如何求直线的投影方程？？？
作者&投稿：蒯炊 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
1. 确定平面的法向量：根据平面的已知条件，可以确定平面的法向量。平面的法向量可以用向量的分量表示，例如 (a, b, c)。
2. 确定平面上的一点：选择平面上的一个已知点，可以使用坐标表示。
3. 写出直线的参数方程：将直线表示为参数方程的形式，例如 x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中 (x0, y0, z0) 是直线上的已知点，(a, b, c) 是直线的方向向量，t 是参数。
4. 将参数方程代入平面的方程：将直线的参数方程代入平面的方程中，并根据平面的法向量确定平面上的点的坐标。最终得到投影方程。
举例说明：
假设有直线 L：x = 2t, y = -t, z = 3 + 4t，和平面 P：2x - 3y + z = 6。
步骤1：平面的法向量为 (2, -3, 1)。
步骤2：选择平面上的一点，如 (1, 2, 3)。
步骤3：直线的参数方程为 x = 2t, y = -t, z = 3 + 4t。
步骤4：将参数方程代入平面的方程，得到：
2(2t) - 3(-t) + (3 + 4t) = 6。
简化方程得到 4t + 3t + 3 + 4t = 6，
合并同类项得到 11t + 3 = 6，
解得 t = 3/11。
将 t 的值代入直线的参数方程，得到直线在平面上的投影点为 (2(3/11), -(3/11), 3 + 4(3/11)) = (6/11, -3/11, 39/11)。
因此，直线 L 在平面 P 上的投影方程为 x = 6/11, y = -3/11, z = 39/11。
要求直线的投影方程，首先需要确定直线在空间中的位置和方向。假设直线由两点A和B确定，其中A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
直线的投影方程可以通过向量运算来推导。首先，我们可以定义直线的方向向量d，它等于B减去A的向量，即d = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az)。
对于直线上的任意一点P(x, y, z)，投影点P'的坐标可以用以下方程表示：
P' = P - t * d
其中，t是一个实数，表示从点A沿着方向向量d移动的距离。投影点的z坐标为0，因为投影是在投影平面上进行的。
将P'的坐标表示为(x', y', z')，则有：
x' = x - t * (Bx - Ax)
y' = y - t * (By - Ay)
z' = z - t * (Bz - Az)
我们可以得到投影方程为：
x' = x - t * (Bx - Ax)
y' = y - t * (By - Ay)
z' = 0
这就是直线的投影方程。通过给定的直线方程和点P的坐标，可以求解得到t，进而计算出对应的投影点P'的坐标。
佟伯蒿甲：[答案] 求出 过已知直线 垂直于 已知平面 的 平面方程,该平面方程 和 已知平面 联立 ,即为所求的 投影直线方程.(若必要,可以化《交面式》为《《对称式》).
临沂市15168366621： 求直线(x+y - z - 1=0 x - y+z+1=0)在平面x+y+z=0上的投影直线方程 - ？
佟伯蒿甲： 在直线上取两点(0,0,-1)和(0,1,0),可得直线的方向向量 v1=(0,1,1), 而平面 x+y+z=0 的法向量为 n1=(1,1,1), 所以,由 v1、n1 确定的平面的法向量为 n2=v1*n1=(0,1,-1), 那么,所求直线的方向向量为 n1*n2=(-2,1,1), 由于已知直线与已知平面交于点(0,1/2,-1/2), 所以,所求直线方程为 (x-0)/(-2)=(y-1/2)/1=(z+1/2)/1 , 化简得 x=1-2y= -1-2z .
