无穷小代换的常用公式是?
若两个无穷小之比的极限为1,则等价无穷小代换常用公式:
arcsinx ~ x;tanx ~ x;
e^x-1 ~ x;ln(x+1) ~ x;
arctanx ~ x;1-cosx ~ (x^2)/2;
tanx-sinx ~ (x^3)/2;(1+bx)^a-1 ~ abx;
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无穷小代换是微积分中的一个重要概念,主要用于计算极限、导数和积分等问题。无穷小代换通常涉及到一些基本的无穷小量,它们的极限性质在数学分析中有着广泛的应用。以下是一些常用的无穷小代换公式:
1. 当 \( x \to 0 \) 时:
\[ \sin x \sim x \]
\[ \tan x \sim x \]
\[ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \]
\[ \ln(1 + x) \sim x \]
\[ e^x - 1 \sim x \]
\[ (1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \] (其中 \( \alpha \) 是任意实数)
2. 当 \( x \to 0^+ \)(即 \( x \) 从正方向趋近于 0)时:
\[ \sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2} \]
\[ \sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{n} \] (其中 \( n \) 是正整数)
3. 当 \( x \to \infty \) 时:
\[ \ln(x) \sim x \]
\[ a^x \sim 0 \] (其中 \( 0 < a < 1 \))
4. 当 \( x \to 0^+ \) 且 \( x \) 是任意正无穷小量时:
\[ \ln(x) \sim -\infty \]
\[ a^x \sim 1 \] (其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \))
无穷小代换的使用通常基于泰勒公式(Taylor's theorem),它提供了一种将复杂函数近似为其在某一点的幂级数展开的方法。通过这种方式,我们可以将难以直接计算的表达式转换为更容易处理的形式。在使用无穷小代换时,需要注意代换的准确性以及代换适用的条件,以确保计算结果的正确性。
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乌拉特后旗15274698796: 1+cosx等价无穷小替换公式 ?
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乌拉特后旗15274698796: arctanx - tanx等价无穷小替换公式是什么 - ?
官胁速力: 等价无穷小 替换公式如下:1、sinx~x2、tanx~x3、arcsinx~x4、arctanx~x5、1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-16、(a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna)7、(e^x)-1~x8、ln(1+x)~x9、(1+Bx)^a-1~aBx10、[(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x11、loga(1+x)~x/lna12、(1+x)^a-1~ax(a≠0...
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