别人跟我说数学拓扑学博士很难毕业,这是为什么?拓扑学真的有这么难吗?
真的很难的,不过没有夸张到毕不了业,在很大程度上,研究拓扑学是需要天赋的。
拓扑学只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。拓扑学起初叫形势分析学,是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。他在17世纪提出“位置的几何学”(geometria situs)和“位相分析”(analysis situs)的说法。
因此,在拓扑学里没有不能拉升、扭转、弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变,这也就是为什么说拓扑最重要的性质就是连通性与紧致性。
什么是拓扑学?
拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。
拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变。例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等价的概念。比如,尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的,换句话讲,就是从拓扑学的角度看,它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价。一般地说,对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的变换就是拓扑变幻,就存在拓扑等价。
应该指出,环面不具有这个性质。比如像左图那样,把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790~1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多,这里不在介绍。
拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展。
二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念。比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展。
拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑。现在,这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。总的来说拓扑学很难。
因为什么是拓扑?拓扑学的英文名是Topology,直译是地理学,即类似于研究地形地貌的相关学科。在中国早期被翻译成“情境几何”、“连续几何”、“一对一连续变换群下的几何”。然而,这些翻译并不容易理解。1956年,统一数学命名法将其确定为拓扑学,是音译。拓扑学是几何学的一个分支,但这个几何学不同于通常的平面几何学和立体几何学。通常平面几何或立体几何的研究对象是点、线、面之间的位置关系及其度量性质。拓扑学与研究对象的长度、大小、面积、体积等度量属性之间的数量关系无关。例如,在通常的平面几何中,将平面上的一个图形移动到另一个图形。如果两个图形完全重合,那么这两个图形称为同余。然而,拓扑学中所研究的图形无论其大小或形状在运动中都是变化的。在拓扑学中,没有不可弯曲的元素,每个图形的大小和形状都是可以改变的。比如前面提到的欧拉解决哥尼斯堡七桥问题时,他画的图形没有考虑它的大小和形状,只考虑了点和线的数量。这些都是拓扑思维的起点。拓扑性质是什么?首先我们引入拓扑等价,这是一个很容易理解的拓扑性质。拓扑学中不讨论两个图之间的同余的概念,而是讨论拓扑等价的概念。比如圆、正方形、三角形虽然形状大小不同,但都是拓扑变换下的等价图形。左图中的三个东西在拓扑上是等价的,换句话说,从拓扑学的角度来看是完全一样的。在一个球面上选择一些点,用不相交的线连接起来,这样球面就被这些线分割成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍与原数相同,这就是拓扑等价。一般来说,对于任意形状的封闭曲面,只要曲面不被撕裂或切割,其变换就是拓扑变化,存在拓扑等价。需要指出的是,torus不具备这种性质。比如左图所示,如果把圆环体切开,就不会分成很多块,而是变成一个弯曲的桶形。在这种情况下,我们说球面在拓扑上不能变成环面。所以球面和圆环面在拓扑学上是不同的曲面。一条直线上的点与线之间的组合关系和序列关系在拓扑变换下不变,这是一种拓扑性质。在拓扑学中,曲线和曲面的封闭性质也是拓扑性质。我们平时说的平面和曲面,通常都是有两面的,就像一张纸有两面一样。但是德国数学家莫比乌斯(1790 ~ 1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种表面不能两面涂不同的颜色。拓扑的不变量和不变量有很多,这里就不介绍了。拓扑学建立后,由于其他数学学科的发展需要,也得到迅速发展。特别是黎曼创立黎曼几何后,他把拓扑的概念作为解析函数论的基础,进一步推动了拓扑学的进步。20世纪以来,集合论被引入拓扑学,开辟了拓扑学的新面貌。拓扑学变成了关于任意点集对应的概念。拓扑学中一些需要精确描述的问题可以用集合来讨论。由于大量自然现象的连续性,拓扑学具有与各种实际事物广泛联系的可能性。通过对拓扑学的学习,可以明确空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系。自20世纪30年代以来,数学家们对拓扑学进行了更深入的研究,提出了许多新概念。比如一致结构、抽象距离、近似空间等概念。数学中有一个分支叫微分几何,用微分工具研究线和面在一个点附近的弯曲,拓扑学研究面的全局关系,所以两个学科之间应该有某种本质的联系。1945年,美国华裔数学家陈省身在代数拓扑和微分几何之间建立了联系,促进了全球几何的发展。到目前为止,拓扑学在理论上已经明确分为两个分支。一个分支侧重于用分析方法进行研究,称为点集拓扑学,或解析拓扑学。另一个分支侧重于代数方法,称为代数拓扑。现在,这两个分支有了统一的趋势。拓扑学广泛应用于泛函分析、李群理论、微分几何、微分方程等许多数学分支。一般来说,拓扑学很难。
别人跟我说数学拓扑学博士很难毕业,这是为什么?拓扑学真的有这么难吗...