临沂市15168366621： 求直线2x - 4y+z+1=0 3x - y - 2z - 9=0在平面4x - y+z=1上的投影直线方程. - ？
佟伯蒿甲： 直线 2x-4y+z+1=0 3x-y-2z-9=0 平面束方程: (2+3k)x-(4+k)y+(1-2k)z+1-9k=0.................① 法向量: n={2+3k,-4-k,1-2k} 平面4x-y+z=1:法向量: n1={4,-1,1} n⊥n1, n*n1=13+11k=0 k=-13/11代入①: 17x+31y+37z+128=0 投影直线方程:17x+31y+37z+128=0 4x-y+z=1
临沂市15168366621： 高数求直线2x - 4y+z=0,3x - y - 2z - 9=0在平面4x - y+z=1上的投影直线方程,步骤详细些 谢谢 - ？
佟伯蒿甲： 因为是投影得到的直线l2,故 该直线可以以看成 4x-y+z=1 与 过l1且垂直于4x-y+z=1的平面 的交线 (其中l1为题目给出的直线)2x-4y+z=0 3x-y-2z=9 由此构造出平面方程(该平面恒过该直线) (2+3k)x+(-4-k)y+(1-2k)z=(9k),k为任意实...
临沂市15168366621： 已知空间直线对称式求其在平面上的投影方程 - ？
佟伯蒿甲： 直线的方向向量为 v1=(1,2,3),平面的法向量为 n1=(1,1,1), 因此,直线与其投影所在平面的法向量为 n2=v1*n1=(-1,2,-1), 所以,直线的投影的方向向量为 v2=n1*n2=(-3,0,3), 已知直线与平面的方程联立,可解得交点坐标为 (-2/3,5/3,1), 所以,所求的投影直线的方程为 (x+2/3)/(-3)=(z-1)/3 ,且 y=5/3 , 化简得 {x+2/3=1-z ;y=5/3 .(这是两个平面的交线的形式,或可写成 (x+2/3)/1=(y-5/3)/0=(z-1)/(-1) )
临沂市15168366621： 怎样求一条直线在平面上的投影,平面在平面上的投影 - ？
佟伯蒿甲： 进行坐标变换,把直线变换到坐标轴上,就可以直接求得投影点. 还有其他很多方法,你可以去看看解析几何的书. 这种问题和程序设计没有多大联系,解出算式就OK了. 请采纳答案,支持我一下.
临沂市15168366621： 求直线 (x - 1)/1 = y/2 = z/3 在平面4x - y+z - 1=0上的投影直线方程. - ？
佟伯蒿甲： 直线的方向向量为v=(1,1,-1)*(1,-1,1)=(0,-2,-2),平面法向量为 n=(1,1,1),因此,过直线且与平面垂直的平面法向量为 v*n=(0,-2,2),已知直线过点(0,2,1),因此垂面方程为 -2(y-2)+2(z-1)=0,化简得 y-z-1=0,所以,所求投影直线方程为 {y-z-1=0,x+y+z=0 .(顺便指出,题目输入有误,已更正为 x-y+z+1=0)
临沂市15168366621： 求直线l:1分之x - 1=1分之y= - 1分之z,在平面π:x - y+z=0上的投影直线方程 - ？
佟伯蒿甲： (x-1)/1=y/(-1)=z/(-1) 沿直线的向量(1,-1,-1),方 平面的向量(1,-1,1),方向余弦(1/√3,-1/√3,1/√3) 设(x-1)/1=y/(-1)=z/(-1)=t x=1+t,y=-t,z=-t,代入平面方程,得到交点:1+t+t-t=0 t=-1 交点(0,1,1) 直线与平面法线夹角的余弦=(1+...
临沂市15168366621： 空间解析几何,求直线到平面的投影 - ？
佟伯蒿甲：[答案] 直线在平面上的投影为直线,直线和题目给出的直线应该可以组成一个垂直于平面4x-y+z=1的平面.假设一个平面方程,然后与题目三个方程联立求出参数后,这个平面方程与4x-y+z=1共同组成题目要求的直线方程.
临沂市15168366621： 求直线x+2y - z+1=0 3x - 2y+z - 1=0在平面x+y+z - 3=0上的投影直线方程. - ？
佟伯蒿甲： x+y+z-3=0的法向量为(1,1,1) 过直线x+2y-z+1=0 3x-2y+z-1=0的平面系方程为 x+2y-z+1+k(3x-2y+z-1)=0 即(1+3k)x+(2-2k)y+(k-1)z+1-k=0 (1) 法向量为(1+3k,2-2k,k-1) 若该法向量与(1,1,1)垂直 则(1+3k)*1+(2-2k)*1+(k-1)*1=...
