平面向量公式

平面向量的所有公式~

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣�6�1∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)�6�1b=λ(a�6�1b)=(a�6�1λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a�6�1b。若a、b不共线，则a�6�1b=|a|�6�1|b|�6�1cos〈a，b〉；若a、b共线，则a�6�1b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a�6�1b=x�6�1x'+y�6�1y'。
向量的数量积的运算律
a�6�1b=b�6�1a（交换律）；
(λa)�6�1b=λ(a�6�1b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)�6�1c=a�6�1c+b�6�1c（分配律）；
向量的数量积的性质
a�6�1a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a�6�1b=0。
|a�6�1b|≤|a|�6�1|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a�6�1b)�6�1c≠a�6�1(b�6�1c)；例如：(a�6�1b)^2≠a^2�6�1b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a�6�1b=a�6�1c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a�6�1b|≠|a|�6�1|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|�6�1|b|�6�1sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ�6�1向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ�6�1向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a�6�1b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.

a+c=a+a-2b=2(a-b)
|a+c|^2=4|a-b|^2=4(a^2+b^2-2abcos60)=4*3=12
|a+c|=2√3

平面向量的坐标运算

a+c=a+a-2b=2(a-b)
|a+c|^2=4|a-b|^2=4(a^2+b^2-2abcos60)=4*3=12
|a+c|=2√3

|a|^2=a^2

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黄陵县13880044642： 高中数学必修四,第二章平面向量涉及的所有公式 - ？
帅琳丹尼：[答案] 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0...

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帅琳丹尼：[答案] 1、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a&...

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黄陵县13880044642： 平面向量的垂直和平行公式 - ？
帅琳丹尼：[答案] 两个向量a,b平行:a=λb (b不是零向量);两个向量垂直:数量积为0,即 a•b=0 坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2) a//b当且仅当x1y2-x2y1=0 a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

黄陵县13880044642： 平面向量基本公式是什么? - ？
帅琳丹尼： 平面向量基本知识 一、向量知识: (1) 叫做向量. (2)向量的运算: 运算 定义 或 法则 运算性质(运算律) 坐标运算 加 法减 法实数与向量的积数量积 几何意义:(3)平面向量的基本定理: 如果 和 是同一平面内的两个不共线的向量,...

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帅琳丹尼： 向量a与向量b的夹角:已知两个非零向量,过O点做向量OA=a,向量OB=b,则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>.已知两个非零向量a、b,那么a*b叫做a与b的向量积或外积.向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积,即S=|a...

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帅琳丹尼： 1、加法 向量加法的三角形法则,已知向量AB、BC,再作向量AC,则向量AC叫做AB、BC的和,记作AB+BC,即有:AB+BC=AC. 2、减法 AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则,简记为:共起点、连中点、指被减.-(-a)=a...

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帅琳丹尼：[答案] 若向量a=(x,y) 向量b=(m,n) 1)a·b=xm+yn a*a=a^2=|a|^2=(x^2+y^2) 2)ka+Lb=(Kx+Lm,Ky+Ln)(K,L为任意实数)3)a-b=(x-m,y-n)4)向量的夹角cosA=a·b/(|a||b|)=(xm+yn)/(根号下(x^2+y^2)*根号下(m^2+n^2))5)a垂直b等价于xm+yn=06)a//b等价于xn...

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帅琳丹尼： 若向量a=(x,y) 向量b=(m,n) 1)a·b=xm+yn 2)a+b=(x+m,y+n)