积化和差公式是什么，怎么推导出来的

三角函数的积化和差公式是什么，怎么推导出来的~

首先,我们知道sin(a
b)=sina*cosb
cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a
b)
sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a
b)
sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a
b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a
b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb
sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a
b)
cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a
b)
cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a
b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a
b)
sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a
b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a
b)
cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a
b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a
b设为x,a-b设为y,那么a=(x
y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx
siny=2sin((x
y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x
y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx
cosy=2cos((x
y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x
y)/2)*sin((x-y)/2)

http://baike.baidu.com/view/383748.htm?fr=ala0_1正弦、余弦的和差化积

指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
设 α+β=θ，α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2
把α，β的值代入，即得
sin θ+sin φ=2sin(θ+φ)/2 cos(θ-φ）/2
[编辑本段]正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立

积化和差公式是：

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ   =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

和差化积以及积化和差公式的推导非常简单。只要掌握

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

这种最基本的三角函数展开公式，就能轻松掌握8个公式的推导

首先、下面这几个都是高中的内容了，要熟稔于心

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ             ①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ              ②

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ             ③

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ             ④

我们看积化和差公式，我们要找的积是

sinαcosβ、sinαsinβ这种。

看①②两个式子，sinαcosβ当作x   cosαsinβ当作y。那么①②两个式子就相当于一个方程组了，那么很容易就能解出sinαcosβ， cosαsinβ。同理式子 ③ ④也是

于是得到积化和差的公式

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ   =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

扩展资料：

得到积化和差的公式后，只要在做一个小的变换就能得到和差化积的公式了。令积化和差公式中的α+β=a，α-β=b。

则，α=(a+b)/2   β=(a-b)/2  

积化和差公式改写为

sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina+sinb]/2

cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa+cosb]/2

然后把右边式子的/2移到左边去，把a用字母α，b用字母β代替

就得到了我们的积化和差公式。

参考资料：百度百科-积化和差

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

推导过程：

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 

把两式相加得到：sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb 

所以，sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

同理，把两式相减，得到：

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 

把两式相加，得到：cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 

所以，cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2 

同理，两式相减，得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 

扩展资料：

和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

积化和差公式是一组对于三角函数乘积与差的关系的公式。推导这些公式可以使用三角函数的和差化积公式。

1. 积化和公式：
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
推导过程：
根据三角函数的和差化积公式：
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
把B设为-(-B)，然后将上述两个公式中的B替换为-(-B)，得到：
sin(A - (-B)) = sinAcos(-B) + cosAsin(-B) = sinAcosB - cosAsinB
cos(A - (-B)) = cosAcos(-B) - sinAsin(-B) = cosAcosB + sinAsinB
此即为积化和公式。

2. 差化和公式：
sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB
cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
推导过程：
根据三角函数的和差化积公式：
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
把B设为-(-B)，然后将上述两个公式中的B替换为-(-B)，得到：
sin(A + (-B)) = sinAcos(-B) + cosAsin(-B) = sinAcosB - cosAsinB
cos(A + (-B)) = cosAcos(-B) - sinAsin(-B) = cosAcosB + sinAsinB
此即为差化和公式。

这些公式在三角函数运算中经常使用，可以方便地将三角函数的乘积或差表示为和的形式，从而简化计算和推导。

简单分析一下，详情如图所示

积化和差公式是将两个三角函数相加或者相减，然后化简为一个三角函数的形式。具体公式如下：

• sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

• sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

• cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

• cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

这些公式的推导过程可以通过使用欧拉公式和三角函数的恒等式来进行。例如，对于sin(α+β)的推导，可以将其表示为：

sin(α+β)=cos[(π/2)-(α+β)]=cos[(π/2)-α-β]

