焦半径公式的椭圆的焦半径公式
证明：
|PF1|²
=(x - c)² + y²
=[a²(x - c)² + a²y²]/a²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² 根据b²x² + a²y² = a²b²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²
=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²
=(a² - cx)²/a²
∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex
同理可证：PF2 = a + ex
扩展资料：
椭圆的基本性质
1、范围：焦点在 轴上 ， ；焦点在 轴上 ， 。
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。
4、离心率：e=c/a或 e=√（1-b^2/a²）。
5、离心率范围：0<e<1。
6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。
椭圆的焦半径：
左：|PF'|=a + ex0
右：|PF| =a - ex0
（x0为椭圆上任意一点P的横坐标）
双曲线的焦半径：
左：|PF'|=|ex0 + a|
右：|PF| =|ex0 - a|
（x0为双曲线上任意一点P的横坐标）
椭圆：
1.过右焦点的半径r=a-ex
2.过左焦点的半径r=a+ex
3.过上焦点的半径r=a-ey
4.过下焦点的半径r=a+ey
拓展资料：
双曲线
双曲线的焦半径及其应用：
1：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。
总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）
具体：
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
抛物线
抛物线r=x+p/2
通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²－b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.
参考资料：焦半径公式百度百科
椭圆的焦半径公式为 r1=a+ex ， r2=a-ex，其中e是离心率=c/a。
推导过程为：
已知点P（x，y）是椭圆，任意一点，F1（-c，0）和F2(c，0)是椭圆的两个焦点。
由两点间距离公式，可知：
将（2）式代入（1）式，并化简有：
扩展资料：
1、连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
2、椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
参考资料：焦半径公式_百度百科
设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em
拓展资料：
圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。
连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
双曲线
双曲线的焦半径及其应用：
1：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。
总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）
具体：
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
抛物线
抛物线r=x+p/2
通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²－b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.
设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em
连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆焦半径
设M（x0，y0）是椭圆x²/a²+y²/b²=1的一点，焦半径r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，e是离心率
则r1=a+ex0，r2=a -ex0，
双曲线焦半径
设M（x0，y0）是双曲线x²/a²-y²/b²=1的一点,焦半径r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，e是离心率
过右焦点的半径r=|ex0-a|
过左焦点的半径r=|ex0+a|
抛物线焦半径
其中y²=2px的焦半径r=x0+p/2
圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）的焦半径公式表面上各不一样，其本质是相同的，都是由第二定义，（即圆锥曲线的任意点M到焦点F的距离与M到对应准线的距离比等于离心率e）推出的。
只是双曲线有两支，比椭圆多了不对应的焦半径。
而抛物线的标准形式中，常数p直接表示焦点到准线的距离，且离心率e=1，推的时候，直接用p，1表示了。
所以推出的公式表面上貌似不同，而本质是一致的。我们只要抓住本质定义，灵活运用就够了。
椭圆的焦距与长轴有怎样的关系?
证明请看下方具体内容：设P（x，y），利用两点间距离公式可以得到|PF1|的表达式，利用二次函数的知识可以求得它的长度为a＋ex，（e为离心率），此即为焦点半径公式，因为-a≤x≤a，则可以得到|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a-c。同理也可得到|PF2|的最大值为a＋c，最小值为a-c。
椭圆的焦点公式
可以得到椭圆上的所有点。面积和周长：椭圆的面积可以使用公式πab计算，其中π是圆周率。椭圆的周长没有简单的闭式表达式，但可以使用数值方法进行近似计算。椭圆的性质：椭圆具有许多有趣的几何性质，如焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度，椭圆的切线与半径的夹角相等等。
椭圆的焦点坐标公式
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经由这个定义，这样画出一个椭圆：先准备一条线，将这条线的两端各绑在一点上（这两个点就当作是椭圆的两个焦点）；取一支笔，将线绷紧，这时候两个点和笔就形成了一个三角形；然后拉着线开始作图，持续的使线绷紧，最后就可以完成一个椭圆的图形了 情况一：焦点在x轴上的 椭圆基本公式 x2\/a+...
