绝对高分200 希望大家能够帮助我度过难关！函数奇偶性！！在下感激不尽！！希望每道题都有过程！！

过在501关就过不去了希望您可以帮助我，因为那道题都是字母，跟本无法过~

很多朋友们在玩这个游戏的时候都遇到了这样的问题，到第501关的时候，都知道答案是一知半解，但是就是不知道怎么解答，图片下面全是字母，拼音也不全，花金币点提示也没有用。出现这样的情况应该是游戏的bug，只能等待官方解决。

一般的，如果对于函数f（x)的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数

1、g(x)=ax^3+bx^2+cx=x(ax^2+bx+c)=xf(x)
g(-x)=(-x)f(-x)=-xf(x)=-g(x),故g(x)是奇函数。
2、因为y=f(x)是偶函数，有f(x)=f(-x).
则f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x。
3、令f(2)=2^5+a2^3+b2-8=g(2)-8=10,
解得g(x)=18.
f(-2)=-(2^5+a2^3+b2)-8=-g(2)-8=-18-8=-26.
4、奇函数过原点且关于原点对称，因此2、4是奇函数。
5、依题意，对于f(x),有当-1<x<1时,f(x)>0.
要使f(2-x)>0,那么-1<2-x<1。
求解，有-3<-x<-1，1<x<3。
当x=2时，f(2-2)=f(0)>0,所以楼上求解的2>x>1或2<x<3是错误的。
6、（1）先强调，不论f()的括号里是什么字母，什么符号，始终是同一个函数。
用反证法证明。
设f(x)存在且是奇函数，
f(-(x+y))=f(-x-y)=f((-x)+(-y))=f(-x)+f(-y),
由于它是奇函数，
故f(-x)+f(-y)=(-f(x))+(-f(y))=-(f(x)+f(y))=-f(x+y)，
由奇函数定义可知，f(x)是奇函数。
（2）f(-12)=4f(-3)=4a.

做题的时候，只要题目提到奇（偶）函数，首先从他们的性质出发列出相应的式子，只要题目给出函数，如f(2)=a这样的条件，直接写出f（2）的表达式，在把上述列出来的式子与所求结果进行对比，很容易找到解题突破口，

第一：
① a=0时， f(x)=bx+c (c≠0)
i) b=0时 f(x)=c 为偶函数 则g(x)=cx=-g(-x) 为奇函数
ii）b≠0时 f(x)=bx+c 为奇函数 不满足题意
② a≠0时 二次函数f(x)=ax²+bx+c 若为偶函数 则b=0，
此时g(x)=ax^3+cx=- g(-x), g(x)为奇函数
由①②知g(x)为奇函数

第二：
令x<0，则 -x>0，∵ 且当x≥0时，f(x)=x²-2x
∴f(-x)=x²+2x, 函数y=f(x)是R上的偶函数 ∴ f(-x)=f(x)
∴f(x)=x²+2x
f(x)在R上的解析式是 f(x)=x²-2x (x≥0), f(x)=x²+2x (x<0)

第三：
f(2)=2^5+a2^3+2b-8=10 ∴2^5+a2^5+2b=18
f(-2)=-2^5-a2^3-2b-8=-(2^5+a2^5+2b)-8=-26

第四：
令y=g(x)
①g(-x)=|f(-x)|≠-g(x)，不为奇函数
②g(-x)=-xf((-2)^2)=-xf(x^2)=-g(x),为奇函数
③g(-x)=-f(x)≠f(-x)≠-g(x),不为奇函数
④g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),为奇函数

第五： （结合函数图象，不难做！）
f(x)在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增
f(2-x)＞0=f(1)=f(-1)
i）2-x>0 ①
2-x<1 ②
则1<x<2
ii）
2-x<0 ①
2-x<-1 ②
则：x>3
综上：1<x<2 或x>3

第六：
i）令 x =y=o, f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0 ①

令y=-x， f(0)=f(x)+f(-x) , f(x)=-f(-x) ②
由①② f(x)为奇函数

ii）f(12)=f(3+9)=f(3)+f(9)=f(3)+f(3+6)=2f(3)+f(6)=2f(3)+f(3+3)=4f(3)=-4f(-3)=-4a
数学最难得还是定义，其次才是计算，把定义弄好就OK！