然后使用cos(α+β)和sin(α+β)的展开式，以及cos和sin的对称性，得到：

cos[(π/2)-α-β]=cos[(π/2)-α]cosβ-sin[(π/2)-α]sinβ

化简后即可得到sin(α+β)的公式。同样的方法也可以用于推导其他积化和差公式。

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灵山县19558895322： 三角函数和差化积公式怎么推导的?要详细过程哦~~ - ？
右桑帅星： 和差化积的口诀:正弦加正弦,正弦在前面;如sinA+SinB=2sin(A+B)/2 ·COS(A-B)/2正弦减正弦,正弦在后面,如sinA-SinB=2COS(A+B)/2 ·sin(A-B)/2余弦加余弦,余弦肩并肩,如COSA+COSB=2COS(A+B)/2 ·COS(A-B)/2余弦减余弦,余弦看不见,如COSA-COSB=-2Sin(A+B)/2 ·sin(A-B)/2 最后面个注意负号不要掉了! 积化和差:这个反推就行了 三角公式我原来高中就记了几个公式加口诀,ok,所有的题目ok啦! 希望有所帮助!

灵山县19558895322： 请写下积化和差公式的推导过程 - ？
右桑帅星：[答案] sinαcosβ= 1/2〔sin(α+β)+sin(α-β)〕 cosαsinβ= 1/2〔sin(α+β)-sin(α-β)〕 cosαcosβ= 1/2〔cos(α+β)+cos(α-β)〕 sinαsinβ= - 1/2〔cos(α+β)-cos(α-β)〕 比如sinαcosβ= 1/2〔sin(α+β)+sin(α-β)〕 推导: sin(α+β)+sin(α-β) =(sinαcosβ + cosαsinβ) + (sinαcosβ - ...

灵山县19558895322： 三角函数和差化积公式如何推导? - ？
右桑帅星： 正弦、余弦的和差化积 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 证明过程 法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 ...

灵山县19558895322： 数学和差化积、积化和差的公式及推导过程. - ？
右桑帅星：[答案] 正弦、余弦的和差化积sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]...

灵山县19558895322： 三角函数中的和差化积公式是怎样推导出来的? - ？
右桑帅星：[答案] 先根据sin(α+β) sin(α-β) cos(α+β) cos(α-β)然后sin(α+β) + sin(α-β) sin(α+β) - sin(α-β) cos(α+β) + cos(α-β) cos(α+β) - cos(α-β)这样推出了积化和差公式令α+β=θ α-β=...

灵山县19558895322： 积化和差和和差化积的推导这8个公式好像都是由一个公式推导来的.积化和差公式:sinαsinβ= - [cos(α+β) - cos(α - β)]cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α - β)]sinαcosβ= [sin... - ？
右桑帅星：[答案] 高中教科书上没有直接写积化和差和和差化积的公式,只给了课后的练习题,要你证明这些公式 证明是简单的,只需要把等式右边用两角和差公式拆开即能证明 sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[-2...

灵山县19558895322： 三角函数积化和差公式是什么 - ？
右桑帅星：[答案] 和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 积化和差公式 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα...

灵山县19558895322： 求“积化和差,和差化积”公式的推导过程! - ？
右桑帅星：[答案] 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2... 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+...

灵山县19558895322： 积化和差公式的推导! 怎么做 - ？
右桑帅星： 和差化积 sinx siny=2sin[(x y)/2]cos[(x-y)/2] sinx-siny=2cos[(x y)/2]sin[(x-y)/2] cosx cosy=2cos[(x y)/2]cos[(x-y)/2] cosx-cosy=-2sin[(x y)/2]sin[(x-y)/2]积化和差 sinxsiny=-1/2[cos(x y)-cos(x-y)] cosxcosy=1/2[cos(x y) cos(x-y)] sinxcosy=1/2[sin(x y) sin(x-y)] cosxsiny=1/2[sin(x y)-sin(x-y)]

灵山县19558895322： 数学中的和差化积公式的推导过程 - ？
右桑帅星：[答案] 正弦、余弦的和差化积 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=...