如图 想问一个微分方程的问题 考研高数
作者&投稿：犹莺 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
提供的选项无一是正确的！
⑴ 首先，从题干提供的通解形式看，
①y1＝C1e^(2x)+C2xe^(2x)是对应的齐次方程的通解；
②y2＝(Ax+B)e^(2x)是非齐次方程的一个特解。
⑵ 原方程对应的齐次方程的通解要想具有①的模样，必须对应的特征方程是λ^2-4λ+4＝0.这就要求a＝4.所以C、D都不对。
由于非齐次方程的特解具有形式
Y*＝x^kQ(x)e^(bx)
其中Q(x)是和原方程右端非齐次项中e^(bx)前面的x具有相同次数的多项式，即一次多项式Ax+B；而在b＝2是特征重根时应该取k＝2.所以，特解应该具有形式Y*＝x^2(Ax+B)e^(2x).
综上，通解应该具有形式
y＝C1e^(2x)+C2xe^(2x)+x^2(Ax+B)e^(2x).
也就说，提供的选项没有一个是正确的。
哪里不懂？
简单分析一下，答案如图所示
这种题目的一种做法是把解带入微分方程，然后两边比较e^(2x)的系数，e^x的系数，系数相等，从中解出α，β，γ，再求这个具体的微分方程的通解，就有固定方法可循了。
常规的做法是利用齐次、非齐次线性方程的解的特点以及通解的结构。
二阶常系数非齐次线性方程的通解是其自身的一个特解与对应齐次线性方程的通解之和。
这个二阶常系数非齐次线性方程的右边是γe^x，所以其特解一定含有e^x，那么解y＝e^(2x)+(1+x)e^x中的e^(2x)就不是非齐次线性方程的解，只能是齐次线性方程的特解，也就是说2是特征方程的一个根。所以y-e^(2x)=(1+x)e^x就是非齐次线性方程的解。
这个非齐次线性方程的特解的假设分为两种情形，当1不是特征方程的根时，设特解是Ae^x，A是常数；当1是特征方程的根时，特解设为Bxe^x，B是常数。
根据以上讨论，以及“(1+x)e^x是非齐次线性方程的解”可知，其中的xe^x是非齐次线性方程的解，且1也是特征方程的根。
因为x·e^x与y=e^2x +(1+x)e^x线性无关，
但奚斯利：[答案] 因为y=3时,dy/dx=0,满足原方程dy/dx+3(x^2)(3-y)=0,故y=3亦是原方程得解.
建瓯市18180853644： 高数微分方程问题 问题如图 - ？
但奚斯利： 可以是r12=i r34=-i 或者是r12=-i r34=i ,但不能像你这样写,特征值只能一组解
建瓯市18180853644： 一个微分方程问题:y”+y'=e^x 特征方程r^2+1=0 r=±i Y=C1一个微分方程问题:y”+y'=e^x 特征方程r^2+1=0 r=±i Y=C1cosx+C2sinx 设y*=ae^x a=1/2 最后一步... - ？
但奚斯利：[答案] 最后一步就是:原方程的通解=对应齐次方程的通解+原方程的特解 即 原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+e^x/2 (C1,C2是常数).
建瓯市18180853644： 请教一个微分方程的问题设函数y=y(x)满足微分方程y＂ - 3y'+2y=2*e的x次方,而且图形在点(0,1)处的切线方程与曲线y=x^2 - x+1在该点的切线重合,则y=___... - ？
但奚斯利：[答案] y''[x] - 3 y'[x] + 2 y[x] = 2*e^x, y[x]=-2 e^x (1 + x) + e^ x C[1] + e^(2 x) C[2] 当x=0时,y=1, 于是-2 + C[1] + C[2]=1, 当x=0,y=1,时,斜率等于D[x^2-x+1]/D[x]=2 x - 1 = -1. 所以当x=0时, y'[x]=-2 e^x - 2 e^x (1 + x) + e^x C[1] + 2 e^(2 x) C[2] =-4 + C[1] + 2 C[...
建瓯市18180853644： 考研微分方程化简问题 - ？
但奚斯利： u可以替换成y/x,然后合并化简就可以. 你这一步只是列出了式子,却没有最终化简,会被扣一点分.
建瓯市18180853644： 微分方程 初值问题都的解 如图17题 - ？
但奚斯利： 17.解:∵cosxdy/dx=ysinx+(cosx)^2 ==>cosxdy-ysinxdx=(cosx)^2dx ==>∫cosxdy-ysinxdx=∫(cosx)^2dx ==>ycosx=(2x+sin(2x))/4+C (C是积分常数) ==>y=((2x+sin(2x))/4+C)secx ∴此方程的通解是y=((2x+sin(2x))/4+C)secx ∵y(π)=1 ∴代入通解,得C=-π/2-1 故所求特解是y=((2x+sin(2x))/4-π/2-1)secx.
建瓯市18180853644： 【考研】微分方程 化简问题. - ？
但奚斯利： 嗯~~这个确实是个比较矛盾的问题, 但是指数形式和对数形式怎么会搭在一起呢?! 实在没明白你的问题,对数就是对数,指数就是指数②关于这个问题 我考研前想过,但是问题不大,参考书上的未必就是对的 尤其现在很多考研参考书,相互抄袭 等你考完后你发现你也可以出一本参考书,很可能比他们的都好! 至于你举的例子,明确告诉你,在R上,必须要加绝对值, 参考书上只是考虑了积分的问题,未涉及这个函数的意义③微分方程,这一节必须要把公式记住,多做题,一定要有一个概念 任意方程的解=齐次解+特解 考试的时候你就先做齐次,最后凑特解 组合得解,这节题目相对简单
建瓯市18180853644： 关于微分方程的问题 如图所示,题目让我求出过该点的微分方程的解,我求出了解,但是答案有个附加条件x>0,x≠0可以理解,但是,为什么x≮0,这个解的图像在( - ∞,0)∪(0,∞)都是有根的,为什么要有那个附加条件？
但奚斯利：因dy/dx=e^x/y^2>=0 也就是说导数y'>=0 而y=(3e^x-3)^(1/3)在x<0时,y'<0,不合题意的.其实x也不能为0
建瓯市18180853644： 请教一个微分方程的问题[急]？
但奚斯利： 这是不显含自变量t的方程,可降阶,另P=dx/dt,dx^2/dt^2=P(dP/dx),将上面两个等式代入方程,可降阶.这貌似是个物理问题的方程呀. [ ]
建瓯市18180853644： 高等数学微分方程问题,如图 - ？
但奚斯利： 设y=ux 那么y'=u'x+u 所以 有 u'x=-(2/x)lnx u'=-(2/x²)lnx 积分可得到 u=2(1+lnx)/x+C 所以 y=2(1+lnx)+Cx y(1)=2+C =1 C=-1 y= 2(1+lnx)-x
