育人小学三年级有4个班，已知1.2班一共有50个人，2.3班一共有48个人，3.4班一共有45个人？

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【题目】育人小学三年级有4个班，已知1班和2班一共有50个人，2班和3班一共有48个人，3班和4班一共有45个人。问1班、2班、3班和4班各有多少人？全年级共有多少人？

【求解答案】1班人数为25人，2班人数为25人，3班人数为23人，4班人数为22人，全年级共有95个人。

【求解思路】由于该问题是不定问题，所以可以考虑用求最小范数解的方法来求解。其解决方法是：令1班人数为x1人，2班人数为x2人，3班人数为x3人，4班人数为x4人

1、根据题意，列出方程组，即

2、根据线性方程组，写成矩阵方程。即

这里，A是线性方程组的系数矩阵，X是线性方程组的变量矩阵，B是线性方程组的常数项矩阵

3、由于A是非方矩阵，所以该矩阵方程伪逆矩阵方法求最小范数解Xº。即

4、由于人数是正整数，所以得到Xº后，应对其值进行取整计算。

5、最后，得到各班级人数和全年级的人数。

【求解过程】

【本题知识点】

1、伪逆矩阵。奇异矩阵或m×n的非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但可求其伪逆矩阵。对于矩阵A其伪逆矩阵 X与A^T同型，且满足如下等式：

AXA=A

XAX=X

2、最小范数解。（方程个数不大于未知量个数）

考虑线性方程组 Ax=b，其中

方程的数量不大于未知量的数量。因此，该方程组可能存在无数个解。但是，接下来将发现，只存在一个最接近原点的解，即 Ax=b 的解中范数||x||最小的x。

令x*表示这个解，可知 Ax*=b ，且对于任意满足 Ax=b 的x，都有 ||x*||≤||x||。也就是说，x*是如下优化问题的解：

min ||x||

s.t.  Ax=b

此时问题的最小范数解是

3、最小范数解与最小二乘法的区分。

当线性方程组 Ax=b 未知量个数不大于方程个数时，存在最小二乘解：

当线性方程组 Ax=b 未知量个数不小于方程个数时，存在最小范数解：

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