10未知数13方程求解 真正有耐心的高手进
确实无解,但是没有那么复杂,只要观察几个式子很快能得出结论,最多不到5分钟吧。
首先a1*a2=0,c1*c2=0,a1*c2+c1*a2=64可知,a1,a2中必有0,c1,c2中必有零,且a1*c2与c1*a2不全为零,也就是说,有a1=c2=0或者c1=a2=0中有且仅有一组成立,另一组两数均不为零。
其实仔细观察方程,发现每组方程都是关于x1和x2对称的,就是说x1,x2是完全等价的(这里的x1可以是a1 b1...)
所以我们不妨设a1=c2=0,此时a2,c1均不为0
那么a1*b2+b1*a2=0变为0+b1*a2=0,必有b1=0
……
同样的推断方法可以有a1=b1=c2=d2=e1=0(这个很好推,用前面那些等于零推就行,一眼就能看出结论)(如果前面设的是a2=c1=0,那就把这些所有的1变成2 2变成1就ok)
这时直接看倒数第二个式子a1*e2=0(a1=0) e1*a2=0(e1=0) b1*b2=0(b1=0)所以不会等于4
事实上,我怀疑你的3,4二式中有一个是打错的,因为这两个式子如果同时存在和整体很不协调,而且我感觉这题不应该是无解的,解应该是有一组等于零,另一组为2的几次方的形式,希望你能检查一下问题。
1、整式方程
等号两边都是关于未知数的整式的方程,叫做整式方程.
2、一元二次方程
一个格式方程整理后如果只含有一个未知数,且未知数的最高次项的次数为2次的方程,叫做一元二次方程.
3、一元二次方程的一般形式
方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,+bx,+c分别叫做二次项,一次项和常数项,a、b分别称为二次项系数和一次项系数.
4、一元二次方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
5、直接开方法
形如x2=a(a≥0)和(x+m)2=n(n≥0)的方程,根据平方根的定义,可采用直接开平方法解方程.
6、配方法解一元二次方程
例如:将方程x2+6x+7=0的常数项移到右边,并将一次项6x改写成2·x·3得:x2+2·x·3=-7.
可以看出,为了使左边成为完全平方式,在方程两边都加上32(即一次项系数一半的平方)得
x2+6x+32=-7+32,整理得
(x+3)2=2,
解这个方程得.
这种解一元二次方程的方法叫做配方法.这种方法就是先把方程的常数项移到方程的右边,再把左边配成一个完全平方式,如果右边是非负数,就可以直接利用开平方法求出它的解.
7、一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时的根为.
该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法.
8、一元二次方程的根的判别式
(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,;
(2)当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根;
(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
其中b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
9、因式分解法
(1)分解因式法:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以将一元二次方程化为两个一元一次方程来求解,从而求出原方程的解,这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.
(2)用分解因式法解一元二次方程的步骤:
①将方程的右边化为0;
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
③令每一个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
二、重难点知识归纳
1、一元二次方程的解法.
2、一元二次方程根的判别式.
三、典型例题剖析
例1、关于x的方程是一元二次方程,则m=______;
解:
由题意得解得.
故填.
例2、(1)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一根是0,则a的值为( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.
(2)关于x的方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0,则2m2-4m+3的值为( )
A.3 B.19
C.±2 D.3或19
思路:
根据方程的根的定义可知数0都满足方程,但不同的是第(1)题给出的是关于x的一元二次方程,而第(2)题是关于x的方程,即后者有可能是关于x的一元一次方程,即(m+2)2有可能为0,也有可能不为0,前者的二次项系数(a-1)一定不为0.
(1)将x=0代入方程(a-1)x2+x+a2-1=0得a2-1=0,∴a=1或a=-1,又因为关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0是一元二次方程,∴a-1≠0即a≠1,故a的值为-1;
(2)将x=0代入原方程得m2-4=0,∴m=±2,当m=2时,2m2-4m+3=3,当m=-2时,此时方程为一次方程,符合题意,且此时2m2-4m+3=19,故所求的代数式的值为3或19.
解:
(1)B; (2)D.
总结:
(1)代解、求解是解决与方程的根有关的问题的两种基本方法;
(2)要注意关于x的方程与关于x的一元二次方程的区别,后者必须满足二次项系数不能为0.
例3、已知m、n都是方程x2+2006x-2008=0的根,试求(m2+2006m-2007)(n2+2006n+2007)的值.
思路:
根据一元二次方程的根的定义,由于m、n都是方程x2+2006x-2008=0的根,所以m2+2006m-2008=0,n2+2006n-2008=0,由此不难求出(m2+2006m-2007)和(n2+2006n-2007)的值.
