F(X-1)和F(x+1)是奇函数F(x)是什么函数,怎么证明？
设F（x）＝f（x＋1），
则F（x）是奇函数，
则有：F（－x）＝－F（x）
又：F（x）＝f（x＋1）
====>>>> F(－x)=f(－x＋1)
F（x）＝f（x＋1）
则：F（－x）＝－F（x）
====>>>> f(－x＋1)
＝－f（x＋1）
如果在x=0处函数的值f（0）存在，则因为f(-0)=-f(0)--->2f(0)=0--->f(0)=0，是一定的。但是如果在x=0时函数不存在，当然就没有f（0）=0。
例如反比例函数y=k/x,的定义域是x0.所以f(0)0而不存在。
扩展资料
奇函数：
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称。
方法点评：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量。
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝－f（－x）解相关参数。
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x那么当x＜0时，－x＞0。
有f（－x）＝（－x）2＋（－x）⇒－f（x）＝x2－x⇒f（x）＝－x2＋x。
设x+1=z
则f(z)是奇函数
即f(-z)=-f(z)
-f(x-1)=-f(z-2)=f[-(z-2)]=f(-z+2)
=f(-(x+1)+2)
=f(-x-1+2)
=f(-x+1)
=f(1-x)
因为F(x-1)是奇函数
由 奇函数关于原点对称 和 《附》中第0条，得到F(x)关于点 （1,0）对称
同理 F(x)关于点（-1,0）对称
由《附》中第14条结论，得到 F(x)是周期为4的周期函数。
附：
关于函数的周期性和对称性的几条结论：
0. f(x+t)可由f(x)向左平移t个单位得到（t为负表示向右平移）
1.若 f(x+T)=f(x), 则f(x)是以 T 为周期的函数 (可逆推)
2.若 f(x+a)=f(x+b), 则f(x)是以 |a-b|为周期的函数 (可逆推)
3.若 f(x+t)=-f(x), 则f(x)是以 2t 为周期的函数
4.若 f(x+t)=1/f(x), 则f(x)是以 2t 为周期的函数
5.若 f(x+t)=-1/f(x),则f(x)是以 2t 为周期的函数
6.若 f(t+x)=f(t-x), 则f(x)图像的对称轴为 直线x=t 且f(x+t)为偶函数 (可逆推)
7.若 f(2t-x)=f(x), 则f(x)图像的对称轴为 直线x=t (可逆推)
8.若 f(x+a)=f(b-x), 则f(x)图像的对称轴为 直线x=(a+b)/2 (可逆推)
9.若 f(t+x)=-f(t-x),则f(x)图像的对称中心为 点(t,0) (可逆推)
10.若 f(2t-x)=-f(x), 则f(x)图像的对称中心为 点(t,0) (可逆推)
11.若 f(x+a)=-f(b-x),则f(x)图像的对称中心为 点((a+b)/2,0) (可逆推)
12.若 T为f(x)周期， 则 nT 也为f(x)周期（n为整数，n可以为负数）
13.若 f(x)有两个对称轴:x=a与x=b, 则f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
14.若 f(x)有两个对称中心:(a,m)与(b,m), 则f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
15.若 f(x)有一个对称轴:x=a 和一个对称中心:(b,m)，则f(x)是以 4|a-b| 为周期的函数
证明：
1. 定义，不用证。
2. f(x+a)=f(x+b) 用 x-a 代换x 得
f[(x-a)+a]=f[(x-a)+b] 即f(x)=f(x+b-a) 所以f(x)周期为b-a， 我们习惯上取周期为正
，故加绝对值，所以是 |a-b|
3. f(x+t)=-f(x) 用 x+t 代换x 得
f[(x+t)+t]=-f(x+t)=f(x) 即 f(x+2t)=f(x) ，即 f(x)是以 2t 为周期的函数
4. 略。仿照3
5. 略。仿照3
6. 不用证。这是一个等价条件，即 f(t+x)=f(t-x) (这三个符号是一起的，意思是等价
于) f(x)图像的对称轴为 直线 x=t
可以想象：t+x即在t的右边距离为x、t-x即在t的左边距离为x，也就是说在t左右两边距t
相等的位置（t+x和t-x）
的函数值f(t+x)和f(t-x)也相等 显然函数图像关于x=t是对称的
7. f(2t-x)=f(x) 用 x+t 代换x 得
f[2t-(x+t)]=f(x+t) 即f(t-x)=f(t+x) 由6得 f(x)图像的对称轴为 直线x=t
