折纸:2018年理数全国卷A题18:用勾股定理求解
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【解答问题1】
∵ 四边形 为正方形, 分别为 的中点,
∴ , 是矩形,
又 ∵ , ∴ 平面
又 ∵ 平面 ,
∴ 平面 平面 . 证明完毕.
【解答问题2】
令 .
在平面 内作 , 点 为垂足.
在平面 内作 , 点 为垂足.
根据前节结论, 平面 ,而 平面 , ∴
又∵ , ∴ 平面
又∵ , 根据三垂线定理可得: , 是直角三角形;
∵ 分别为 的中点,∴
根据三角形的相似关系可知:
, ,
∵ , 根据勾股定理可得:
又 ∵
∴ 与平面 所成角的正弦值
【提炼与提高】
折纸类问题,既考立体几何,又考平面几何;是高考中常用的命题模式.
本题第1问,由线线垂直推出线面垂直,再由线面垂直推出面面垂直,体现了转化的思想。在立体几何中是很典型的做法。
第2问待求量为线面角的正弦,我们用几何方法解答,首先找出点 在平面 内的投影,然后根据三角形的相似关系算出了 长度,问题就解决了. 在这个过程中直到关键作用的是如下知识:
『三垂线定理』
平面几何:『相似三角形的判定及性质』
本题中出现了几个特殊的直角三角形,三边比等于 ;这个三角形在高考数学和高考物理中经常出现,详见下文:
初高中衔接讲座:正方形内的直角三角形
四个面都是直角三角形的四面体有个专门的名字:鳖臑. 本题中出现了两个鳖臑: . 这点也请留意一下.
本题第2问还有一种解法,就是用体积公式来完成计算。详见下文:
折纸:2018年理数全国卷A题18:用体积公式求解
2018年的天干理数 地支理数 月份理数
2018年的天干理数 ——戊,地支理数——戌。月份理数——正月甲寅,二月乙卯,三月丙辰,四月丁巳,五月戊午,六月己未 ……
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戊戌年 月 正二三四五六七八九十 十一 十二月 天干 甲乙丙丁戉己庚辛壬癸甲乙 地支 寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑
立体几何复盘:如何解答二面角问题
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