ε>0, N∈N*,当n> N时,| An- A|<ε
∀ε>0，∃N∈N*，当n>N时，|An-A|<ε，这个式子表达的意义就是：随便给一个正数ε，都有一个对应的正整数N，当n比N大后，数列中的项An和一个常数的距离就小于这个正数ε。
当ε取得很大的时候，那么很显然，这个N就可以不用那么大，就能满足条件；当ε取得很小的时候，那么N可能要取很大才能满足条件。
因为ε可以取任何正数，那么自然地，我们可以让它无限地小，无限地接近0，于是An和A的距离就无限接近于0，两者也就无限地趋于相等——而这时候，N显然也应该无限地增大才能满足这个要求。
1、∀ε>0
就是任意给一个正数ε。这一个正数可以任意地大，或者任意地小，总之它就是一个不加任何限定的正数。
2、∃N∈N*
存在一个正整数N。这一个句话是接着上面的那一句“任意给一个正数ε”来的，相当于上面那一句话给这一句话加了一个限制条件。
任意给一个正数ε，对于每一个这样给定的ε来说）都存在一个对应的正整数N。换句话说，这里的N是严格受ε影响的，相当于N是关于ε的一个函数，它们之间不是相互独立的。
扩展资料
用定义证明数列｛2^n/n!｝的极限是0。
套用极限的定义，任意给一个ε>0，要使得对于一个正整数N，当n大于N时，满足|2^n/n!-0|<ε，于是现在的问题就是找到这个与ε有关的N就行。
查看上面这个不等式，去掉绝对值，得到了：2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<ε
因为只要找到一个这样的N就行了，并不需要精确地找到这个N的最小值，所以我们完全可以将上面的不等式的左侧粗略地放缩一下，并令放缩的结果恒小于ε：
2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<2*(2/n)<ε
解上面的不等式，得n>4/ε
所以这时，我们就找到了一个潜在的N＝4/ε。但是由于ε是随便取的，不能保证4/ε是一个整数，于是我们只需要给这个式子加一个高斯取整即可，并且为了保证取整之后的N大于等于4/ε，我们再为它加上一个1，亦即：N=[4/ε]+1
所以总上，把整个证明连起来就是：∀ε>0，∃(N=[4/ε]+1)∈N*，当n>N时，|2^n/n!-0|<ε，于是按照极限定义，就证明了这个数列极限是0。
参考资料来源：百度百科-数列极限
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平顶山市18011575410： 极限定义中,任取ε>0,存在N>0,当n>N时...... 其中“存在N>0,当n>N时”是用来说明n趋近于无穷嘛? - ？
善宏复方： ＂存在N>0,当n>N时＂是用来说明当n足够大时,数列满足某一性质,是用来说明n趋近于无穷;＂对任意N>0,当n>N时＂是说只要n>0,数列就须满足某性质,它不是说的局部,而是表示的整体.
平顶山市18011575410： 证明数列极限,得到用ε表示的N,当n>N时 证明完毕,但有的证明后结果是n>N+1这有 - ？
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