地下水管理模型

地下水管理和管理模型~

1.地下水管理
管理是指为了达到既定目的而实施的措施。对于地下水管理来讲，不同的研究者有着不尽相同的认识。Todd指出：地下水管理是指为一定目的而对地下水开发利用的一个计划，这种目的通常具有社会或经济属性。一般地下水管理所追求的目标是以最低的费用得到满足一定水质要求的地下水量［34］。Beer认为，地下水资源系统的管理，无论是单独的还是与地表水联合的，都是通过作出有关该系统开发和（或）运营一组决策（或政策）来达到确定的目的［35］。许涓铭等将地下水管理定义为“在一定的约束条件下，通过对某些决策变量的操纵，使系统按既定的目标达到最优”。林学钰等认为：“地下水管理是和地下水的存储、传输和抽取的合理规划和利用有关的地下水盆地（系统）的管理活动”［36］。简言之，地下水管理就是为了达到既定的目标，对地下水系统可控输入进行的控制和操作。
地下水管理的根本目的就是合理开发利用和保护地下水资源，使有限的地下水资源发挥最佳的社会、经济和环境效益，达到社会、经济可持续发展和地下水资源永续利用的目的。
2.地下水管理模型及其组成
地下水优化管理是指以科学、合理和最优的决策来满足既定目标，或使目标达到最优值。地下水管理模型就是运用运筹学方法建立的求解地下水最优管理决策的一类数学模型。其一般形式为：