解:
∵m、n是方程x2+2006x-2008=0的根,
∴m2+2006m-2008=0,n2+2006n-2008=0
∴m2+2006m-2007=1
n2+2006n+2007=4015
∴(m2+2006m-2007)(n2+2006n+2007)=1×4015=4015
总结:
要善于运用根的定义,求出某些代数式的值.
例4、解方程(1)x2-4x-3=0;(2)2x2+3=7x.
思路:
(1)方程x2-4x-3=0的二次项的系数已经是1,可以直接运用配方法求解;
(2)方程2x2+3=7x先化为一般形式,这个方程的二次项系数是2,为了便于配方,可把二次项系数先化为1,为此,把方程的各项都除以2.
解:
(1)移项得x2-4x=3
配方得x2-4x+(-2)2=7
即(x-2)2=7
解这个方程得x-2=±,即;
(2)移项得2x2-7x=-3
把方程两边都除以2得
配方得.
即
解这个方程是,x2=3.
总结:
配方法是解一元二次方程的重要方法,熟练掌握完全平方式是配方法解题的基础.对于二次项系数为1的方程,在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方,若二次项系数不为1,一般应先将二次项系数变为1,然后再配方比较简便,熟练后,根据具体情况可灵活处理.
例5、小明、小华和小英三人共同探讨代数式x2-4x+5的值的情况,他们进行了明确的分工,小明负责找出最小值,小华负责找出值为0的x的值,小英负责求出最大值,5分钟后,各自通报自己的成绩.
小华说:当x2-4x+5=0时,方程没有解,故找不到满足条件的x值,使x2-4x+5的值为零.
小明说:我考察了很多数,发现最小值为1.
小英说:x2-4x+5的值随x取值改变而改变,我暂时没有找到它的最大值.
聪明的同学,你能用什么方法很快对他们的结论作出准确的判断吗?我想,你一定行的!
思路:
将x2-4x+5配方易得出结论.
解:因为x2-4x+5=x2-4x+22+1
=(x-2)2+1
当x=2时,代数式的值最小,最小值为1,所以小明结论正确,由此可知找不到满足条件的x值,使x2-4x+5的值为零,也可以知道代数式没有最大值(在此处配方的威力可大啊!)
总结:
配方法是一种最重要的数学方法,通过配方,使代数式中出现完全平方式的形式,然后利用完全平方式的特点,使问题得到解决.
例6、解下列方程:
(1);
(2);
(3);
(4).
思路:
用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,
解:
(1)∵a=1,,c=10
∴
∴
(2)原方程可化为
∵a=1,,c=2
∴
∴
(3)原方程可化为
∵a=1,,c=-1
∴
∴;
∴.
(4)原方程可化为
∵
∴
∴;
∴.
总结:
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式;如果二次项系数为负数,通常将其化为正数;如果方程的系数含有分母,通常先将其化为整数,求出的根要化为最简形式;
(2)用求根公式法解方程按步骤进行。
例7、解方程:.
思路:
因为,若设则原方程可化为:3y2-5y-2=0,解此方程求得y值,再代回原式,求出x的值,也可以直接把看作一个整体,先求出的值,再求x.
解:
设,原方程化为3y2-5y-2=0.
∵a=3,b=-5,c=-2,
∴b2-4ac=25-4×3×(-2)=49
∴,∴y1=2,
当时,,解得.
当y=2时,,解得.
∴原方程的解为,.
总结:
使用换元法的关键在于换元式的确定.本例中求出y1=2,后还没有达到解题的目的.因为本例中不是解关于y的方程,而是解关于x的方程,因此,必须反代回去,求出x.
例8、(1)解下列方程:
x2-2x-2=0①; 2x2+3x-1=0②;
2x2-4x+1=0③; x2+6x+3=0④.
(2)上面四个方程中,有三个方程一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式.
思路:
利用求根公式法求出方程的根.观察四个方程可知:方程①③④的一次项系数均为偶数.即一次项系数为偶数2n(n为整数),再利用求根公式推导.
解:
(1)解方程x2-2x-2=0①
得
解方程2x2+3x-1=0②
得
解方程2x2-4x+1=0③
得
解方程x2+6x+3=0④
得;
(2)其中方程①③④的一次项系数为偶数2n(n为偶数)
一元二次方程ax2+bx+c=0其中b2-4ac≥0,b=2n,n为整数
因为b2-4ac≥0,即(2n)2-4ac≥0,∴n2-ac≥0
所以一元二次方程ax2+2nx+c=0(n2-ac≥0)的求根公式为.