椭圆的焦点三角形外接圆半径有没有公式
有，R=(PF1*PF2)\/(2*PF1*sin(∠F1PF2))。椭圆的焦点三角形外接圆半径有一个公式。焦点三角形是指由椭圆的两个焦点和一个椭圆上的任意一点构成的三角形，设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆上的任意一点为P，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离，∠F1PF2表示角度F1PF2的度数。
椭圆的两个焦点的距离公式是什么?
一、椭圆长轴和短轴公式a^2=b^2+c^2(a>b>0)，长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c。二、椭圆与圆很相似，不同之处在于椭圆有不同的x和y半径，而圆的x和y半径是相同的。在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是同一个常数的点的轨迹。这两个固定点叫做焦点。它是圆锥曲线的一种，即...
南宏精蛋：[答案] 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)到焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离 |PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0, 其中c=√(a^2-b^2),e=c/a.
沂水县18027174972： 椭圆的焦半径公式? - ？
南宏精蛋： 设M(xo,y0)是椭圆x2/a2+ y2/b2=1(a>b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离,那么(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a -ex0,其中e是离心率. 推导:r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得:r1= e∣MN1∣= e(a^2/ c+x0)= a+ex0,r2= e∣MN2∣= e(a^2/ c-x0)= a-ex0. 同理:∣MF1∣= a+ey0,∣MF2∣= a-ey0.
沂水县18027174972： 椭圆的焦半径公式? - ？
南宏精蛋：[答案] 设M(xo,y0)是椭圆x2/a2+ y2/b2=1(a>b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离,那么(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a -ex0,其中e是离心率.推导:r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得:r1= e∣M...
沂水县18027174972： 求椭圆焦半径公式的详细推导过程 - ？
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沂水县18027174972： 竖椭圆的焦半径公式 - ？
南宏精蛋： F₂:r1= e∣MN1∣= e(a^2/a^2+ y^2/b^2=1(a>(c,0)的距离,那么(左焦半径)r₁=a+em,(右焦半径)r₂=a -em;∣MN2∣=e 可得;∣MN1∣= r₂/ c+m)= a+em,其中e是离心率. 推导:r₁/设M(m ,n)是椭圆x^2/b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F₁(-c,0); c-m)= a-em,r2= e∣MN2∣= e(a^2/
沂水县18027174972： 椭圆的焦半径如何计算? - ？
南宏精蛋：P(x,y)为椭圆上任一点,M、N为椭圆在x轴上的左、右焦点.焦半径:|MP|=a+ex |NP|=a-ex点p到左准线x=a方/c的距离为 a方/c+x 用第二定义|MP| :a方/c+x =离心率e=c/a 十字相乘 得 :|MP|=(a方/c+x)*(c/a)=a+ex |NP|=2*(a方/c)-|MP|
沂水县18027174972： 焦点在y轴的椭圆的焦半径公式是什么? ？
南宏精蛋： 离心率的公式是:e=c/a 焦半径公式:r(左)=a+ex;r(右)=a-ex 焦点弦公式l=|x1-x2|√(1+k^2) e代表离心率,c代表焦点到中心的距离,a代表长轴长,r代表焦半径长,X1、X2代表一条直线与椭圆所交方程的两根,k代表该直线的斜率
沂水县18027174972： 椭圆的焦半径公式的推导 - ？
南宏精蛋：[答案] |PF1|²=(x - c)² + y²=[a²(x - c)² + a²y²]/a²=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = ...
沂水县18027174972： 高中数学圆锥曲线的焦半径公式 - ？
南宏精蛋：[答案] 一般情况下的焦半径公式,及推导1.椭圆的焦半径公式设M(xo,y0)是椭圆x2/a2+ y2/b2=1(a>b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离,那么(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a -ex0,其中e是离心率.推...
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