二项式定理例题_二项式定理教学案设计
教材:人教A版选修2-3第一章第三节
一、教学目标
1.知识与技能:
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法:
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式.
3. 情感、态度与价值观:
培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.
二、教学重点、难点
重点:用计数原理分析(ab)3的展开式,得到二项式定理.
难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
三、教学过程
(一)提出问题,引入课题
引入:二项式定理研究的是(ab)n的展开式,如:(ab)2a22abb2,
(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展开式是什么?
【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题.
(二)引导探究,发现规律
1、多项式乘法的再认识.
问题1. (a1a2)(b1b2)的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的?
问题2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?
【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备. 2、(ab)3展开式的再认识
探究1:不运算(ab)3,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论):
(1) 合并同类项之前展开式有多少项?
(2) 展开式中有哪些不同的项?
(3) 各项的系数为多少?
(4) 从上述三个问题,你能否得出(ab)3的展开式?
探究2:仿照上述过程,请你推导(ab)4的展开式.
【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考,分析各项的形式、项的个数,这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依.
(三) 形成定理,说理证明
探究3:仿照上述过程,请你推导(ab)n的展开式.
0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二项式定理
证明:(ab)是n个(ab)相乘,每个(ab)在相乘时,有两种选择,选a或选b,由分步计数原理
nkkbk(k0,1,n)的形式,对于每一项ab,
它是由k个(ab)选了b,n-k个(ab)选了a得到的,它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个n可知展开式共有2项(包括同类项),其中每一项都是annk
kb的组合数Cn,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.
【设计意图】通过仿照(ab)3、(ab)4展开式的探究方法,由学生类比得出(ab)n的展开式.二项式定理的证明采用“说理”的方法,从计数原理的角度对展开过程进行分析,概括出项的形式,用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数,从而得出用组合数表示的展开式.
(四) 熟悉定理,简单应用
二项式定理的公式特征:(由学生归纳,让学生熟悉公式)
1. 项数:共有n1项.
2. 次数:字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n.
各项的次数都等于n.
012knk3. 二项式系数: 依次为Cn,这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数.
knkk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示.
knkk即通项为展开式的第k1项: Tk1=Cnab
变一变 (1)(ab)n (2)(1x)n
例. 求(2x16)的展开式. x
思考1:展开式的第3项的系数是多少?
思考2:展开式的第3项的二项式系数是多少?
思考3:你能否直接求出展开式的第3项?
【设计意图】熟悉二项展开式,培养学生的运算能力.
(五) 课堂小结,课后作业
小结(由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想)
0n1n1knkknn1. 公式: (ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)
2. 思想方法:1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.
作业
巩固型作业:课本36页习题1.3 A组 1、2、3
012kn思维拓展型作业:二项式系数Cn有何性质. ,Cn,Cn,,Cn,,Cn
二项式定理问题
参考
二项式定理求展开式中常数项,怎么做。谁能举个例子给我看下。
求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行。例:展开式中的常数项 解:展开式的通项= ,令 ,解得 故常数项为:
如何证明二项展开式中的二项式定理?
1、项数:n+1项;2、第k+1项的二项式系数是C;3、在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等;4、如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等。四、证明 采用数学归纳法对二项式定理进行证明:如图:...
牛顿二项公式是什么
二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年-1665年间提出。该定理给出:两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。对于二项式展开式,求特定项的系数,我们可以通过展开式的通项公式、以及题目的已知条件信息,建立等量关系,从...
二项式定理
此定理指出:1、(a+b)^n的二项展开式共有n+1项,其中各项的系数Cnr(r∈{0,1,2,??,n})叫做二项式系数。等号右边的多项式叫做二项展开式。2、二项展开式的通项公式(简称通项)为C(n,r)(a)^(n-r)b^r,用Tr+1表示(其中"r+1"为角标),即通项为展开式的第r+1项(如下图),...
二项式定理习题
分析:先将0.95化为二项代数和1-0.05,再利用二项式定理计算。解:又 ,而以后各项的绝对值更小。∴从第4项起,均可忽略不计。评注:利用二项式定理求近似值,先将底数化为一个整数与一个绝对值较小的数的代数和,再利用二项式定理进行近似计算,关键是确定展开式中的保留项,使其满足近似计算的...
二项式定理的证明
这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cnr(r=0,1,……n)叫做二次项系数,式中的Cnran-rbr.叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=Cnraa-rbr.说明 ①Tr+1=cnraa-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项.r=0,1,2,……n....
二项式定理算二次项
\/2 +(N^2-N)\/2 =(M^2+N^2)\/2 -19\/2 =[M^2+(19-M)^2]\/2 -19\/2 =M^2-19M+171 =(M-19\/2)^2+181-(19\/2)^2 对称轴是M=19\/2 而f(x)是整式 所以M是整数 所以M=9,10的时候g取最小值=81 f(x)=(x+1)^9+(x+1)^10 含x^7项的系数是9C7+10C7=156 ...