总结:
找出方程中一次项系数的共同特点,然后再运用一元二次方程的求根公式推导出新的表达式.
例9、如果关于x的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,试说明关于x的方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
思路:
由一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,可以得出k≠0,b2-4ac<0,从而求出k的取值范围,再由k的范围来说明方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
解:
因为关于x的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,所以
解得k>4.
所以当k=5时,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0为一元一次方程,此时方程的根为.
当k≠5时,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0为一元二次方程
所以b2-4ac=[-2(k+2)]2-4(k-5)·k
=4(9k+4)
因为k>4,且k≠5,所以4(9k+4)>0,即b2-4ac>0.
所以此时方程必有两个不等实根.
综上可知方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
总结:
(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别,方程有实数根“表示方程可能为一元一次方程”,此时方程有一实数根,方程也可能为一元二次方程,此时方程有两个实数根;而方程“有两个实数根”则表示此时方程一定为一元二次方程;
(2)运用根的判别式时,一定要注意其成立的前提条件是二次项系数不能为0,即方程是一元二次方程.
例10、用因式分解法解下列方程.
(1)3(2x-5)2=4(5-2x);(2)(3x-4)2=(4x-3)2;(3)9(2x+3)2=25(1-3x)2.
思路:
用因式分解法解方程时,一定要通过分解因式的方式,使方程的左边变成积的因式,而右边为零,(1)中可提取公因式2x-5,(2)、(3) 中没有公因式,但发现可用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)来分解.
解:
(1)原方程化为3(2x-5)2-4(5-2x)=0
即3(2x-5)2+4(2x-5)=0
∴(2x-5)[3(2x-5)+4]=0
∴;
(2)移项,得(3x-4)2-(4x-3)2=0
方程左边分解因式,
得[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0
即(7x-7)(-x-1)=0
∴x1=1,x2=-1;
(3)移项,得9(2x+3)2-25(1-3x)2=0
方程左边分解因式,
得[3(2x+3)+5(1-3x)][3(2x+3)-5(1-3x)]=0
即(14-9x)(21x-4)=0
∴.
总结:
(1)在解方程中切忌在求解过程产生失根现象;
(2)运用公式法分解因式必须先将其改写成符合公式的特征的形式,再进行因式分解.
a1*b2 + b1*a2 = 0 (2)
b1*d2 + d1*b2 = 0 (3)
b1*e2 + e1*b2 = 0 (4)
c1*c2 = 0 (5)
c1*d2 + d1*c2 = 0 (6)
e1*e2 = 0 (7)
a1*c2 + c1*a2 = 64 (8)
a1*d2 + a2*d1 = 32 (9)
b1*c2 + c1*b2 = 32 (10)
a1*e2 + b1*b2 + e1*a2 = 4 (11)
c1*e2 + d1*d2 + e1*c2 = 4 (12)
由(1),(8)知 a1*a2 = 0 ,a1 + a2 ≠ 0
必有 a1 = 0 , a2 ≠ 0 和 a1 ≠ 0 ,a2 = 0 两种情况,
一: 取 a1 = 0 (13) , a2 ≠ 0
由(13),(2)可得 b1 = 0 (14)
由(5),(10),(13)可得 c2 = 0 (15)
由(6),(15)可得 d2 = 0 (16)
由(9),d1,d2 不能同时为零 (17)
由(3),(14),(16),(17)可得 b2 = 0(18)
由(10),b1,b2 不能同时为零,与(14),(18)相矛盾,
所以,当 a1 = 0 ,a2 ≠ 0 时,方程组无解。
二: 取 a1 ≠ 0 ,a2 = 0 (19)
由(2),(19)可得b2 = 0 (20)
由(10),b1,b2 不能同时为零 (21)
由(4),(21) e2 = 0 (22)
由(19),(20),(22)知(11) 不能成立。
所以 a1 ≠ 0 ,a2 = 0 时方程组无解。
综上,方程组(1)——(12)无解。
是实数还是复数啊
这个题目没有解。我已经算过了。
无解
三元一次方程组怎么解
y=0 这是第二个解 将z=-3和y=0代入①中:5x-4(0)+4(-3)=13 x=5 这是第三个解 于是x=5,y=0,z=-3 问题二:三元一次方程组该怎么解啊!!要详细步骤 30分 A:2X+2Y+Z+8=0 B:5X+3Y+Z+34=0 C:3X-Y+Z+10=0 第一步:先消除一个未知数X,得出一个yz的二元方程组。
方程解法
4)方程两边同时除以未知数的系数得未知数的值 例如: 3+x=18 解: x =18-3 x =15 ∴x=15是方程的解 ——— 4x+2(79-x)=192 解:4x+158-2x=192 4x-2x+158=192 2x+158=192 2x=192-158 2x=34 x=17 ∴x=17是方程的解 ———...
