梅森数2^73-1能被439、3359或3943哪一个整除？

形如2n-1的素数称为梅森素数，这里指数n是一个素数。使用循环设计程序，求出指数n<30的所有梅森素数~

2^n-1吧。
下面是代码
Option Explicit
'首先要知道如何判定一个数是不是素数
'素数普遍公式：若自然数N不能被不大于(N^0.5)的任何素数整除，则N是一个素数。
Private Function prime(numberinput As Double) As Boolean '判定一个数是不是素数
Dim number As Double
number = numberinput
prime = True
Dim sqrnumber As Double
sqrnumber = Int(Sqr(number))
Dim i As Double
Dim remainder As Double
i = 2
Do While i <= sqrnumber
remainder = number Mod sqrnumber
i = i + 1
If remainder = 0 Then
prime = False
Exit Do
End If
Loop
End Function
Private Sub Command1_Click()
Dim i As Double
i = 2
Do
If prime(i) = True And prime(2 ^ i - 1) = True Then
Print 2 ^ i - 1
End If
i = i + 1
Loop Until i = 30
End Sub

#include int isprime(int n){int i;for(i=2;i*i1; }int main() {int i,a=1; for(i=1;i<20;i++) {a=(1<<i)-1; if(isprime(a)) printf("n=%d%d
",i,a); } return 0;}