8. f(x+a)=f(b-x) 用 x-a 代换x 得
f[(x-a)+a]=f[b-(x-a)] 即f(x)=f(b+a-x) 由7得 f(x)图像的对称轴为 直线x=(a+b)/2
9. 不用证。仿照6
10. 略。仿照7
11. 略。仿照8
12. 不用证。
13. f(x)有两个对称轴:x=a与x=b。 由7得 f(2a-x)=f(x)且f(2b-x)=f(x)
所以f(2a-x)=f(2b-x) 用 -x 代换 x 得
f(2a+x)=f(2b+x) 由2得 f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
14. 令g(x)=f(x)-m ，显然 f(x)与g(x)的对称性和周期性都相同， 故 g(x)有两个对称中心:
(a,0)与(b,0)。
仿照13的方法 可以得到 g(x)是以 2|a-b| 为周期的函数， 故 f(x)是以 2|a-b| 为周
期的函数。
15. 略。仿照14
你找个例子就可以了比如f（x）=1/（x-1）
本身f（x）不是奇函数
但是f（x+1）=1/x
为奇函数
f（-x-1）=1/（-x-2）
而f（-x+1）=1/（-x）
=-f（x+1）
所以为奇函数
周期函数 周期为4
因为F(x-1)是奇函数
由 奇函数关于原点对称 和 《附》中第0条，得到F(x)关于点 （1,0）对称
同理 F(x)关于点（-1,0）对称
由《附》中第14条结论，得到 F(x)是周期为4的周期函数。
求定义域的题,是否意味着他们的对应关系相同?例如f(x-1)与f(x+1)
不一定。求定义域的题目只是要求确定函数的自变量（输入值）的取值范围，而不涉及到函数值（输出值）的问题。因此，即使两个函数具有相同的定义域，它们的对应关系也可能不同。例如，对于函数f(x) = x^2，和g(x) = x^2 + 1，它们的定义域都是实数集合R，但它们的对应关系不同，因为对于任意...
(1)已知 f(x-1)=x²-1,求f(x)
简便的解法：因为f(x-1)=x^2-1=((x-1)+1)^2-1，所以f(x)=(x+1)^2-1。比较详细的解法（换元法）：令x-1=t，则x=t+1，分别代入已知等式两端，得 f(t)=(t+1)^2-1。由于函数f(x)和x形式上无关，而上述变换不改变字变量定义域，因此可简单替换t为x得f(x)=(x+1)^2-1...
f(x-1)和f(x+1)是奇函数,则f(x)是偶函数么? f(x-1)和f(x+1)是奇函数...
令x-1=t，x=t+1 f(x-1)是奇函数，f(x-1)=-f(-x-1)=-f(-t-2)f(x+1)是奇函数，f(x+1)=-f(-x+1)=-f(-t)可知，f(-t-2))=-f(-t)，即f（x）=f（x+2）可得f（x)是周期为2的周期函数
f(x-1)=x方,求f(x)
不用想那么多，原式是f(x-1),要想求f(x)，再加1变回来就是了 f(x)=f(x-1+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1
完全不明白为什么f(x-1)的定义域,又变成x的
定义域永远指的是自变量X的取值范围，因为法则"f"作用于括号里的那个整体的取值范围必须一样，因此必须先求出其中一个括号里的式子的取值范围，再以该范围限定另一个括号里式子的范围，这样就能求出X的取值范围了。
高一数学题、 f(x-1)=x平方,那f(x)的解析式是什么 f(x+1)=x平方,f...
解:设x-1=t,那么x=t+1;将f(x-1)=x^2中的x全用t+1代替,那么原式就变成了f(t)=(t+1)^2,因为x,t均只是代表一个未知量,所以f(x)=(x+1)^2.同理,令x+1=t,得到x=t-1;f(x+1)=x^2就等价于f(t)=(t-1)^2.即f(x)=(x-1)^2.
f(x-1)和f(x)-1是一个意思吗
f(x-1)和f(x)-1不是一个意思的呀。f(x-1)是求x-1的微积分 f(x)-1是求x的微积分和1 的差。
函数f(x)=(x-1)的平方是?
方法如下图所示，请认真查看，祝学习愉快，学业进步！
函数y=f(x-1)与函数y=f(x+1) A,是同一个函数B定义域相同C图像重合D值域...
这个题目答案是D，因为f（x-1）和f（x+1）这两个函数都是f（x）左右平移的结果，而仅仅是左右平移的话，是不会影响函数的纵向高度的，也就是说值域是不会发生变化的。
已知f(x)=x(x-1),求下列不定积分
供参考，请笑纳。
宗圣董益心：[答案] 周期函数 周期为4 因为F(x-1)是奇函数 由 奇函数关于原点对称 和 《附》中第0条,得到F(x)关于点 (1,0)对称 同理 F(x)关于点(-1,0)对称 由《附》中第14条结论,得到 F(x)是周期为4的周期函数. 附: 关于函数的周期性和对称性的几条结论: 0.f(x+t)可...