真的很难的,不过没有夸张到毕不了业,在很大程度上,研究拓扑学是需要天赋的。拓扑学只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。拓扑学起初叫形势分析学,是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。他在17世纪提出“位置的几何学”(geometria situs)和“位相分析”(analysis situs)的说法。因此...
什么是拓扑学?
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形,形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形,但不许割断和粘合);现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。学科方向 由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性,拓扑学又分成研究对象...
请问什么是数学拓扑学
拓扑学:是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里,重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。拓扑最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科,研究空间、维度与变换等概念。这...
拓扑学是什么
拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。 拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何...
数学中拓扑学,群论,环与域,微积分,抽象代数,数学分析,模等等的关系...
群环域是抽象代数的内容。模是线性空间的推广,一般在研究生代数中学习。如果学过数学分析(或者微积分学的比较严格)就可以学点集拓扑。如果学过高等代数(线性代数)就可以学抽象代数。学了一点点群论和一点点点集拓扑就可以学代数拓扑。微分拓扑的话比较麻烦,需要先学微分流形,而微分流形需要点集...
拓扑学是个什么样的学科?
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支,起初是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。拓扑学的发展历史中,哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是重要的问题。拓扑学的研究对象与方法各不相同,但都关注于连续性在数学中的表现方式与研究方法。拓扑学的研究对象可以是任意...
能否通俗易懂的解释一下,拓补学是什么呢?
总的来说,拓扑学是几何学的一个分支,它关注的是图形的基本连接方式,而非具体的尺寸或比例。欧拉的贡献使得我们能够透过形状的表面,洞察其内在的结构和可能性,这就是拓扑学的魅力所在。深入理解拓扑学,就像解开一个迷宫,揭示出隐藏在复杂图形背后的秘密,这使得它成为现代科学探索中不可或缺的思维...
什么是拓扑学?
拓扑学,这门深奥而魅力无穷的数学分支,如同数学世界中的神秘迷宫,对于初中生来说可能显得遥不可及。然而,如果我们剥去其表面的神秘外壳,其实质却简单而直观。拓扑学,正是那门以最严谨的方式探索数学诸多领域中最基本元素的科学。它的核心概念是围绕着开集和拓扑空间展开的,这些看似抽象的概念,实际...
拓扑学是一门什么学科?
拓扑学是数学的一个分支,主要研究空间的性质和结构。尽管拓扑学在许多领域都有应用,但在工程领域中,它的应用尤为广泛。以下是拓扑学在工程领域的一些实际应用:1. 电子工程:在电子工程中,拓扑学被用于设计和分析电路。例如,拓扑优化可以帮助工程师找到电路的最佳布局,以减少电阻和电感,提高电路的...
拓扑学在数学领域的应用有什么?
拓扑学是数学的一个分支,主要研究空间的性质和结构。它在数学领域的应用非常广泛,以下是一些主要的应用领域:1.几何学:拓扑学为几何学提供了一个全新的视角,使得我们可以从更抽象的角度来研究几何问题。例如,拓扑学可以帮助我们理解和证明一些复杂的几何定理。2.物理学:在物理学中,拓扑学被用来研究...
牟诚欣康:[答案] 最难的课程在很多其他学科里各有各的看法,但是在数学系,往往意见相对统一:实变函数,泛函分析和拓扑学,抽象代数(近世代数)很多同学也认为比较难.这几门应该说是数学系在学完数学分析、高等代数的基础上(基础课程)的提升,算是高...