质数百科名片
质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。

目录

简介
入门
算术基本定理
素数分布问题
质数的构造
素数各类猜想
哥德巴赫猜想历史进展
质数的几种英文解释
筛法
孪生素数普遍公式
C语言打印100以内的质数
JAVA质数升成简介
入门
算术基本定理
素数分布问题
质数的构造
素数各类猜想
哥德巴赫猜想历史进展
质数的几种英文解释
筛法孪生素数普遍公式C语言打印100以内的质数JAVA质数升成展开 编辑本段简介
就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？ 质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。 有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。 被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。 更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！ 17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。 还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 还有一种质数叫费马数。形式是:Fn=2^(2^n)+1 是质数的猜想。 如F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是实数,并提出(费马没给出证明) 后来欧拉算出F5=641*6700417. 目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是质数. 现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
编辑本段入门
最小的素数是2， 他也是唯一的偶素数。 最前面的素数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，...... 不是质数且大于1的正整数称为合数。 质数表上的质数请见素数表。 依据定义得公式： 设A=n2+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。故有： y=（b+nx)/(n-x) (x<N-1)无正整数，则A为素数。 因为x<N-1,而且N-X必为奇数，所以计算量比常规少很多。 详见互动百科素数分布和不定方程 100以内的质数（素数）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 （共25个）
编辑本段算术基本定理
算术基本定理： 任何大于1的正整数n可以唯一表示成有限个素数的乘积: n=p_1p_2...p_s, 这里p_1≤p_2 ≤...≤p_s是素数。 这一表达式也称为n的标准分解式。 算术基本定理是初等数论中最基本的定理。由此定理， 我们可以重新定义两个整数的最大公因子和最小公倍数等等概念。 1不能称作素数，是因为要确保算术基本定理所要求的唯一性成立。这一解释可参看华罗庚《数论导引》
编辑本段素数分布问题
素数分布问题，就是指素数在正整数集或其特殊子集中的分布情况，比如素数个数问题等等。这方面的结果如下; （1）欧几里得以反证法证明了素数个数无限；欧拉利用解析方法也证明了此结论。 （2）高斯提出著名的素数定理（当时是猜想，后被证明）： 设π(x)是不超过x的素数个数， 那么极限(x趋向于无穷) lim π(x)/(x/Ln x)=1 更好的逼近公式有高斯提出的li(x)函数， 即lim π(x)/lix=1。 其中 相关公式
（3） 狄利克雷 证明了任何等差数列： a, a+d,a+2d,...a+nd,... (这里a,d互质)中都包含无限个素数。 （4） 兰伯特猜想（已被证明）： 在n和2n之间必定存在一个素数， 这里n是大于1的正整数。 十亿以内素数分布及概率 "10" |4 |40% “100” |25 |25% “1000” |168 |16.8% “10000” |1229 |12.29% “100000” |9592 |9.592% “1000000” |78498 |7.8498% “2000000” |148933 |7.44665% “10000000” |664579 |6.64579% “100000000” |5761455 |5.761455% “200000000” |11078937 |5.5394685% “300000000” |16252325 |5.41744167% “400000000” |21336336 |5.334084% “500000000” |26355877 |5.2711754% “600000000” |31324713 |5.2207855 % “700000000” |36252941 |5.17899157% “800000000” |41146189 |5.143273625% “900000000” |46009225 |5.1121361% “1000000000” |50847544 |5.0847544% 可以看出，越往后质数比例愈小，但总数却是增多， 可以看出素数的个数是无限的，这一结论已经被古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中用反证法证明。
编辑本段质数的构造
如何构造素数，即寻找一个可以只产生素数的公式，是古典数论的一个重要课题。许多数学家曾经尝试过此问题。以下列举一些经典的例子。 （1）费马定义了费马数F_n=2^(2^n)+1.他猜测费马数都是素数。 但是欧拉证明了641能够整除F_5,目前为止，人们还不能证明是否有无限个费马数是素数。 有猜测认为， 几乎所有费马数都是合数。 （2）高故证明， 一个正n边形可以用尺规作图得到的充要条件是： n的所有奇素因子都是费马素数。特别地， 正十七边形可以用尺规做出。 （3）梅森定义了M_p=2^p-1. 他猜测当p是素数时， M_p也是素数，称为梅森素数。 但这一结论也被否定了。 一个重要问题是： 是否有无限个梅森素数？此猜想至今未被证明。 （4）一个数n是偶完全数当且仅当n可以写为 n=2^M_p, 这里p和梅森数M_p都是素数。一个重要问题是：是否存在奇完全数？ （5） 欧拉和费马等人构造了一些多项式，在一定范围内都取值素数， 比如： f(n)=n^2-n+41, 在n=1,2,...,40时都是素数。一个有趣问题是： 存在无穷个素数可以写为n^2+1的形式. （6）只产生素数的公式很容易构造，但它们是没有理论意义的。比如令B_n=((n-1)!+1)/n, 用表示x小数部分， [x]表示x的整数部分。于是 函数f(n)=n+(n-2)[]只产生素数。这是利用了著名的威尔逊理, 即 "n是素数当且仅当 (n-1)!+1能被n整除" （7）传统筛法是利用一条定理：“n不能够被不大于根号n的任何素数整除，则n是一个素数”《代数学辞典》上海教育出版社1985年259页。参见百度素数普遍公式 可以用公式表示，参见下面筛法。
编辑本段素数各类猜想
上面我们已经提及了几类猜想， 如梅森素数无限的猜想， 费马素数有限的猜想等等。以下列举其他一些重要猜想。 （1）黎曼猜想。 黎曼通过研究发现， 素数分布的绝大部分猜想都取决于黎曼zeta函数ζ（s）的零点位置。他猜测那些非平凡零点都落在复平面中实部为1/2的直线上， 这就是被誉为千禧年世界七大数学难题之一的黎曼猜想， 是解析数论的重要课题。 （2）孪生素数猜想。 如果p和p+2都是素数， 那么就称他们为孪生素数。一个重要的问题就是：是否存在无限多对孪生素数？这一问题至今没有突破性进展。 （3）哥德巴赫猜想 （Goldbach Conjecture) （a）所有的不小于6的偶数，都可以表示为两个奇素数之和 (一般用代号“1+1”表示)。 （b）每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。 问题的第二部分，利用解析数论中的圆法估计，已被证明。 真正困难的是第一部分。
编辑本段哥德巴赫猜想历史进展
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积，被称为“殆素”意思是很像素数。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b"，那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立。 “充分大的偶数”陈景润是指10的5000000次方，即在10的后面加上500000个“0”。 哥德巴赫猜想至今没有任何实质性进展。 1920年，挪威的布朗证明了‘“9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及 意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
编辑本段质数的几种英文解释