牛顿二项式定理谁知道
牛顿写道;“用这一定理进行开方运算非常简便.”例如,假设我们求 现在,将等式右边的平方根代入前面标有()符号的二项展开式中的前6项,当然,此处要用29替换原公式中的x,因而,我 了前6个常数项.如果我们取二项展开式中更多的项,我们就会得到更加精确的近似值.并且,我们还可以用同样的方法求出三次...
二项式定理展开式公式
二项展开式的通项公式(简称通项)为C(n,r)(a)^(n-r)b^r,用Tr+1表示(其中"r+1"为角标),即通项为展开式的第r+1项(如下图),即n取i的组合数目。因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形。相关内容:二项式定理最初用于开高次方。在中国,成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上...
虞彦优诺: 你可以从又来说起,杨辉三角,然后得出什么规律在得出结论,最后是运用这些结论.具体内容是什么可以参考相关书籍
北仑区18391159230: 二项式定理中的数学思想 - ?
虞彦优诺: 一、学习目标 1.掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质及应用,这是本节的重点; 2.掌握二项式定理的应用,这是本节的难点. 二、知识网络三、要点梳理 1.二项式定理是(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3...
北仑区18391159230: 二项式定理知识点及典型题型总结 - ?
虞彦优诺: 去百度文库,查看完整内容>内容来自用户:csu碧水蓝天二项式定理 一、基本知识点 1、二项式定理:2、几个基本概念 (1)二项展开式:右边的多项式叫做的二项展开式 (2)项数:二项展开式中共有项 (3)二项式系数:叫做二项展开式...
北仑区18391159230: 数学排列组合、二项式定理题目 - ?
虞彦优诺: 假设x个男生,(8-x)个女生 分步做: (1)先出3个人: 男生2个: x(x-1)/2 x种选择(选第一个有x种可能,选第二个就有x-1种可能,除2是为了去除ab和ba的相同选择的重复,因为这里不讲究前后顺序) 女生1个:8-x 种选择(2)3人选择项目 显然是3*2*1=3! 种可能那么就是 x(x-1)/2 *(8-x) *3*2*1=180 x(x-1)(8-x)=60 解得x=5
北仑区18391159230: 关于二项式定理请具体结合公式讲解一下二项式定理的推导及用途 - ?
虞彦优诺:[答案] 二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等. 通过二项式定理的学...
北仑区18391159230: 二项式定理习题(请详细写出运算过程) - ?
虞彦优诺: (a^(1/2)+a^(-2/3))^n 通项:T(r+1)=C(r,n)[ a^(1/2)]^(n-r)*[ a^(-2/3)]^r 第二项:T(1+1)=C(1,n)[ a^(1/2)]^(n-1)*[ a^(-2/3)]^1=C(1,n)*a^(n-1)/2*a^(-2/3) 第三项:T(2+1)=C(2,n)[ a^(1/2)]^(n-2)*[ a^(-2/3)]^2=C(2,n)*a^(n-2)/2*a^(-4/3) C(2,n)/ C(1,n)=11/2==>n=23
北仑区18391159230: 牛顿二项式定理 - ?
虞彦优诺: 二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出. 即(a+b)^n=a^n+C(n 1)a^(n-1)b+...+b^n 1/√(1-a²/b²) =(1-a²/b²)^(-1/2) =1-C(1/2 1)a²/b²+C(1/2 2)(a²/b²)^3-C(1/2 3)(a²/b²)^4+... =1-(1/2-1)a²/b²...
北仑区18391159230: 二项式定理的应用 设(2x - 1)^5=a0+a1*x+a2*x^2+……+a5*x^5 求a0+a1+a2+a3+a4的值 - ?
虞彦优诺:[答案] (2x-1)^5展开式中(2x)^5=32x^5 可知a5=32 取x=1 (2x-1)^5=a0+a1*x+a2*x^2+……+a5*x^5 1^5=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5 a0+a1+a2+a3+a4=1-32=-31
北仑区18391159230: 高中数学二项式定理 - ?
虞彦优诺: 二项式定理就是要背公式,然后要有"整体的观点",也就是说,有的式子很复杂,但是你要是能把那些复杂的式子看作一个整体的话,就会发现是那么简单,然后就可以很好的解题了.有的时候,运用公式的条件不具备,那么你就想个办法,做个等量代换,比如乘以一个数,再除以一个数,这样,在括号里的式子就能使用公式了.然后计算出来以后再化简,就能得到你需要的结果.
北仑区18391159230: 二项式定理的题型 - ?
虞彦优诺: 二项式定理题型有1.求某一项系数2.赋值法求系数和3.证明不等式4.证明整除问题