别人跟我说数学拓扑学博士很难毕业，这是为什么？拓扑学真的有这么难吗？

别人跟我说数学拓扑学博士很难毕业，这是为什么？拓扑学真的有这么难吗？~

真的很难的，不过没有夸张到毕不了业，在很大程度上，研究拓扑学是需要天赋的。
拓扑学只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。拓扑学起初叫形势分析学，是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。他在17世纪提出“位置的几何学”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的说法。

因此，在拓扑学里没有不能拉升、扭转、弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变，这也就是为什么说拓扑最重要的性质就是连通性与紧致性。

什么是拓扑学？

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。总的来说拓扑学很难。

有人告诉我，数学拓扑学博士毕业很难。为什么？拓扑学真的那么难吗？

因为什么是拓扑？拓扑学的英文名是Topology，直译是地理学，即类似于研究地形地貌的相关学科。在中国早期被翻译成“情境几何”、“连续几何”、“一对一连续变换群下的几何”。然而，这些翻译并不容易理解。1956年，统一数学命名法将其确定为拓扑学，是音译。拓扑学是几何学的一个分支，但这个几何学不同于通常的平面几何学和立体几何学。通常平面几何或立体几何的研究对象是点、线、面之间的位置关系及其度量性质。拓扑学与研究对象的长度、大小、面积、体积等度量属性之间的数量关系无关。例如，在通常的平面几何中，将平面上的一个图形移动到另一个图形。如果两个图形完全重合，那么这两个图形称为同余。然而，拓扑学中所研究的图形无论其大小或形状在运动中都是变化的。在拓扑学中，没有不可弯曲的元素，每个图形的大小和形状都是可以改变的。比如前面提到的欧拉解决哥尼斯堡七桥问题时，他画的图形没有考虑它的大小和形状，只考虑了点和线的数量。这些都是拓扑思维的起点。拓扑性质是什么？首先我们引入拓扑等价，这是一个很容易理解的拓扑性质。拓扑学中不讨论两个图之间的同余的概念，而是讨论拓扑等价的概念。比如圆、正方形、三角形虽然形状大小不同，但都是拓扑变换下的等价图形。左图中的三个东西在拓扑上是等价的，换句话说，从拓扑学的角度来看是完全一样的。在一个球面上选择一些点，用不相交的线连接起来，这样球面就被这些线分割成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍与原数相同，这就是拓扑等价。一般来说，对于任意形状的封闭曲面，只要曲面不被撕裂或切割，其变换就是拓扑变化，存在拓扑等价。需要指出的是，torus不具备这种性质。比如左图所示，如果把圆环体切开，就不会分成很多块，而是变成一个弯曲的桶形。在这种情况下，我们说球面在拓扑上不能变成环面。所以球面和圆环面在拓扑学上是不同的曲面。一条直线上的点与线之间的组合关系和序列关系在拓扑变换下不变，这是一种拓扑性质。在拓扑学中，曲线和曲面的封闭性质也是拓扑性质。我们平时说的平面和曲面，通常都是有两面的，就像一张纸有两面一样。但是德国数学家莫比乌斯(1790 ~ 1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种表面不能两面涂不同的颜色。拓扑的不变量和不变量有很多，这里就不介绍了。拓扑学建立后，由于其他数学学科的发展需要，也得到迅速发展。特别是黎曼创立黎曼几何后，他把拓扑的概念作为解析函数论的基础，进一步推动了拓扑学的进步。20世纪以来，集合论被引入拓扑学，开辟了拓扑学的新面貌。拓扑学变成了关于任意点集对应的概念。拓扑学中一些需要精确描述的问题可以用集合来讨论。由于大量自然现象的连续性，拓扑学具有与各种实际事物广泛联系的可能性。通过对拓扑学的学习，可以明确空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。自20世纪30年代以来，数学家们对拓扑学进行了更深入的研究，提出了许多新概念。比如一致结构、抽象距离、近似空间等概念。数学中有一个分支叫微分几何，用微分工具研究线和面在一个点附近的弯曲，拓扑学研究面的全局关系，所以两个学科之间应该有某种本质的联系。1945年，美国华裔数学家陈省身在代数拓扑和微分几何之间建立了联系，促进了全球几何的发展。到目前为止，拓扑学在理论上已经明确分为两个分支。一个分支侧重于用分析方法进行研究，称为点集拓扑学，或解析拓扑学。另一个分支侧重于代数方法，称为代数拓扑。现在，这两个分支有了统一的趋势。拓扑学广泛应用于泛函分析、李群理论、微分几何、微分方程等许多数学分支。一般来说，拓扑学很难。

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