解方程,求过程
14x=210,请点击输入图片描述 请点击输入图片描述 2*7x=7*30 2x=30,x=15;请点击输入图片描述 请点击输入图片描述 此题验算过程如下:左边=8x+6x=14x=14*15=210,右边=210 ,左边=右边,即x=15是方程的解。请点击输入图片描述 请点击输入图片描述 知识拓展:一元一次方程指只含有一个未知数、...
×-0.36x=16解方程 0-0.36x=16解方程
x-0.36x=16;(1-0.36)x=16;0.64x=16;x=16÷0.64;x=25。使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。求方程全部的解或判断方程无解的过程叫做解方程。必须含有未知数等式的等式才叫方程。等式不一定是方程,方程一定是等式。解方程的相关概念:1、含有未知数的等式叫方程,也可以说...
线性方程组的解怎么求?
如行列式、逆矩阵等,得到未知数矩阵的值。2、克拉默法则 对于n个变量的线性方程组,如果系数矩阵的行列式不等于0,那么方程组有唯一解。使用克拉默法则可以求出每个未知数的值。3、矩阵的初等行变换 将系数矩阵通过初等行变换转化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵,然后通过回代法求解未知数的值。
如何解方程
则用加法); ③解这个一元一次方程,求出未知数的值; ④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值; ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解; ⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)....
X=0是不是方程
x=0是方程。含有【未知数】的【等式】叫做方程。方程是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。通过方程求解可以免去逆向思考的不易,直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种...
为什么叫方程式?什么是方程式?
1、取名方程式的原因:方程中文一词出自古代数学专著《九章算术》,其第八卷即名“方程”。“方”意为并列,“程”意为用算筹表示竖式。2、方程式的定义:方程是含有未知数的等式,这是小学教材中的逻辑定义,而含未知数的等式严格说不一定是方程,如0x=0。3、解方程依据:(1)移项变号:把方程中...
三x- 9.2=13怎么做?
3x- 9.2=13这么做 一、利用等式的性质解方程。3x- 9.2=13 解:3x- 9.2+9.2=13+9.2 3x=22.2 3x÷3=22.2÷3 x=7.4 二、根据加减乘除法各部分之间的关系解方程 3x- 9.2=13 解:3x=13+9.2 3x=22.2 x=22.2÷3 x=7.4 ...
解方程 5sin 2x + 12cos2x = 11 给出在0<x<180°范围内的所有根_百度知...
y=5sin2X+12cos2X。y=13sin(2X+θ)。注:可将原式提一个根号下12^2+5^2用三角公式。则原式最大值为13。方程 是指含有未知数的等式。是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程...
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贸修佳丹: 不一定,因方程数量越多,限制越强 比如:x=1,x=2无解
梁平县17337167913: 三个未知数四个方程一定有解吗? - ?
贸修佳丹: 不一定,例如: x1+x2+x3=1 x1+x2+x3=2 x1+x2+x3=3x1+x2+x3=4三个未知数,四个方程,显然无解.
梁平县17337167913: 方程中有几个未知数,需要设几个方程是什么意思?比如X+Y=10 2X+2Y=20 这是两个方程,为什么不能解啊?请问要怎么设方程啊? - ?
贸修佳丹:[答案] 你所列举的是同一方程,只能称为不定方程. 解二元一次方程,一般需要2个同元的不同方程,也就是二元一次方程组 至于为什么要设方程,是为了解决实际问题的一种简单方便的方法.
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贸修佳丹: 可能有解,也可能没. 举个极端点的例子: x=3 y=2 x+y=5 这组有解 x+y=2 2x+2y=4 3x+3y=6 这组没解
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贸修佳丹: 解方程如下: 91÷x=1.3 x=91÷1.3 x=70 扩展资料: 方程(equation)是指含有未知数的等式.是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”.求方程的解的过程称为“解方程”. 通过方程求解可以免去逆向思考的不易,直接正向列出含有欲求解的量的等式即可.方程具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等,还可组成方程组求解多个未知数. 在数学中,一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句. 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立. 变量也称为未知数,并且满足相等性的未知数的值称为等式的解.
梁平县17337167913: 判断10=2x 6是不是方程 - ?
贸修佳丹: 10=2x+6 是方程,含有未知数的等式叫做方程.满足是方程有两个条件:1. 含有未知数的式子2. 是等式子.所以是方程 解:2X=10-6 2X=4 X=2 祝学习进步.