如何求微分方程的特征方程和通解？

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二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

举例

求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。

第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齐次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。

又λ=3是特征方程的一个根，因此设非齐次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解为：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。

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万载县18954315570： 如何求微分方程特征方程 - ？
仰生门冬：[答案] 如何求微分方程特征方程: 如 y''+y'+y=x(t) (1) 1,对齐次方程 y''+y'+y=0 (2) 作拉氏变换, (s^2+s+1)L(y)=0 特征方程:s^2+s+1=0 2,设齐次方程通解为:y=e^(st),代入(2) (s^2+s+1)e^(st) = 0 e^(st)不恒为0,只有: s^2+s+1 = 0 此即特征方程. ...

万载县18954315570： 微分方程的特征方程怎么求的 - ？
仰生门冬： 二阶常系数齐次线性方程的形式为:y''+py'+qy=0其中p,q为常数,其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号,其通解有三种形式: 1、△=p^2-4q>0,特征方程有两个相异实根λ1,λ2,通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]; 2、△=p^2-4...

万载县18954315570： 微分方程的特征方程怎么求的? - ？
仰生门冬：[答案] 例如二阶常系数齐次线性方程的形式为:y''+py'+qy=0其中p,q为常数,其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号,其通解有三种形式:\x0d1、△=p^2-4q0,特征方程有两个相异实根λ1,λ2,通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)...

万载县18954315570： 微分方程y'' - y' - 2y=0的通解怎么求 - ？
仰生门冬：[答案] 先求特征方程:a^2 +a-2=0 解为1,-2 有特解 e^x e^(-2x) 通解为:y= C1 e^x +C2 e^(-2x)

万载县18954315570： 求微分方程的通解特解 - ？
仰生门冬： 1,通解为x^2+c,(c为任意常数) 2,首先要使解满足微分方程,求出通解,然后再令y(1)=1+ln2,求出c来,就可以了.答案选c

万载县18954315570： 求微分方程通解! - ？
仰生门冬：[答案] 设y=e^(ax+b)则y'=ae^(ax+b)y''=a^2e^(ax+b)0=y''+2y'+5y=e^(ax+b)[a^2+2a+5]这就是特征方程0=a^2+2a+5的来历特征方程a^2 +2a+5=0有共轭复根-1+2i,-1-2i所以通解为y=e^(-x) (C1cos2x+C2sin2x)...

万载县18954315570： 求微分方程的特解或通解 - ？
仰生门冬： 解:∵xy'-y-√(x²+y²)=0==>xdy-ydx-√(x²+y²)dx=0==>(xdy-ydx)/x²-√(1+(y/x)²)dx/x=0 (等式两端同除x²)==>d(y/x)-√(1+(y/x)²)dx/x=0==>d(y/x)/√(1+(y/x)²)-dx/x=0==>∫d(y/x)/√(1+(y/x)²)-∫dx/x=0==>ln│y/x+√(1+(y/x)²)│-ln│x│=ln│C│ (C是常数)==>[y/x+√(1+(y/x)²)]/x=C==>y+√(x²+y²)=Cx²∴原方程的通解是y+√(x²+y²)=Cx².

万载县18954315570： 微分方程的通解求法麻烦给列下都有哪几种.跟大概的过程. - ？
仰生门冬：[答案] 二阶常系数齐次线性微分方程解法: 特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法. 设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1,r2. 1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x) 3 若有一对共轭复根(略)

万载县18954315570： 非线性齐次微分方程的特解怎么求的?? - ？
仰生门冬： 把y=Cxe^(-x)的一阶导数与二阶导数代入非齐次方程,求得C=-2.这个求导的过程一般不用完全写出来,只写代入方程后得到的等式即可

万载县18954315570： 求微分方程y″ - y′ - 3y=0的通解? - ？
仰生门冬：[答案] 这是二阶常系数齐次微分方程,特征方程为:x^2-x-3=0,解得特征根为:(1+-根号3)/2,所以通解为y=c1e^(1+根号3)/2x+c2e^(1-根号3)/2x