1.奇函数 f(x)=f(-x)可知b=0 带入可知g(-x)=-g(x)
2.当x<0,则-x>0,则f(x)=f(-x)=x²+2x 故当x≥0时，f(x)=x²-2x，当x<0时,f(x)=x²+2x
3.f(x)+8=x^5+ax^3+bx ，f(x)+8是奇函数，-(f(x)+8)=f(-x)+8,即f(-x）=-f(x)-16=-26
4.第二个，第四个必是奇函数 用f(-x)=-f(x）来判断
5.当x>0,因f(x)在（0，+∞）上单调递减，又f(1)=0，则0<2-x<1即1<x<2
当x<0,可知此时f(x)为增，且f(-1)=0,0>2-x>-1即x<1 2<x<3
综上 1<x<2 ，2<x<3
6.(1)当x=y=0时，f(0)=0
当y=-x时，f(0)=f(x)+f(-x)=0 所以f(x)为奇函数

(2)f(3-3)=f(3)+f(-3)=0 f(3)=-a
f(6)=f(3)+f(3)=-2a
f(12)=f(6)+f(6)=-4a

关于考试方法之类的就是多看看书，我觉得最重要最基础的就是弄清楚定义，比如奇函数偶函数 就是要深刻了解定义，多思考，一定要了解概念和定理的具体内涵，然后再结合习题练习看看例题，就OK了～加油！数学是要慢慢积累的。

定义：奇函数f(-x)=-f(x)；偶函数f(-x)=f(x)。
做这种类型的题目一定要抓住定义

例如第一题 已知函数f(x)是偶函数，根据定义“偶函数f(-x)=f(x)”
则f(-x)=a(-x)^2+b(-x)+c=f(x)=ax^2+bx+c，算一下b=0
那么g(x)=ax^3+bx^2+cx=g(x)=ax^3+cx，很明显g(x)是奇函数

ax^n n是奇数，ax^n是奇函数：n是偶数，ax^n是偶函数

同时要记住奇函数过原点
所以在解第6题时先令x=y=0,得到f(0)=0，然后根据定义奇函数f(-x)=-f(x)
令y=-x，f(0)=f(x)+f(-x)=0，变形得f(-x)=-f(x)救证明了f(x)是奇函数

函数奇偶性的题目基本上都要遵循定义和几个特征的函数来解决，解题时要注意逆向思维，若题目让你证明某函数是奇函数，那就去找0点，在用定义。

数学问题都要经过大量的练习，熟能生巧，多做题，多看看解题前的分析，会有帮助，希望你能尽快掌握这类的题型！

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c(c不等于0）是偶函数，则g(x)=ax^3+bx^2+cx是什么函数。是奇函数。

2.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的解析式是：f(x)=x2-2|x|
3.这种类型题困扰我好久啦！！！ 函数f(x)=x^5+ax^3+bx-8且f(2)=10，求f(-2)=？
g(x)=x^5+ax^3+bx是奇函数，
f(x)=g(x)-8,f(2)=g(2)-8=10
g(2)=18,g(-2)=-18
f(-2)=g(-2)-8=-26

4.设函数f(x)在（-∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=|f(x)|:②y=xf(x^2) ③y=-f(-x)④y=f(x)-f(-x) 中必为奇函数的是？
2,4必是奇函数

5.设函数y=f(x)是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且f(x)在（0，+∞）上单调递减，又f(1)=0,则不等式f(2-x)＞0的解集为？
如果2-x>0,不等式变成f(2-x)＞f（1），且f(x)在（0，+∞）上单调递减
得出2-x<1，所以x>1,合起来，2>x>1

如果2-x<0,不等式变成f(2-x)＞f（-1），且f(x)在（-∞,0）上单调上升
得出2-x>-1，所以x《3,合起来，2<x<3

综合之，2>x>1或2<x<3

6.已知函数f(x)对于一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)
⑴求证f(x)是奇函数（2）若f(-3)=a,用a表示f(12)

x=y=0代入
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
f(0)=0
x=-y代入
f(0)=f(x+y)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)是奇函数
f(6+6)=2f(6)=2{f(3+3)}=4f(3)=4(-f(-3))=-4a

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