数学优质课的从理论的层面上看——实现数学化
重在理解 画个知识结构图 而不是分点的一条条来 根据之间的联系
还有 上课多听 多做练习~~(不变的真理)
案例:教学一年级内容“在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶,一共有几瓶牛奶?”可以抽象成一个简单的数学问题:9和5合起来是多少?从实际问题剥离出简单的数学问题,就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构、建立数学模型的过程,是横向数学化。接着,列出算式“9+5”,探索:9+5应该怎样计算?这是纵向数学化活动,是创造算法化的过程。
案例:教学二年级内容“今晚开家长会,据统计,将有81位家长到会。会议安排在会议室进行。会议室要布置桌子,每张桌子可以坐6位家长(教师画了一个长方形代表桌子,桌子周围画了6个半圆代表人)。问:需要多少张桌子?”
学生甲:按照老师的提示,一张桌子周围画6个人,这样画了13张桌子,在第14张桌子周围画了3个人。得出结论,需要14张桌子。
学生乙:开始像甲一样画桌子,画了2张桌子后,他改变了方式,“太麻烦了”,用算式来做吧,81÷6=13……3。得出结论,需要14张桌子。
学生丙:直接用算式来算,81÷6=13……3。得出结论。
学生甲仅仅停留在实物操作的层面。当然,实物操作是实现数学化的重要的可视化的工具,也是必要的阶段。但是,仅仅停留在这样一个层面上,学生的思维就达不到较高的水平。没有抽象化和符号化,就没有数学。
学生丙处在符号操作的层面。仅仅用算式来表示,没有经过动手操作的过程,当寻求算式的意义的时候,往往会出现问题。比如,有的学生会回答说,需要13张桌子,还余3个人。其错误的原因在于没有经历数学化的完整过程。
只有学生乙经历了数学化的完整过程。先进行实物操作,然后用符号(即算式)来表示。由于有了动手操作的基础,学生自然理解了算式的实际意义。所以,当得到算式时,学生会得出需要14张桌子的结论。
案例:教学二年级“寻找余数比除数小的规律”
片断一:
师:余数与除数之间有什么关系?我们先来计算几道有余数的除法,再来看看余数的大小与除数有什么关系?(学生计算)
17÷4=4……1,
18÷4=4……2
19÷4=4……3
师启发学生得出“余数比除数小”
师:为什么余数一定要比除数小?学生大都说“不知道”。
片断二:
学生经历脑中分豆子,然后
师:现在我们不用实物分豆子,也不用脑中分豆子了,用算式来分豆子,将17粒豆子平均分到4个盘子里,怎样用算式表示?18粒呢?19粒呢?
生思考并写出相应的算式。
师板书:17÷4=4……1,
18÷4=4……2
19÷4=4……3
每写出一个算式后,请学生寻求算式的意义。
师:请同学们观察以上算式,你发现了什么?你能对你的发现进行解释吗?
学生汇报了好多发现后,有一个学生说:“余数要比除数小,因为,如果余数比除数大的话,还可以继续分。”
分析:片断一明确提出了目标——找余数和除数的关系。师生共同进行有余数除法的运算,通过观察算式,得到了余数比除数小的规律。学生是通过纵向的数学化得到这一规律的。由于学生缺了横向数学化的基础,丢掉了对意义的寻求,少了探索的时空,因而,学生没有真正理解余数的意义,也就很难理解为什么会有这一规律了。
片断二就比较好地解决了这个问题,帮助学生顺利地实现了数学化。教师提供给学生活动的时间,提供的问题也具有一定的开放性,教师不断地维持对意义的寻求,从而,教师引起并保持了学生的高认知水平。从横向数学化的角度来说,每看到一个算式后,教师都让学生结合分豆子来解释算式的意义,因而,在学生的头脑中加深了对余数的意义的理解,“余数就是剩下的不能再分的豆子”,其潜在的台词就是“余下的豆子数比盘子数要少”,更进一步的、稍稍抽象的台词是“余数要比除数小”。从纵向数学化的角度来看,通过比较、不完全归纳发现,余数1,2,3,要比除数小,因为余下的豆子数比盘子数要少,否则就可以继续分了。在寻求余数的意义的同时,也在寻求“余数比除数小”的原因,也在寻求余数比除数小的规律。余数的意义是基础,它有待升华为余数的规律,余数的规律要回到现实中去,必须寻求对余数意义的理解。 (1)创设有数学含量的情境
