………(15分) ≤ , 故 ≤60. 所以,n≤61. 综上所述,n的最大值为61. …………(20分)

浙江省13425601985： 数学竞赛整除问题 - ？
武吉先乐： X^2+X+24 ≡ 0 (mod67) X^2+X-110 ≡0(mod67) (x-10)(x+11)≡0(mod67) 则有x-10≡67 或x+11≡0(mod67) 考虑第一种情况 故X最小是10 mod是同余的意思 初三竞赛书上一般都有

浙江省13425601985： 高中数学归纳法、整除数的一道难题、在线等!？
武吉先乐： n=1时,2n^3+n=3,能被3整除. 假设当n=k时,2k^3+k能被3整除,则当n=k+1时 2(k+1)^3+(k+1)=(2k^3+k)+(6K^2+6k+3)=(2k^3+k)+3(2K^2+2k+1) 3(2K^2+2k+1)能被3整除,由假设(2k^3+k)能被3整除,故当n=k时命题也正确. 由以上知,对任意的正整数n,命题都正确.

浙江省13425601985： 求解关于整除的一道数学运算 - ？
武吉先乐： 1到2007,可以分为七组数,其中除以7余1的有287个,余数为2的、为3的、为4的、为5的数都是287个,余6的和能整除的是286个.我们发现,拿出任意3组,都可以出现3个数相加能被7整除的现象.所以,我们只能拿出两组,这两组可以使除以7余1,余2的或余1、余4的或余2、余4或余2、余5的或余3、于5的,无论拿以上哪两组都是个,然后可以再从可以整除的数中任意拿2个,这样一共576个

浙江省13425601985： 高中数学 竞赛题 - ？
武吉先乐： 3个数和能被3整除的方式有{0,0,0},{1,1,1},{2,2,2},{0,1,2} 4种.故共有 C[6,3]+C[7,3]+C[6,3]+6*7*6=327

浙江省13425601985： 数学归纳法证明整除问题例如,要证明一个含n的多项式能被7整除,那么当证到当n=k时,设那个多项式=7m,那么这个m是正整数还是实数? - ？
武吉先乐：[答案] 一定是整数 能被7整除是指除以7后是整数

浙江省13425601985： 奥数中的整除问题？
武吉先乐： 就是看从100到999 这里面有多少数满足上面的条件 119满足 那么119加上2,3,4,5,6的最小公倍数也应该满足 即119+k.60(k为整数)都是满足条件的 可知 K最小取0 最大取14 所以这样的3位数一共有15个

浙江省13425601985： 数学归纳法 整除问题 - ？
武吉先乐： 当n=0时: (3的4n+2方)+(5的2n+1次方)=14 能被14整除 假设当n=k(k>=1)时命题成立.则有:(3的4k+2方)+(5的2k+1次方)能被14整除当n=k+1时,【3的4(k+1)+2方】+【5的2(k+1)+1次方】=25*【(3的4k+2方)+(5的2k+1次方)】+56*(3的4k+2方)两部分都能被14整除,故当n=k+1时,【3的4(k+1)+2方】+【5的2(k+1)+1次方】也能被14整除. 得证