求一个向量组的极大无关组要怎么求？并把其余向量用此线性无关组表示

求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。~

求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示：
向量组的秩为3，a1，a2，a3是一个极大无关组。向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。要定义向量组的秩，首先要定义极大线性无关向量组。
在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2，3)是一向量。 在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。

概念分析
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

向量组的一个极大无关组

极大线性无关组（maximal linearly independent system）是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组。
一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分, 对许多问题的研究起着非常重要的作用。如确定矩阵的秩, 讨论线性方程组的基础解系等。
基本性质
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组。
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。
（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

‍解：（a1＾T，a2＾T，a3＾T，a4＾T）＝

1111

1102

100－3

r1－r2，r2－r3

001－1

0105

100－3

r1r3

100－3

0105

001－1

所以a1，a2，a3是一个极大无关组，且a4＝－3a1＋5a2－a3．

（a1＾T，a2＾T，a3＾T，a4＾T）＝

1111

1102

100－3

r1－r2，r2－r3

001－1

0105

100－3

r1r3

100－3

0105

001－1

所以a1，a2，a3是一个极大无关组，且a4＝－3a1＋5a2－a3．

最简单的就是把线形无关的几个化成对角全部为1其他为0，这是基于单位矩阵的所有向量可以表示任意向量，一下就出来了，这个必须知道，以后基础解析部分更要知道。

扩展资料

解题步骤：

第一步：就是化行阶梯形矩阵，直到化成各阶第一个不为0的数所在的列其余各值均为0的形式。

第二部：我们可以把这各个单位列（每列中只有一个1）看做一个极大线性无关组，这些列专业术语叫做标准列。

第三步：也就是用标准列来表示其余各列，相当于非齐次线性方程组的基础解系。有一个很简单的方法就是折现法，不知道LZ是否知道。但是最最普通的方法也可以算出来。

把向量写成列向量，组成矩阵。
然后按解方程的方法，把矩阵化成阶梯状。
每个阶梯处的向量，组合起来，就是最大无关组。

例如
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 1 1
那么这里α1、α2、α4就是一个最大无关组（α2换成α3也行，同一阶梯取一个）

求出秩等于3后，随便找三个线性无关的就可以了

化成行最简形最好

---

柳江县13884445476： 求向量组 的一个极大无关组 - ？
臧君金平： 具体回答如图: 一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分, 对许多问题的研究起着非常重要的作用.如确定矩阵的秩, 讨论线性方程组的基础解系等. 扩展资料: 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身;极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一,但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出,则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者.

柳江县13884445476： 怎么求向量组中的极大无关组A1=(2,4,2)A2=(1,1,0)A3=(2,3,1) A4=(3,5,2) - ？
臧君金平：[答案] 1、观察:A4=A1+A2,A3=1/2 A1+A2A1与A2的元素对应不成比例,所以A1、A2线性无关,所以A1、A2是极大无关组2、以A1、A2、A3、A4为列向量组成矩阵A,用初等行变换化矩阵A为行阶梯形,观察每一行的第一个非零元对应的列...

柳江县13884445476： 怎么求一个向量组的极大线性无关组 - ？
臧君金平：[答案] 先求秩,在从给定的向量中找到和秩的个数相同的向量,使得这些向量是线性无关的,这些向量就是向量组的极大线性无关组

柳江县13884445476： 怎么求向量组中的极大无关组 - ？
臧君金平： 1、观察:A4=A1+A2,A3=1/2 A1+A2 A1与A2的元素对应不成比例,所以A1、A2线性无关,所以A1、A2是极大无关组2、以A1、A2、A3、A4为列向量组成矩阵A,用初等行变换化矩阵A为行阶梯形,观察每一行的第一个非零元对应的列数 [2 1 2 3] [2 1 2 3] [2 1 2 3] [4 1 3 5] →[0 -1 -1 -1]→ [0 1 1 1] [2 0 1 2] [0 -1 -1 -1] [0 0 0 0] 第一行的第一个非零元在第一列,第二行的第一个非零元在第二列,所以对应的两个向量A1、A2是一个极大无关组

柳江县13884445476： 如何求行向量组的一个极大无关组 - ？
臧君金平：[答案] 把行向量组转置变成列向量组,组成一个矩阵A,再对矩阵A进行初等行变换化成行阶梯形矩阵 B,则B所对应的非零行中第一个不等于0的数所在的列对应的列向量组就是它的一个极大无关组. 方法二:先可以直接作为行组成矩阵,此时要进行初等列...

柳江县13884445476： 如何求行向量组的极大无关组 - ？
臧君金平：[答案] 将行向量改成列向量(行向量还是列向量是无所谓的). 把这些列向量组成一个矩阵A=【向量1,向量2,向量3...】 对A进行行变换,将A上三角化,然后从A的形式就可以找出最大无关组了.举个简单例子: 如果三个向量是 【1 1】【2 2】【1 2】,...

柳江县13884445476： 怎么求向量组所有的最大无关组 - ？
臧君金平：[答案] 之所以到现在没人解答,是因为这个问题没有一般的通用方法 题目基本都是要求出一个极大无关组. 象求一个极大无关组那样,将向量按列向量构成矩阵 将矩阵用初等行变换化成梯矩阵 非零行的首非零元所在列对应的向量即为一个极大无关组 只能...

柳江县13884445476： 怎么求向量组的极大无关?怎么求向量组的极大无关组 ？
臧君金平： 把向量组按列排成矩阵A; 2.用初等行变换把A化为行阶梯形(不必求行简化梯矩阵) 3.非零行的首非零元所在列对应的向量就是一个极大无关组 如: A化成 1 2 3 4 0 5 6 7 则 a1,a2 就是一个极大无关组. 很少会去求所有的极大无关组 这个你可以琢磨一下 非零行的首非零元控制了所有列向量各个分量, 这样它就可表示其余的向量(且本身线性无关) 那么具有这种性质的都是极大无关组 如 a1,a3; a1,a4 也是极大无关组(如果满意 请给好评 谢谢)

柳江县13884445476： 已知向量组,怎么求极大线性无关组. - ？
臧君金平：[答案] 可以将向量组转化为矩阵,将向量看作矩阵的列向量,然后对矩阵进行初等行变换可以得到矩阵的阶梯形式,得到矩阵的秩,即为向量组的极大线性无关组的向量的个数.观察矩阵可以看出互相线性无关的列向量,他们对应的向量组中的向量即为一个...

柳江县13884445476： 线性代数,知道向量组的秩,怎样去求它的极大无关组啊?有哪些方法? - ？
臧君金平：[答案] 1. 把向量按列的方式构造一个矩阵 2. 用初等行变换化成梯矩阵 (注意:只能用行变换) 3. 非零行的首非零元所在的列就是向量组的一个极大无关组. 比如得到的梯矩阵是 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 8 0 0 0 0 那么 极大无关组就是 a1,a2,a4