高分求计算机控制技术大作业

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2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式
控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。
2.4.1 方块图元素
（1）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。
（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point
两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。
“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。

注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。
(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point
表示信号测量或引出的位置

注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。
2.4.2 几个基本概念及术语

(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0
打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。

(2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function假设N(s)=0
主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。

(3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0
主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。

(4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0
输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。

推导：因为
右边移过来整理得
即 **
(5) 误差传递函数 假设N(s)=0
误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。
将 代入上式，消去G(s)即得：

(6) 输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0

图2-18 输出对扰动的结构图
由图2-18，利用公式**，直接可得：
(7) 误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0

图2-19 误差对扰动的结构图
由图2-19，利用公式**，直接可得：

线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：

注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。
2.4.3 方块图的绘制
（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。
（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。
系统方块图-也是系统数学模型的一种。
例2-8 画出下列RC电路的方块图。

图2-20一阶RC网络
解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：
对其进行拉氏变换得：
由（1）和（2）分别得到图（b）和(c)。

将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。

例2-9 画出下列R-C网络的方块图。

解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。

图2-21 二阶RC网络
根据公式(1)~(4)，分别画出对应的方块图，如图(c)中虚线框所示。
由图清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压 产生影响，这就是负载效应。
如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。

2.4.4 方块图的简化——等效变换
为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。
（1）串联连接

图2-23 环节的串联连接
在控制系统中，常见几个环节按照信号的流向相互串联连接。
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。

结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。

式中，n为相串联的环节数。
（2）并联连接

图2-24 环节的并联连接
特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和，即:

结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。即：

式中，n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。
（3）反馈连接

图2-25 环节的反馈连接
（4）比较点和分支点（引出点）的移动
有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

放大缩小 缩小放大

 

图2-26 比较点移动示意图

 

 
右 左
图2-27 分支点移动示意图
例2-10 用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)。

图2-28 多回路系统方块图
解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。

串联和并联
反馈公式
反馈公式

例2-11 将例2-9的系统方块图简化。

分支点A后移（放大->缩小），比较点B前移（放大->缩小）。比较点1和2交换。

图2-29 方块图的简化过程

2.4.5 信号流图和梅逊公式（S•J•Mason）
方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。
2.4.5.1信号流图中的术语

图2-30 信号流图
输入节点：具有输出支路的节点。图2-30中的 。
输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图2-30中的 。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如图2-30中的
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。
①
②
③
前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。
回路：起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。
（闭通路） ， ，

， ，
，
回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示。
不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。
在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。
例如： 和
和

信号流图的性质
① 信号流图适用于线性系统。
② 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。
③ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支
路。
④ 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。
⑤ 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。

2.4.5.2 信号流图的绘制
⑴ 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。
⑵由系统方块图绘制。
例2-12 书上例2-18，见书 （第三版P56） 图2-31(画出2-43)所示系统方块图的信号流图。

解：①用小圆圈表示各变量对应的节点
②在比较点之后的引出点 ，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 。
证明：

2.4.5.3

式中 系统总增益（总传递函数）
前向通路数
：第k条前向通路总增益
信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。

其中： ――所有不同回路增益乘积之和；
――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
…
――所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余因子。
例2-13 求图2-33（a）所示信号流图的总增益

图2-33 信号流图

例2-14 利用Mason’s gain formula 求图2-34所示系统的闭环传递函数。

图2-34 某系统的信号流图
解：前向通路有3个

4个单独回路

互不接触

例2-14 系统的方块图如2-35所示，试画出信号流图，并用梅逊公式求系统的传递函数 。

只有一个前向通路

有三个独立回路

没有两个及两个以上的互相独立回路

第三章 线性系统的时域分析法
3.1 引言
分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解释的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初使条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在差一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。

3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号：
① 实际系统的输入信号不可知性
② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系
③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的绕动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function）
室温调节系统和水位调节系统
（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度
（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线

（单位）脉冲函数（Impulse function）
正弦函数（Simusoidal function）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）
3.1.2 动态过程和稳态过程
瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应 指系统从初使状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。

3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差
Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error
在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
•相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。陈动态过程。
•稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。
在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如直到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
•动态性能指标：
在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为尊振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。图3-2
① 延迟时间 ：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。
② 上升时间 （Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
③ 峰值时间 （Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
④ 调节时间 （Settling Time）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
⑤ 最大超调量 （Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值 之差的的百分比，即

或 评价系统的响应速度； 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 评价系统的阻尼程度。

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