mathematics, a prime number (or prime) is a natural number greater than one whose only positive divisors are one and itself. Or for short: A prime number is a natural number with exactly two natural divisors. A natural number that is greater than one and is not a prime is called a composite number. The numbers zero and one are neither prime nor composite. The property of being a prime is called primality. Prime numbers are of fundamental importance in number theory. [From Wikipedia] 2.A whole number not divisible without a remainder by any whole number other than itself and one.（汉译：素数，质数：只能被其本身和一整除而没有余数的整数）[From American Heritage Dictionary] 3.any integer other than 0 or ± 1 that is not divisible without remainder by any other integers except ± 1 and ± the integer itself. [From The Merriam-Webster's Collegiate® Dictionary] 4.a number that can be divided only by itself and the number one. For example, three and seven are prime numbers.[From Longman Dictionary of Contemporary English]
编辑本段筛法
筛法，是求不超过自然数N（N＞1）的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃（Eratosthenes，约公元前274～194年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。 具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。）工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。） 筛法与公式的关系： 素数普遍公式： 公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法： （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 （二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<D≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。. （三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。 （四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式： N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1) 其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。 （五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示： N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (2) 例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。 以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。 例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。 k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。 k=3时, ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| ---------------------|---------|----------|--------|---------| n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| ------------------------------------------------------------ 求得了（7，7*）区间的全部素数。 仿此下去，可以求得任意大的数以内的全部素数。 文章（作者王晓明）。
编辑本段孪生素数普遍公式
有定理：若自然数Q与Q+2不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为孪生素数。这句话可以用公式表达： Q=p1m1+b1=p2m2+b2=.....=pkmk+bk 。(1) 例如Q=41=2m+1=3m+2=5m+1。 其中p1，p2，....，pk 表示顺序素数2，3，5，7，......。b≠0,和b≠pi-2。 若Q〈P(K+1)的平方减2，[注：p后面的1，2，3，.....，k，k+1是脚标，凡是字母后面的 数字和字母i,k 都是脚标] ，则Q与Q+2是一对孪生素数。 即最小剩余不能是0和pi-2.，例如Q不能是2m，3m+1，5m+3，7m+5，....，pimi-2。否则Q+2是合数。 （1)式可以用同余式组表示： Q≡b1(modp1)，Q≡b2(modp2)， .........，Q≡bk(modpk)。 (2) 例如，41≡1（mod2)，41≡2(mod3)，41≡1(mod5)。41<41+2）的平方减2.，所以41与41+2是一对孪生素数。 下面平方用“*”表示，即：㎡=m*.。 由于（2）式的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理) 相关题目
得知，对于给定的b值，（2）式在p1p2...pk范围内有唯一解。 仅从（1）式看不出什么素数的规律，一旦转入同余式后，整个线路就清晰起来，因为在孙子定理的照耀下，我们知道b≠0，即是在p1p2p3...pk范围内筛去 p1m+0，p2m+0，p3m+0，...，pkm+0形的数，筛k次。b≠pi-2即是从p1p2p3...pk范围内筛去p1m-2，p2m-2，p3m-2，...，pkm-2形的数，筛k次。共2k次。 得知（1）（2）式在p1p2...pk范围内有： (2-1)×(3-2)×(5-2)×....×(pk-2) 。（3） 个解。
编辑本段C语言打印100以内的质数
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 #include<stdio.h> #include<math.h> /* input: num, num should >0 return: 1 - 是质数 0 - it is NOT a prime number 不是质数 note: 只需要计算到num的平方根处。 */ int isprime( int num ) } if ( i <= sq ) return 0; else return 1 ; } int main(void) ; int ntotal = 0; for(int i=0;i<=100;i++) } for(int j=0;j<ntotal;j++) printf("\ntotal number = %d\n",ntotal); return 0; } 前100个素数： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199，211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293，307，311，313，317，331，337，347，349，353，359，367，373，379，383，389，397，401，409，419，421，431，433，439，443，449，457，461，463，467，479，487，491，499，503，509，521，523……
编辑本段JAVA质数升成
n以内的质数（n>=2） public class PrimeNumber } if (flag == 0) } } public static void main(String[] args) }