普兰县15724234579： F(X - 1)和F(x+1)是奇函数F(x)是什么函数,怎么证明 - ？
宗圣董益心： 设F(x)=f(x+1),则F(x)是奇函数,则有:F(-x)=-F(x) 又:F(x)=f(x+1)====>>>> F(-x)=f(-x+1) F(x)=f(x+1) 则:F(-x)=-F(x)====>>>> f(-x+1) =-f(x+1) 如果在x=0处函数的值f(0)存在,则因为f(-0)=-f(0)--->2f(0)=0--->f(0)=0,是一定的.但是如果在x=0时函数...
普兰县15724234579： 函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x - 1)都是奇函数,求f(x)周期 - ？
宗圣董益心： y(x)=f(x+1)是奇函数 则y(x)+y(-x)=0 即f(x+1)+f(-x+1)=0 即 f(x+1)=-f(-x+1) 令x=y+1 f(y+1)+f【-(y+1)+1】 即f(y+2)=-f(-y) t(x)=f(x-1)是奇函数 则t(x)+t(-x)=0 即f(x-1)+f(-x-1)=0 即f(x-1)=-f(-x-1) 令x=y-1 f(y-2)=-f【-(y-1)-1】 即f(y-2)=-f(-y) 所以f(y+2)=f(y-2) f(x)=f【(x+2)-2】=f【(x+2)+2】=f(x+4) 故周期为4
普兰县15724234579： f(x+1)与f(x - 1)都是奇函数 则f(x)的周期为? - ？
宗圣董益心： 因为f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)=-f(-x+1) 因为f(x-1)是奇函数,所以f(x-1)=-f(-x-1) 注意这个符号的变换都是要紧跟着自变量x进行的,比如f(x+1)对应的是f(-x+1),而不是f(-x-1).只要记住这个就好了……
普兰县15724234579： f(x+1)与f(x - 1)都是奇函数,那么f(x)还有没有可能是奇函数或者偶函数 - ？
宗圣董益心： f(x)有可能是奇函数,也有可能是偶函数. 例如周期是1的函数f(x)=sin(2πx)是奇函数,f(x+1)=sin(2πx+2π)=sin(2πx),f(x-1)= sin(2πx-2π)=sin(2πx),满足f(x+1)与f(x-1)都是奇函数. 同样f(x)=cos(2πx)是符合题意的偶函数.
普兰县15724234579： f(x+1)是关于x的奇函数与f(x+1)是奇函数是一样的意思吗? - ？
宗圣董益心： 不一样f(x+1)是关于x的奇函数 意思是原函数是f(x)=x,f(x+1)=x+1f(x+1)是奇函数可能的可能很多 只要原函数能满足f【-(x+1)】=-f(x+1)都是可以的 比如元函数为 2x
普兰县15724234579： 已知函数f(x+1)是奇函数,则函数f(x - 1)的图象关于 - _____对称. - ？
宗圣董益心：[答案] 因为f(x+1)是奇函数,所以得到x=-1即x+1=0时,f(0)=0,且有f(-x)=-f(x); 而f(x-1)也为奇函数,所以当x=-1即x-1=-2时函数值为0,即f(-2)=-f(2)=0, 则函数f(x-1)的图象关于(2,0)对称.
普兰县15724234579： f(x+1)是奇函数,究竟是f(x+1)= - f( - x - 1)还是= - f( - x+1)呢? - ？
宗圣董益心： 解答:f(x+1)是奇函数,∴ 自变量成相反数时,函数值也是相反数,(记住这句话即可.) 函数f(x+1),自变量是x ∴ f(x+1)=-f(-x+1)
普兰县15724234579： 若f(x+1)是奇函数,为什么f( - x+1)= - f(x+1) - ？
宗圣董益心： 奇函数与偶函数的性质中的研究对象都要指的单独变量x本身的改变.辨析:(1)若f(x)为奇函数,则f[-(x+1)]=-f(x+1)(2)若f(x+1)为奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1)上述两式均是正确的,需要慢慢体会,慢慢来!
普兰县15724234579： 函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x - 1)都是奇函数, A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2)？
宗圣董益心： 解:∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数 ∴f(x+1)=-f(-x+1),f(x-1)=-f(-x-1) ∴f(x+3)=f(x+2+1)=-f[-(x+2)+1]=-f(-x-1)=f(x-1) ∵f(x+3)=f(x-1) 又∵-f(-x+3)=-f[-(x-2)+1]=f[(x-2)+1]=f(x-1) ∴f(x+3)=-f(-x+3) ∴f(x+3)是奇函数 ∴选D
