设f（x）为[-a，a]上的连续的偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫a?a|x-t|f（t）dt．（Ⅰ）证明：F′（x）单
1、证明见图片.
2、因为(arctane^x+arctane^(-x))'=0，所以arctane^x+arctane^(-x)为常数，当x=0时，其值为π/2, 所以arctane^x+arctane^(-x)=π/2. 以下计算见图片
F(x)=积分（从--a到0）|x--t|f(t)dt+积分（从0到a）|x--t|f(t)dt 第一个做变量替换t==-y再用t代替y
=积分（从0到a）(|x--t|+|x+t|)f(t)dt 故F(x)是偶函数，只需考虑x位于【0，a】区间即可。
=积分（从0到x）(x--t+x+t)f(t)dt+积分（从x到a）(t--x+x+t)f(t)dt
=2x积分（从0到x）f(t)dt--积分（从a到x）2tf(t)dt，
于是F'(x)=2积分（从0到x）f(t)dt是【0，a】上的递增函数，由F'(x)是奇函数知道
F'(x)是【--a，a】上的递增函数。
| ∫ | x f(x)为[-a,a]上的连续函数,则定积分∫f(-x)dx= (积分上限a下限-a) 设f﹙x﹚为[-a,a]上的连续函数,则定积分∫﹙-a到a﹚f﹙-x﹚dx=___ 证明f(x)在[-a,a]上可积并为奇函数,则∫ f(x)dx=0 设f(X)的定义域为D=[-a,a] (a>0) ,求函数f(X²-1)的定义域。求解答... 设函数f(x)在[-a,a]上连续则定积分∫[-a,a]x(f(x) f(-x))dx=? 证明定义在闭区间[-a,a]上的任意函数f(x)总可以表示为一个奇函数和一... 设函数f(x)在[-a,a]上连续,则∫x(f(x)+f(-x))dx 上限为a下限为-a=多少... (x)在[-a,a]为偶函数,证明f(x)\/(1+e^x)从-a到a的积分=f(x)从0到a的... 设f(x),g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续,g(x) 为偶函数,且f(x)满足条件f... 证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx 针便慢心：[答案] 1、第一步∫a,-af(-x)dx=∫-a,af(t)d(-t)相等吗? 相等,因为一开始就设了令-x=t,则x=-t,你把x换成-t即可 2、说当x=-a,t=a,当x=a,t=-a是什么意思,对解题有什么意义 有意义,因为f(x)是[-a,a]上的连续函数,而当x=-a,t=a,当x=a,t=-a 即x∈[-a,a],t也属于[-... 卧龙区18087312463： 设f﹙x﹚为[ - a,a]上的连续函数,则定积分∫﹙ - a到a﹚f﹙ - x﹚dx=____ -- ？ 针便慢心：[选项] A. 0 B. 2∫﹙0到a﹚f﹙x﹚dx C. -∫﹙-a到a﹚f﹙x﹚dx D. ∫﹙-a到a﹚f﹙x﹚dx 卧龙区18087312463： 设函数f(x)在[ - a,a]上连续,在( - a,a)上可导,且f( - a)=f(a),a大于0.试证明在( - a,a)内至少存在一点···至少存在一点h,使得f'(h)=2hf(h) - ？ 针便慢心：[答案] 证明: 设F(X)=f(x)e^(-x^2),则F'(x)=[f'(x)-2xf(x)](e^(-x^2)), 因为F(b)=F(-b),所以F'(x)在(-a,a)内至少存在一点C,使得F'(C)=0; 所以f'(x)-2xf(x)]在(-a,a)至少存在一点h,使得f'(h)=2hf(h) 卧龙区18087312463： f(x)为[ - a,a]上的连续函数,则定积分∫f( - x)dx= (积分上限a下限 - a) - ？ 针便慢心：[答案] 令t = - x,dt = - dx x = - a,t = a x = a,t = - a ∫(- a→a) ƒ(- x) dx = ∫(a→- a) ƒ(t) (- dt) = ∫(- a→a) ƒ(t) dt = ∫(- a→a) ƒ(x) dx 卧龙区18087312463： 设f(x)为[ - a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫a−a|x - t|f(t)dt.(Ⅰ)证明:F′(x)单调增加.(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a) - ... - ？ 针便慢心：[答案] (Ⅰ)∵F(x)=∫x−a(x−t)f(t)dt+∫ax(t−x)f(t)dt=x∫x−af(t)dt−∫x−atf(t)dt+∫axtf(t)dt-x∫axf(t)dt∴F′(x)=∫x−af(t)dt+xf(x)−xf(x)−xf(x)−∫axf(t)dt+xf(x)=∫x−af(t)dt−∫axf(t)dt∴F″(x)=f... 卧龙区18087312463： 一道定积分证明题,设f(x)在[ - a,a]上连续,证明∫(0,a)f(x)dx=2∫(0,a/2)f(a - 2x)dx - ？ 针便慢心：[答案] 你把 a-2x=t 则 等式右边积分限变为 (a,o) ∫(0,a/2)f(a-2x)dx =∫(a,o)f(t)d(a-t/2)=-1/2∫(a,0)f(t)d(t) 还元 =-1/2∫(a,0)f(x)d(x) 在乘以2倍 得原式 卧龙区18087312463： 设函数f(x)在对称区间【 - a,a】上连续,证明∫( - a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f( - x)]dx - ？ 针便慢心：[答案] ∫(-a,a)f(x)dx=∫(-a,0)f(x)dx+∫(0,a)f(x)dx对∫(-a,0)f(x)dx,令x=-t x=-a t=a; x=0 t=0 ; dx=-dt得:∫(-a,0)f(x)dx=∫(a,0)f(-t)(-dt)=∫(0,a)f(-t)dt=∫(0,a)f(-x)dx故∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx... 卧龙区18087312463： 设函数f(x)在【 - a,a】上连续,求证当fx为奇函数时, - ？ 针便慢心： 设函数f(x)在【-a,a】上连续,求证当fx为奇函数时,f(a)+f(-a)=0 f(a)=-f(a) 卧龙区18087312463： 设f(x)在[ - a,a]上连续,则f(x)为奇函数是积分∫( - a,a)f(x)dx=o的什么条件 - ？ 针便慢心：[选项] A. 必要 B. 既不充分也不必要 C. 充分 D. 充分必要 卧龙区18087312463： 已知f(x)在[ - a,a]连续,求f(x) - f( - x)在 - a到a的定积分要具体的过程 - ？ 针便慢心：[答案] 因为f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)],所以f(x)-f(-x)为奇函数,图像关于原点对称,f(x)-f(-x)在-a到a的定积分= f(x)-f(-x)在-a到0的定积分+f(x)-f(-x)在0到a的定积分=0(原点两侧面积相等,但正负相反) 你可能想看的相关专题
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