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卓资县18292092852： 2的67次方减一是质数还是合数 - ？
衷重走川： 2^67-1=193707721*761838257287 最近很多网友认为最早发现的是科乐,但是实际上最早发现梅森数的错误是17世纪的数学家科普勒.梅森数,公式2^n-1(n为质数)是质数.他只验证了n为2、3、5、7、11、13、17.后来欧拉验证了2^31-1是质数,直到17世纪人们才知道2^67-1不是质数

卓资县18292092852： 1999年,美国一工程师找到当时最大的质数2^6972593 - 1.它究竟有多大?若用A4纸将它 - ？
衷重走川： 2^n-1是奇数,奇质数有3,5,7,11,13,17,19,等等满足条件的最小因为他找到了迄今为止已知的最大素数,这是一个梅森素数: 2^6972593-1.

卓资县18292092852： 什么是梅森数、完全数、亲和数? - ？
衷重走川： 17世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想:2^p-1代数式,当p是质数时,2^p-1是质数.他验算出了:当p=2、3、5、7、17、19时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明p=31时,2^p-1是质数.还剩下p=67、127、257三个...

卓资县18292092852： 卢卡斯数列验证梅森素数的证明 - ？
衷重走川： 梅森数(Mersenne number)是指形如2^p-1的正整数,其中指数p是素数,常记为Mp .若Mp是素数,则称为梅森素数(Mersenne prime). 而卢卡斯数有:1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204),当中的平方数只有 1 和 4,这是由哥恩 (John H. E. Cohn) 证明的.而素数,即卢卡斯素数 (Lucas Prime) 则有: 3, 7, 11, 29, 47, ...... 如果一个数不是1和4,而又是卢卡斯数的话就一定是梅森数

卓资县18292092852： 梅森素数的分布规律 - ？
衷重走川： 人们在寻找梅森素数的同时,对其重要性质——分布规律的研究也在进行着.从已发现的梅森素数来看,它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则;从发现梅森素数的时间来看,有时许多年未能找到一个,而有时则一下找到好几个.梅森素数...

卓资县18292092852： 梅森数2^73 - 1能被439、3359或3943哪一个整除? - ？
衷重走川： 439

卓资县18292092852： 梅森数是指形如2的N次方减1的数,记为第n个M;如果一个梅森数是素数则称为梅森素数 - ？
衷重走川： ∵M[11] = 2^11 - 1 = 2047 = 89 * 23 ∴M[11]不是一个梅森素数,它可以分解成:89 * 23

卓资县18292092852： 梅森的梅森素数 - ？
衷重走川： 梅森素数貌似简单,但研究难度却极大;它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且需要进行艰巨的计算.1772年,被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下,以惊人的毅力和高超的技巧靠心算证明了2^31-1是第8个梅森素数,该素数有...

卓资县18292092852： n是正整数,若2的n次方—1为素数,证明:n必为素数 - ？
衷重走川： 若n为合数,即设n=ab(a,b∈N+,且不为1),有,2^n-1=(2^a)^b-1^b,那么(2^a)^b-1^b可以因式分解,一定有2^a-1整除(2^a)^b-1^b,2^a-1>1,所以若n为合数,2^n-1也为合数.与已知矛盾.所以2^n—1为素数,n必为素数.顺便一说,形如2^p-1的质数被称为梅森数.

卓资县18292092852： 100以内的梅森素数 - ？
衷重走川： 12,13,15,16,14,25,36,24,36,39,38,37,63,65,61,68,62,69,99 ,98,93,92,95,94.