焦半径公式的椭圆的焦半径公式
证明:
|PF1|²
=(x - c)² + y²
=[a²(x - c)² + a²y²]/a²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² 根据b²x² + a²y² = a²b²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²
=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²
=(a² - cx)²/a²
∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex
同理可证:PF2 = a + ex
扩展资料:
椭圆的基本性质
1、范围:焦点在 轴上 , ;焦点在 轴上 , 。
2、对称性:关于X轴对称,Y轴对称,关于原点中心对称。
3、顶点:(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b)。
4、离心率:e=c/a或 e=√(1-b^2/a²)。
5、离心率范围:0<e<1。
6、离心率越小越接近于圆,越大则椭圆就越扁。
7、焦点(当中心为原点时):(-c,0),(c,0)或(0,c),(0,-c)。
椭圆的焦半径:
左:|PF'|=a + ex0
右:|PF| =a - ex0
(x0为椭圆上任意一点P的横坐标)
双曲线的焦半径:
左:|PF'|=|ex0 + a|
右:|PF| =|ex0 - a|
(x0为双曲线上任意一点P的横坐标)
椭圆:
1.过右焦点的半径r=a-ex
2.过左焦点的半径r=a+ex
3.过上焦点的半径r=a-ey
4.过下焦点的半径r=a+ey
拓展资料:
双曲线
双曲线的焦半径及其应用:
1:定义:双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径。
2.已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,且F1为左焦点,F2为右焦点,e为双曲线的离心率。
总说:│PF1│=|(ex+a)| ;│PF2│=|(ex-a)|(对任意x而言)
具体:
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-a
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a)
抛物线
抛物线r=x+p/2
通径:圆锥曲线(除圆)中,过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²-b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0),C(Xo,Yo)为抛物线上的一点,焦半径|CF|=Xo+p/2.
参考资料:焦半径公式百度百科
椭圆的焦半径公式为 r1=a+ex , r2=a-ex,其中e是离心率=c/a。
推导过程为:
已知点P(x,y)是椭圆,任意一点,F1(-c,0)和F2(c,0)是椭圆的两个焦点。
由两点间距离公式,可知:
将(2)式代入(1)式,并化简有:
扩展资料:
1、连结圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛物线)上一点与对应焦点的线段的长度,叫做圆锥曲线焦半径。
2、椭圆(Ellipse)是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的动点P的轨迹,F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)。
椭圆是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
参考资料:焦半径公式_百度百科
设M(m ,n)是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1(a>b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F₁(-c,0),F₂(c,0)的距离,那么(左焦半径)r₁=a+em,(右焦半径)r₂=a -em,其中e是离心率。
推导:r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得:r1= e∣MN1∣= e(a^2/ c+m)= a+em,r2= e∣MN2∣= e(a^2/ c-m)= a-em。
所以:∣MF1∣= a+em,∣MF2∣= a-em
拓展资料:
圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段,叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。焦半径:曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦,过一个焦点的弦通径。过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦。
连结圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛物线)上一点与对应焦点的线段的长度,叫做圆锥曲线焦半径。
双曲线
双曲线的焦半径及其应用:
1:定义:双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径。
2.已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,且F1为左焦点,F2为右焦点,e为双曲线的离心率。
总说:│PF1│=|(ex+a)| ;│PF2│=|(ex-a)|(对任意x而言)
具体:
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-a
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a)
抛物线
抛物线r=x+p/2
通径:圆锥曲线(除圆)中,过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²-b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0),C(Xo,Yo)为抛物线上的一点,焦半径|CF|=Xo+p/2.
设M(m ,n)是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1(a>b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F₁(-c,0),F₂(c,0)的距离,那么(左焦半径)r₁=a+em,(右焦半径)r₂=a -em,其中e是离心率。
推导:r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得:r1= e∣MN1∣= e(a^2/ c+m)= a+em,r2= e∣MN2∣= e(a^2/ c-m)= a-em。
所以:∣MF1∣= a+em,∣MF2∣= a-em
连结圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛物线)上一点与对应焦点的线段的长度,叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆焦半径
设M(x0,y0)是椭圆x²/a²+y²/b²=1的一点,焦半径r1和r2分别是点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离,e是离心率
则r1=a+ex0,r2=a -ex0,
双曲线焦半径
设M(x0,y0)是双曲线x²/a²-y²/b²=1的一点,焦半径r1和r2分别是点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离,e是离心率
过右焦点的半径r=|ex0-a|
过左焦点的半径r=|ex0+a|
抛物线焦半径
其中y²=2px的焦半径r=x0+p/2
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的焦半径公式表面上各不一样,其本质是相同的,都是由第二定义,(即圆锥曲线的任意点M到焦点F的距离与M到对应准线的距离比等于离心率e)推出的。
只是双曲线有两支,比椭圆多了不对应的焦半径。
而抛物线的标准形式中,常数p直接表示焦点到准线的距离,且离心率e=1,推的时候,直接用p,1表示了。
所以推出的公式表面上貌似不同,而本质是一致的。我们只要抓住本质定义,灵活运用就够了。
椭圆的焦距与长轴有怎样的关系?
证明请看下方具体内容:设P(x,y),利用两点间距离公式可以得到|PF1|的表达式,利用二次函数的知识可以求得它的长度为a+ex,(e为离心率),此即为焦点半径公式,因为-a≤x≤a,则可以得到|PF1|的最大值为a+c,最小值为a-c。同理也可得到|PF2|的最大值为a+c,最小值为a-c。
椭圆的焦点公式
可以得到椭圆上的所有点。面积和周长:椭圆的面积可以使用公式πab计算,其中π是圆周率。椭圆的周长没有简单的闭式表达式,但可以使用数值方法进行近似计算。椭圆的性质:椭圆具有许多有趣的几何性质,如焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度,椭圆的切线与半径的夹角相等等。
椭圆的焦点坐标公式
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椭圆的两个焦点的距离公式是什么?
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南宏精蛋:[答案] 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)到焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离 |PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0, 其中c=√(a^2-b^2),e=c/a.
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南宏精蛋:[答案] 设M(xo,y0)是椭圆x2/a2+ y2/b2=1(a>b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离,那么(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a -ex0,其中e是离心率.推导:r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得:r1= e∣M...
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南宏精蛋: F₂:r1= e∣MN1∣= e(a^2/a^2+ y^2/b^2=1(a>(c,0)的距离,那么(左焦半径)r₁=a+em,(右焦半径)r₂=a -em;∣MN2∣=e 可得;∣MN1∣= r₂/ c+m)= a+em,其中e是离心率. 推导:r₁/设M(m ,n)是椭圆x^2/b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F₁(-c,0); c-m)= a-em,r2= e∣MN2∣= e(a^2/
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南宏精蛋:P(x,y)为椭圆上任一点,M、N为椭圆在x轴上的左、右焦点.焦半径:|MP|=a+ex |NP|=a-ex点p到左准线x=a方/c的距离为 a方/c+x 用第二定义|MP| :a方/c+x =离心率e=c/a 十字相乘 得 :|MP|=(a方/c+x)*(c/a)=a+ex |NP|=2*(a方/c)-|MP|
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南宏精蛋: 离心率的公式是:e=c/a 焦半径公式:r(左)=a+ex;r(右)=a-ex 焦点弦公式l=|x1-x2|√(1+k^2) e代表离心率,c代表焦点到中心的距离,a代表长轴长,r代表焦半径长,X1、X2代表一条直线与椭圆所交方程的两根,k代表该直线的斜率
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