通化县18814469083: 首都师范大学数学系研究生就业 - ?
牟诚欣康: 首都师范大学其实就是原来的北京师范学院.人生只能一直往前走,不能吃后悔药,既然来到了就安心学吧,三年后情况如何谁也不知道.但三年时间要做好人生规划,有目的增强自己的就业竟争...
通化县18814469083: 请过来人谈谈自学数学(高等数学,如抽象代数、泛函分析、拓扑学等)应注意的事项有哪些? - ?
牟诚欣康:[答案] 高等数学是指对大学数学的一个泛称(相对于中学里面学的初等数学).其它专业的高等数学我不知道是什么内容,工科里面的高等数学涉及到:微积分(数学分析)、常微分方程、解析几何等.而泛函分析、抽象代数、拓扑学是数学专业要学的内容. ...
通化县18814469083: 旅游管理本科考研有什么推荐? - ?
牟诚欣康: 旅游管理专业考研就三个方向比较合适:经济类,管理类,法律类.经济类不考金融专业,其他专业相对好考一些,和金融就业方向也能比较一致.管理类比较好一点的就是会计和企业管理,不过两个专业都不好考(会计和金融考研难度相当).至于法律类就是跨专业,而且跨的比较远.我不知道你的情况就不敢贸然推荐了.至于说你想当老师,那么你肯定要读博士,考虑到你本科比较一般,研究生你要念很好的才行,未来读博士才有保障.现在高校也是严重饱和的状态,想要教书是比较难的,博士查三代,你这本科不是211,其实走这条路压力还是有点大的,当然大专院校会好一点.你可以把你的情况多说一点,我帮你分析分析,我去年上财经济类硕士毕业,对就业和学校还算了解,希望可以帮到你.
通化县18814469083: 偏微分方程,初等数论,概率论与数学统计,复变函数论,拓扑学,微分几何,实变与泛函分析初步哪个难?希望大家能帮忙排下难度. - ?
牟诚欣康:[答案] 以我们数学系的同学感觉 从难到易 拓扑学>实变>泛函>微分几何,偏微分方程>初等数论,概率论与数学统计,复变函数论 逗号表示差不多 但是个别强人会有不同评价,有的人很喜欢拓扑就觉得它不难了,看人的吧 这是一个平均的参考
通化县18814469083: 数学都包括哪些具体的分枝比如说微积分是数学的一个分枝 - ?
牟诚欣康:[答案] 数学原先大致有4个经典的方向,就是算术方向(代表是数论),代数方向(大学里从高等代数,抽象代数开始学起来),几何方向 (从拓扑学,经典微分几何,现代微分几何等开始学起来) ,还有分析方向,(从微积分开始,包括复变函数,实变...
通化县18814469083: 具备自暴自弃心理的人通常有哪些表现?并说说怎样克服这种心理 ?
牟诚欣康: 通常,一个人如果自暴自弃,会有三种情况,如: 1.?极端的拒绝一切.谁说也不... 举个例子:你说他数学差,别人都说他数学很差,突然他变成一个勤奋的人,后来数...
通化县18814469083: 研究生需要上课吗?研究生平时课多吗 ?
牟诚欣康: 你好,我目前就是一名在读研究生,研究生分为博士研究生和说是研究生,就是通常说的博士和硕士.以我们学校来看,博士研究生和硕士研究生在一年级的时候都是要上课的,而且有学分要求,必须达到学分要求才可以,通常课程有特别多,分为必修课和选修课,必修课是大家都必须要上的课,选修课主要根据自己的专业来选择,具体不会要求具体选哪一门,根据自己专业以及老师来确定.最后,研究生一年级的课程对于整个研究生过程特别重要,首先可以认识志同道合的朋友,二是可以认识一些大牛老师,这对于以后的学习科研过程都是特别重要的,所以上课也不能掉以轻心.
通化县18814469083: 请问美国phd要读多久啊,我是本科申请,学数学专业.如果不同学校不一样的话,少要几年,多呢? - ?
牟诚欣康: 同学 你好,我也是本科过来读博的.博士是弹性学制,一般是4年或者5年.视专业不同而不同.不过大多数同学都会延期1-2年毕业,也就是是说读完博士花费5-7年是很正常的.