高数老师说 微分方程的求解过程中每一步不一定是同解变形

微分方程中结论“通解不一定是全部解”的反例~

y'=-y^2
分离变量-dy/y^2=dx
积分1/y=x+C,
通解为y=1/(x+C)，而全部解里除了通解外，还有一个特解y=0。

(4x-1)y''-4y'=0
[y'/(4x-1)]'=0 (4x-1≠0)
y'=C1(4x-1)
y=C1(2x^2-x)+C2
当4x-1=0时，原方程化为y'=0，即y=C
所以方程通解为y=C1(2x^2-x)+C2

不会出现这种情况，所有解的情况是可以全部写出来的，我们在求解微分方程时，经过会用到除，此时出现特解，也就是除式为零。而除此之外，在对1/x类型函数求积分时，结果一定是ln丨x丨，不能是lnx，按考研大纲来，少了绝对值符号就会扣分。虽然，很多时候写不写这个绝对值看似不影响结果，其实那是因为常数C的取值发生了变化。所以，绝对值一定要带上，除非你可以说明绝对值里面式子的正负性。

一阶？不过就标准答案来说也好做，二阶或n阶，对其求导，就是求1阶微分方程，非齐次？线性，非线性？齐次，x+c=±根号（1-y^2)上面的和底下的都对，题目没说要何种微分方程

好像叫千依

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文峰区13434724428： ?题目微分方程的解 在求解微分方程的过程中,常常会遇到要使分母不为0的情况,才能继续下去.那么这个时 - ？
谭雷甲磺： 何为改进的欧拉方法?是Euler-Richardson算法吗? #include #include #include double WeiFen(double x, double y){ return y*y*(cos(x)-sin(x))-y;}void EulerRichardson(double &x, double &y, double dx){ //欧拉理查德算法进行迭代 double d

文峰区13434724428： 一阶微分方程求解的方法? - ？
谭雷甲磺：[答案] 一阶微分其实就是一介导数,对于刚学高数的来说,要很快改变高中导数的写发有点…把它写成导数就可以熟悉的解了

文峰区13434724428： 求解高数 微分方程 级数! - ？
谭雷甲磺： x=1/2的时候,级数变成了调和级数,发散; x=-1/2的时候,级数的每项变为:(-1)^n / n,这是交错级数,根据莱布尼茨法则,因为 1/n 单调递减趋于 0 ,故原级数收敛. 第2题 (x+c)^2 + y^2 = 1 微分消掉常数c x+c = 根号(1-y^2) x+c = ±根号(1-y^2) 两边对x求导 1 = ± y*y'/√(1 - y^2) 这就是所求~~

文峰区13434724428： 高等数学微分方程求解 - ？
谭雷甲磺： 对于微分方程的类型,我们可以先根据方程中未知函数导数的最高阶数来确定是几阶的,而后依据未知函数及其各阶导数的最高幂次确定是否线性.若它们都是一次的,则为线性的,否则是非线性的.对于线性方程又可以分为齐次和非齐次,而...

文峰区13434724428： 高数书上说“微分方程的解有两种形式:一种不含任意常数;一种含有任意常数.如果解中含任意常数,且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,这样的解... - ？
谭雷甲磺：[答案] 有,这种解也是解,但不是通解也不是特解.

文峰区13434724428： 高数,微分方程,求过程,求解释 - ？
谭雷甲磺： 有2个任意常数,为二阶微分方程.有e^x,e^(-x)项,因此特征根为r=1,-1 特征方程(r-1)(r+1)=0 即r²-1=0 故齐次方程为y＂-y=0 特解为x-1,代入y＂-y得:0-(x-1)=1-x 所以微分方程为:y＂-y=1-x

文峰区13434724428： 高等数学求微分方程的通解 - ？
谭雷甲磺： 1, dy/dx=y/x+e^(y/x) 为齐次微分方程,令 u=y/x, 则 y=xu, 原方程化为 u+xdu/dx=u+e^u,e(-u)du=dx/x, 解得 -e^(-u)=lnx-C, 即通解为 e^(-y/x)+lnx=C. 2. x^2*dy/dx+2xy=5y^3 即 d(yx^2)/dx=5y^3, 令 u=yx^2, 则 y=u/x^2, 原方程化为du/dx=5u^3...

文峰区13434724428： 大一高数B求微分方程的通解 - ？
谭雷甲磺： 解:令z=1/y²,则dy=(-y³/2)dz代入原方程,化简得xz'+2z=-2x(1+lnx).........(1)再令x=e^t,则xz'=dz/dt代入方程(1),化简得dz/dt+2z=-2(1+t)e^t..........(2)方程(2)是一阶线性微分方程,用公式求解得z=Ce^(-2t)-2te^(-t) (C是积分常数)==>z=C/x²-2lnx/x (用x=e^t代换)==>1/y²=C/x²-2lnx/x (用z=1/y²代换)故原方程的通解是1/y²=C/x²-2lnx/x (C是积分常数).

文峰区13434724428： 高数,微分方程求通解,求过程,谢谢😜？
谭雷甲磺： (1) 微分方程即 2y ' = 1 - cos2(x-y+1) = 1 - cos2(y-x-1), 令 u = 2(y-x-1), 则 2y = u + 2x + 2, 2y' = u' + 2, 微分方程化为 u' + 2 = 1 - cosu, du/dx = -1 - cosu = -2[cos(u/2)]^2, [sec(u/2)]^2d(u/2) = -dx, tan(u/2) = - x + C, 即 tan(y - x -1) = -x + C (2) 微分方...