创设有数学含量的教学情境能激发学生的学习兴趣,为学生提供良好的学习数学环境。顾冷沅指出:“引起兴趣的有内容本身、内容的表达方式以及内容的学习方式等,但一味追求兴趣的教学活动也会出现偏颇,人们注意到,知识不总是好玩的,也不总是容易的,学习在本质上是一个不断克服困难的过程。对于学生的终身学习而言,长效的核心知识必须作为学生学习的真正主干。”数学课堂创设适宜的情境要根据具体内容,帮助学生更好地学习和理解数学知识,为学生学习数学服务,促使学生用数学的眼光关注情境,为数学知识和技能的学习提供支撑,为数学思维的发展提供土壤。数学课要上出数学味道来,体现数学的本源性。
案例:老师在教整数加法交换律时,创设了这样一个情境:老师准备了一个带长柄的勺子,请一名学生拿着它的末端舀汤放到自己的嘴里。一个学生上来试了试,怎么也喝不到汤。然后老师安排4个学生,分成两组,看哪个小组先喝到汤。学生逐渐明白,只有把汤送到对方饿嘴里,才能喝到。然后老师说,这就是生活中的交换律。
这个情境的确生活化了,学生的活动也很热闹,但是,这体现出加法交换律了吗?这是一种误导,生活中的交换律和数学中的交换律有着本质的区别,不可将交换律庸俗为生活中的交换。这个情境本身缺少数学的含量,缺失了数学的本质。
案例:教学北师大版三年级《小树有几棵》
教师利用多媒体出示教学情境图,引导学生观察。
师:同学们,你们知道植树造林对人类的好处吗?每年我们学校都要植树,那么今天我们来看一看,植树的活动中有哪些数学问题。
(设计意图创设学生所熟悉的植树这一生活情境,密切数学与现实生活的联系,同时对学生进行环保教育。)
2.请你认真观察图后和同桌说说你看到了什么,(一共有几捆小树?每捆有几棵?)你能提出哪些数学问题?
引导学生提出问题“小树一共有多少棵?”。
学生列出算式20×3,然后尝试计算。
教师结合生活具体情境,从实物-问题-算式,学生经历了横向数学化的过程,同时培养学生提出问题和解决问题的意识和能力。这情境数学含量高,又不花哨。
(2)遵循由实物操作到表象操作再到符号操作的认知过程
布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明,儿童的认知发展需要经历三个阶段:动作认知、图形认知和符号认知,对应着思维发展的三种水平:操作水平、表象水平和分析水平。因而,对于小学生而言,一般要经历从实物到表象再到符号的三个操作阶段。但是,对于程度较好的学生,完全有能力直接进入形式化的符号操作阶段。另外,对于纵向的数学化而言,自然是从符号到符号的操作,但是,我们也应该看到,其最初的符号操作也还是依赖于直观和实物的。
案例:学生计算“9+5”时,处在动作认知水平的学生,可能会先数出9根和5根小棒,然后合在一起数,得出14根,他们利用实物的图式,还摆脱不了数数的具体操作;处在图形认知水平的学生,可能会先画出两堆小圆圈,一堆9个一堆5个,然后从5个中划出1个小圆圈并到另一堆,变成10个一堆和4个一堆,得出14,他们利用图形的图式,已经摆脱了动作,可以借助表象进行思维了;处在符号认知水平的学生,可以进行抽象的思维:9+1=10,10+4=14。他们利用符号的图式,有良好的数感和符号感。
(3)寻求形式化的符号的意义
完成从实物操作上升到符号操作这一数学化的过程,这只是完成了认知过程的一个方面。另一方面,要寻求符号表示的意义,形式化的知识只有回到现实中,才能实现自身的意义,也才能完成认知的使命;这也是保持高认知水平的需要,不断地追求符号的意义,才能激发学生认知的动力,提升认知的水平。
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