二次函数的三要素具体指什么？

二次函数知识点~

★二次函数知识点归纳★
一、二次函数的几种形式：
1. 的性质：
的图像及性质
的符号


草图






开口方向向上向下
顶点
坐标
对称轴轴（直线x=0）轴（直线x=0）

增减性时，随的增大而减小
时，随的增大而增大时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值时，有最小值．时，有最大值．
开口
大小越大，抛物线的开口越小
2. 的性质：
的图像及性质
的符号


草图






开口方向向上向下
顶点坐标
对称轴轴（直线x=0）轴（直线x=0）

增减性时，随的增大而减小
时，随的增大而增大时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值时，有最小值．时，有最大值．
平移规律上加下减




3. 的性质：
的图像及性质
的符号

草图






开口方向向上向下
顶点坐标
对称轴直线x=h直线x=h


增减性时，随的增大而减小
时，随的增大而增大时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值时，有最小值．时，有最大值
平移规律左加右减。
4. 的性质：
的图像及性质
的符号


草图






开口方向向上向下
顶点坐标
对称轴直线x=h直线x=h

增减性时，随的增大而减小
时，随的增大而增大时，随的增大而增大
时，随的增大而减小
最值时，有最小值．时，有最大值．
平移规律左加右减，上加下减

5、的性质
二次函数
的符号

草图






开口方向向上向下
顶点
坐标（，）（，）
对称轴直线X=直线X=


增减性x<时，随的增大而减小
x>时，随的增大而增大x<时，随的增大而增大
x>时，随的增大而减小


最值当x=时，y有最小值，当x=时，y有最大值，
平移规律左加右减，上加下减

二、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、抛物线与轴交点：
（由的值来决定）
与轴总有交点坐标为，；
的值与轴交点草图


与轴交点在轴上方




与轴交点为坐标原点




与轴交点在轴下方



2、抛物线与轴交点：（由b2-4ac的值来决定）
求与轴的交点坐标，需解一元二次方程；
判别式抛物线与轴交点情况一元二次方程跟的情况
与轴有两个交点

有两个不相等实根
与轴只有一个交点

有两个相等的实数根
与轴无交点

无实数根.

3、对称轴情况：（由a、b的值共同决定）
由、共同决定对称轴情况草图
在轴左侧
是轴
轴的右侧
也可由的符号判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
三、二次函数解析式的确定：
①. 一般式：；
②. 顶点式：；
③. 两根式：.
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
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一元二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.
2.二次函数的性质
(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.
(2)函数的图像与的符号关系：
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.
③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,)。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
7.抛物线中，的作用
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：
①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下(轴)(0,0)
(轴)(0, )
(,0)
(,)
()

9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）
(1)轴与抛物线得交点为()
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故由韦达定理知：

11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．
(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．
(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根
12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

　　二次函数知识点总结及相关典型题目


　　第一部分 基础知识

　　1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.

　　2.二次函数 的性质

　　（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.

　　（2）函数 的图像与 的符号关系.

　　①当 时抛物线开口向上 顶点为其最低点；

　　②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.

　　（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .

　　3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.

　　4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .

　　5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .

　　6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

　　① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；

　　相等，抛物线的开口大小、形状相同.

　　②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .

　　7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

　　8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

　　（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .

　　（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .

　　（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

　　用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

　　9.抛物线 中， 的作用

　　（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.

　　（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线

　　，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.

　　（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.

　　当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：

　　① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.

　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .

　　10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

　　函数解析式
　　开口方向
　　对称轴
　　顶点坐标


　　当 时

　　开口向上

　　当 时

　　开口向下
　　（ 轴）
　　（0,0）


　　（ 轴）
　　(0, )


　　( ,0)


　　( , )


　　( )


　　11.用待定系数法求二次函数的解析式

　　（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.

　　（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

　　（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .

　　12.直线与抛物线的交点

　　（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).

　　（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).

