二项式定理例题_二项式定理教学案设计

~ 《二项式定理》教案设计

教材：人教A版选修2-3第一章第三节

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.

(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析(ab)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

三、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：二项式定理研究的是(ab)n的展开式，如：(ab)2a22abb2，

(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展开式是什么？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

（二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

问题1. (a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

问题2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、(ab)3展开式的再认识

探究1：不运算(ab)3，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

(4) 从上述三个问题，你能否得出(ab)3的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式.

【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

(三) 形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二项式定理

证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理

nkkbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ab，

它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个n可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是annk

kb的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图】通过仿照(ab)3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(四) 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：共有n1项.

2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knk3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数.

knkk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示.

knkk即通项为展开式的第k1项: Tk1=Cnab

变一变 （1）(ab)n （2）(1x)n

例. 求(2x16)的展开式. x

思考1：展开式的第3项的系数是多少？

思考2：展开式的第3项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第3项？

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

(五) 课堂小结，课后作业

小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

0n1n1knkknn1. 公式： (ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.

作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3

012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质． ,Cn,Cn,,Cn,,Cn

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北仑区18391159230： 二项式定理教学设计 - ？
虞彦优诺： 你可以从又来说起,杨辉三角,然后得出什么规律在得出结论,最后是运用这些结论.具体内容是什么可以参考相关书籍

北仑区18391159230： 二项式定理中的数学思想 - ？
虞彦优诺： 一、学习目标 1.掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质及应用,这是本节的重点; 2.掌握二项式定理的应用,这是本节的难点. 二、知识网络三、要点梳理 1.二项式定理是(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3...

北仑区18391159230： 二项式定理知识点及典型题型总结 - ？
虞彦优诺： 去百度文库,查看完整内容>内容来自用户:csu碧水蓝天二项式定理 一、基本知识点 1、二项式定理:2、几个基本概念 (1)二项展开式:右边的多项式叫做的二项展开式 (2)项数:二项展开式中共有项 (3)二项式系数:叫做二项展开式...

北仑区18391159230： 数学排列组合、二项式定理题目 - ？
虞彦优诺： 假设x个男生,(8-x)个女生 分步做: (1)先出3个人: 男生2个: x(x-1)/2 x种选择(选第一个有x种可能,选第二个就有x-1种可能,除2是为了去除ab和ba的相同选择的重复,因为这里不讲究前后顺序) 女生1个:8-x 种选择(2)3人选择项目 显然是3*2*1=3! 种可能那么就是 x(x-1)/2 *(8-x) *3*2*1=180 x(x-1)(8-x)=60 解得x=5

北仑区18391159230： 关于二项式定理请具体结合公式讲解一下二项式定理的推导及用途 - ？
虞彦优诺：[答案] 二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等. 通过二项式定理的学...

北仑区18391159230： 二项式定理习题(请详细写出运算过程) - ？
虞彦优诺： (a^(1/2)+a^(-2/3))^n 通项:T(r+1)=C(r,n)[ a^(1/2)]^(n-r)*[ a^(-2/3)]^r 第二项:T(1+1)=C(1,n)[ a^(1/2)]^(n-1)*[ a^(-2/3)]^1=C(1,n)*a^(n-1)/2*a^(-2/3) 第三项:T(2+1)=C(2,n)[ a^(1/2)]^(n-2)*[ a^(-2/3)]^2=C(2,n)*a^(n-2)/2*a^(-4/3) C(2,n)/ C(1,n)=11/2==>n=23

北仑区18391159230： 牛顿二项式定理 - ？
虞彦优诺： 二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出. 即(a+b)^n=a^n+C(n 1)a^(n-1)b+...+b^n 1/√(1-a²/b²) =(1-a²/b²)^(-1/2) =1-C(1/2 1)a²/b²+C(1/2 2)(a²/b²)^3-C(1/2 3)(a²/b²)^4+... =1-(1/2-1)a²/b²...

北仑区18391159230： 二项式定理的应用 设(2x - 1)^5=a0+a1*x+a2*x^2+……+a5*x^5 求a0+a1+a2+a3+a4的值 - ？
虞彦优诺：[答案] (2x-1)^5展开式中(2x)^5=32x^5 可知a5=32 取x=1 (2x-1)^5=a0+a1*x+a2*x^2+……+a5*x^5 1^5=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5 a0+a1+a2+a3+a4=1-32=-31

北仑区18391159230： 高中数学二项式定理 - ？
虞彦优诺： 二项式定理就是要背公式,然后要有＂整体的观点＂,也就是说,有的式子很复杂,但是你要是能把那些复杂的式子看作一个整体的话,就会发现是那么简单,然后就可以很好的解题了.有的时候,运用公式的条件不具备,那么你就想个办法,做个等量代换,比如乘以一个数,再除以一个数,这样,在括号里的式子就能使用公式了.然后计算出来以后再化简,就能得到你需要的结果.

北仑区18391159230： 二项式定理的题型 - ？
虞彦优诺： 二项式定理题型有1.求某一项系数2.赋值法求系数和3.证明不等式4.证明整除问题