a^ x次方-1等价于xlna，对吗
作者&投稿：丰芬 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
a的x次方-1等价于xlna。
根据洛必达法则=(a^x-1)/x/lna=a^x=1。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法 。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算，洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法 。
求极限基本方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。
3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
当x趋向于零时，
aˣ-1与xlna是等价无穷小。
可以用洛必达法则证明。
供参考，请笑纳。
😳问题 : a^x-1等价于 xlna, 对吗 ?
👉等价无穷小
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
👉等价无穷小的例子
『例子一』sinx 等价于 x
『例子二』1-cosx 等价于 (1/2)x^2
『例子三』tanx 等价于 x
👉回答
根据泰勒公式: f(x) = f(0) +f'(0)x +o(x)
f(x) = a^x => f(0) =1
f'(x) = lna.a^x => f'(0) =lna
a^x = 1+(lna)x +o(x)
a^x -1 = (lna)x +o(x)
ie
a^x -1等价于 xlna
😄: a^x-1等价于 xlna, 对吗 ? 对
乾肾盐酸： 把a^x-1在0点进行泰勒展开,a^x-1=1+xlna+o(x^2),lim(a^x-1)/xlna=lim(xlna+o(x^2))/xlna=1 所以是等价无穷小量
成华区15897615817： 等价无穷小证明a^x - 1=xlna,e^x - 1=x,ln(1+x)=x这几个怎么证明?可以不用洛必达法则么?用那个证明就没意思了. - ？
乾肾盐酸：[答案] ln(1+x)=xln(1+x) 1lim --------------=lim ---ln(1+x) = lim ln(1+x) ^1/x=lne=1x->0 x x->0 x x->0 e^x-1=x,利用换元法 e^x-1=t ,x=ln(1+t)a^x-1=xlna,利用换元法 a^x= e^xlna
成华区15897615817： 求极限lim(x→0)(a^x - 1)/x麻烦解答一下 - ？
乾肾盐酸：[答案] 当x趋向0的时候,a^x-1等价于xlna的啊,所以结果直接就是lna 要是你忘记上面的等价了的话,你还可以用罗比达法则的啊,因为这是0比0型的 分母求导是1,分子求导是a^xlna=lna(当x趋于0,a^x=1)
成华区15897615817： 为什么我们高数书上有没有a* - 1极限当x趋于零时是等价于xlna？
乾肾盐酸： a^(x-1)当x趋近与0时候,极限为1/a .而不等于0lna=0.因此这个假设也是错的
成华区15897615817： 帮忙求个对数转换:[(a^Δx) - 1]/Δ x=Δ xlna/Δ x 帮解释一下是怎么换算的 - ？
乾肾盐酸：[答案] 这个除非Δ x趋向于0,否则等式是不能严格成立的,当Δ x很小的时候,只能是约等于. 这个你学过“等价无穷小”的概念吗?如果学过的话回忆一下a^x -1 与xlna 是等价无穷小,就是这个式子的来源.
成华区15897615817： 常用等价无穷小的证明请问a^x - 1=xlna,e^x - 1=x,ln(1+x)=x,怎么证明考研的时候是需要理解还是会用? - ？
乾肾盐酸：[答案] 洛氏法则是根据柯西中值定理来的,我不会编辑公式.补充定义FX,GX在X为0处为0,即符合柯西中值定理条件,X趋于0,ζ亦趋于0.即ζ趋于X.
成华区15897615817： 题目是小括号里的,分子是a的n分之一次方加上b的n分之一次方,分母是2,然后小括号括住,整个小括号的n次方,n趋向于无穷.就是这道题,原谅我不会输... - ？
乾肾盐酸：[答案] 取对数,再利用ln(1+x)等价于x,a^x--1等价于xlna,得lim n*ln【a^(1/n)+b^(1/n)】/2=lim n*ln [1+【a^(1/n)+b^(1/n)】/2--1]=lim n*[【a^(1/n)+b^(1/n)】/2--1]=(lim【a^(1/n)--1】/(1/n)+lim 【b^(1/n)--1】/(1/n))/2...
成华区15897615817： 是否极限为一的上下两就是等价的,可以替换,比如a^x~xlna+1,算起来好像是对的,还是有一个精 - ？
乾肾盐酸： 当x趋于0时等价
成华区15897615817： lim(x→0)[(a∧x - 1)╱xlna]=1证明 - ？
乾肾盐酸： lim(x→0)[(a^x-1)/xlna] =lim(x→0)[(a^x)(lna)/lna] =lim(x→0)(a^x)=1