　　（3）抛物线与 轴的交点

　　二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

　　①有两个交点 抛物线与 轴相交；

　　②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；

　　③没有交点 抛物线与 轴相离.

　　（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点

　　同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.

　　（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.


　　二次函数
　　I.定义与定义表达式
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
　　则称y为x的二次函数。
　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
　　II.二次函数的三种表达式
　　一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
　　顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]
　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
　　h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
　　III.二次函数的图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
　　IV.抛物线的性质
　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
　　x = -b/2a。
　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为
　　P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　抛物线与y轴交于（0，c）
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
　　V.二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，
　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
　　即ax^2;+bx+c=0
　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　答案补充
　　画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
　　二次函数解析式的几种形式

　　(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

　　(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

　　(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

　　说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点

　　答案补充
　　如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k

　　定义与定义表达式
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　y=ax^2+bx+c
　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）
　　则称y为x的二次函数。
　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
　　x是自变量，y是x的函数

　　二次函数的三种表达式
　　①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
　　②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
　　③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
　　以上3种形式可进行如下转化：
　　①一般式和顶点式的关系
　　对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
　　h=-b/2a=(x1+x2)/2
　　k=(4ac-b^2)/4a
　　②一般式和交点式的关系
　　x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函数的三要素：开口方向、对称轴、顶点。。
开口方向确定二次项系数正负起。
对称轴 实质就是 给了顶点的x坐标。。
顶点就是二次函数的一个极值

顶点，对称轴，开口方向

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祥云县13052642040： 一次函数,二次函数,反比例函数的三要素 - ？
潘油康威：[答案] 对应法则,定义域,值域

祥云县13052642040： 函数的三要素指的是什么?三要素中( ),两个函数就是不同的函数.三要素中( )的两个函数是同一个函数. - ？
潘油康威：[答案] 定义域 值域 对应法则 (只要有一个不同) (定义域,对应法则)

祥云县13052642040： 二次函数的基本知识 - ？
潘油康威： 我们把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function),称a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.一般的,形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数.自变量(通常为x)和因变量(通常为y).右...

祥云县13052642040： 二次函数和一元二次方程的知识点和性质,应用,详细,普遍,,谢谢了,急. - ？
潘油康威： 1.(-1,0)(3,0)(0,-6)2.打错了吧Y应该是0吧,于x轴的交点的数值与根数值上相同3.于x轴的交点的x的数值与根数值上相同4.3种(1)b2-4ac>0有两个不同交点(2)b2-4ac=0有一个交点(3)b2-4ac<0没有交点(b2即b的平方)

祥云县13052642040： 一元二次方程的三要素是什么?？
潘油康威： [1] 一个未知数 [2] 未知数项的最高次数是2次 [3] 方程两边都是等式

祥云县13052642040： 什么是二次函数? - ？
潘油康威： 一般的,形如y=ax^2+bx+c的函数叫二次函数.自变量(通常为x)和因变量(通常为y).右边是整式,且自变量的最高次数是2. 其表达式有三种: 1、一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数), 2、顶点式: y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式 3、交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b2-4ac≥0]

祥云县13052642040： 二次函数的基本概念是什么 - ？
潘油康威： 二次函数 y=ax2 + bx + c ( a ≠ 0 , a 、 b 、 c 是常数)中含有两个变量 x 、 y ,我们只要先确定其中一个变量,就可利用解析式求出另一个变量,即得到一组解;而一组解就是一个点的坐标,实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形...

祥云县13052642040： 什么是二次函数?该怎么学才能学好?？
潘油康威： 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数. 重要概念:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下.IaI还可以决定开口大小,IaI...

祥云县13052642040： 如何搞好二次函数的复习? - ？
潘油康威： 相当简单,在二次函数这课,涉及的内容比较少,有一些关于二次函数的定论老师不应该只是给他们说,应该在黑版上给他们推一遍,这样他们很难忘记,而且这个课题就只涉及最高点,判别式,与x轴的交点,多找几个相关题目练习便会有很好的效果,希望会对你有帮助!