华北煤田排水供水环保结合优化管理

式中：X为决策变量向量；φ为地下水系统的状态变量；Z1，Z2，…，ZL为L个目标函数，Zi=fi（X，φ），这些目标可以是水力的、环境的或经济的；Z为目标向量函数，Zi=fi（X，φ）；gi（X，φ）=0为第i个约束条件，i=1，2，…，m。
由以上表达式可知，地下水管理模型由决策变量、目标函数和约束条件三部分组成。决策变量是为达到系统目标而对系统进行的控制和操作。目标函数是管理者或决策者追求系统目标的数学表达式，针对不同的管理问题，有不同的目标函数及其表达式。目标函数主要有经济、水力、环境和多目标等。约束条件即地下水系统管理决策的限制和制约因素的数学表达式，通常用等式或不等式表示。
3.地下水管理模型分类
根据不同的分类准则，可对地下水管理模型进行分类，以便运用相应的方法求解模型。
（1）按地下水系统的参数形式分
（2）按解决问题的性质分
（3）按模型是否为线性结构分
（4）按系统目标多少分
（5）按系统的随机性分
如果决策变量和状态变量与空间位置有关，则称为分布参数地下水管理模型。建立这类模型必须要把地下水分布参数模拟模型耦合到管理模型中，因而使模型变得比较复杂。其建模方法和算法研究是当前地下水管理模型研究的重点和难点。
4.地下水优化管理发展历史
Todd在他的经典论著《Ground Water Hydrology》中明确提出了地下水管理的概念［37］。20世纪60年代以来，迅速发展起来的地下水数值模拟模型大大推进了地下水定量化研究。根据模型研究程度、研究内容及使用的方法等，水资源管理模型的研究过程大致划分为以下4个阶段：①模型理论探索阶段（20世纪50～60年代）、②模型理论发展及成熟阶段（20世纪70年代）、③模型推广应用阶段（20世纪80年代）、④模型实用性研究阶段（20世纪90年代至今）。
20世纪50～60年代的水资源管理，主要是提出一些设想，探索经济目标、工程分析与政府决策间的关系，始于美国、日本，继而加拿大、以色列、荷兰等国。如Banks指出了地下水-地表水联合运用会产生经济效益；Todel指出，地下水-地表水联合使用要比单独使用更为可靠；Cashe和Lindedory应用线性规划分配两个农业区的地下水和地表水；Baras和Burt把动态规划用于地下水-地表水联合调度；美国经济学家Leontief对美国西部各州各产业部门的水资源供需问题进行经济研究，建立了投入产出分析与水资源优化管理模型等。这一阶段主要是将地下水系统作为集中参数系统来处理，使用的数学方法主要是数学规划。其中许多研究机构将现实含水层按比例缩小建立了地下水的物理模型，也就是实体模型或砂箱模型，这种模型比较直观，便于实验和观测，容易为人们接受，但局限性很大，仅适用于含水层结构简单的情况。
20世纪70年代，将描述地下水状态的数值模拟模型与优化技术结合起来，形成分布参数地下水管理模型。第一个地下水管理模型由Deninger建立，Wattenbarger通过有限差分模拟，应用响应矩阵法建立了含水层-河流系统的管理模型，实现了地下水和地表水的宏观调控［38］。Maddock在泰斯非稳定井流公式的基础上，应用线性原理和格林函数，推导出承压含水层多井、多时段抽水降深响应函数的表达式，提出了建立大规模地下水水力管理模型最有效的方法——响应矩阵法［39］。而Aguado和Remson首次将地下水数值模型与线性规划联立，明确提出了建立地下水水力管理模型的嵌入法［40］。20世纪70年代到80年代初，国外以研究地下水水力管理模型为主，并提出了完善的理论和实用的建模方法，Gorelick对分布参数地下水管理模型，特别是水力管理模型进行了综述［41］。Yeh、Bredehoeht等和Wagner分别对分布参数地下水管理模型中的供水模型、政策评价和分配模型以及模拟-优化模型进行了详述和总结［42～44］。70年代早期建立的模型，主要考虑的是地下水含水层本身的特性以及与地表水的转换关系，很少考虑社会效益、经济效益和环境效益，管理模型的目标函数多是单目标，在此期间出现的模型中，有较典型的物理模型与数学模型相结合的网络模型；70年代后期，出现了多目标管理模型，较全面地考虑了水资源系统的特征和社会、经济、环境等因素的联合优化问题。
20世纪80年代，水资源管理模型在世界范围内得到了广泛的推广应用，在美国、日本和印度等国家都建立了大量的水资源管理模型。80年代早期，主要是以大区域的水量管理为主；80年代后期，小范围内的水质和经济管理模型开始增多，目标函数有水量、水位、成本或效益。如美国的Jones以运行成本最小为目标函数的“使用差分动态规划优化控制非线性地下水系统”的地下水管理模型，提出应用差分动态规划解大规模非线性地下水的理论和方法。我国于20世纪80年代中后期开始地下水管理模型的研究与应用工作，公开发表的论著见林学钰和焦雨著《石家庄市地下水资源的科学管理》，许涓铭等系统论述了建立分布参数地下水水力管理模型的基本理论和方法［43～51］。这一阶段，我国几乎所有以地下水为主要供水水源的大城市，针对不同的问题，都建立了地下水管理模型，如石家庄、西安、哈尔滨、长春、济南、包头等。一些典型地区也建立了区域地下水管理模型，如河北平原、河西走廊、柴达木盆地等。这一研究大大推进了我国地下水科学管理的进程，但由于当时建模所考虑的因素多为水力要素，模型结构也比较简单，多归结为求解线性规划问题，大大限制了模型的实用性和可操作性。
20世纪90年代模型的特点主要表现在水资源管理模型的目标函数除了普遍考虑经济目标之外，水质、环境和社会目标也在不同的管理模型中可见，并且随机性的水质管理模型明显增多。如Culver和Shoemaker通过微分动态规划并运用Quasi-Newton近似法，建立有限元地下水水质模拟模型，为污染含水层的再利用确定不同时期的最优抽水方案。从已建模的数量上看，以地下水管理模型居多，国内比较有代表性的如谢新民发表的“地下水资源系统经济管理模型研究”，利用工程经济学原理和技术，对规划方案进行工程经济分析，根据影子价格，提出制订供水价格的方法［52］。从使用的数学方法上看，随着协调对策论的不断发展和应用，将会使水资源管理模型的研究取得新的进展，从而提高决策方案的利用率。在方案的评价和优选中，将更多地采用决策分析的方法，并从以前的趋势性、确定性评价方法逐步转向随机性和模糊性的评价方法，希望摆脱响应矩阵法对线性条件的限制，发展非线性的解法。不过目前地下水与地表水联合管理的模型耦合中，还是响应矩阵法使用较多。随着可持续发展理论的引入、人们对环境问题的重视以及运筹学算法的进展，地下水管理模型无论从管理的内容还是建模方法上都有了很大的发展，国内外学者都致力于研究更实用的地下水管理模型，在研究内容上更多地涉及社会、经济、环境等因素，在模型结构上以多目标和非线性为热点和难点问题。
5.发展趋势
20世纪80年代中后期以来，随着人们对环境问题的重视和可持续发展思想的影响，对地下水的开发利用越来越多地综合考虑社会、经济、环境等制约因素，所建立的管理模型更多地体现了社会、经济、环境协调发展的原则。计算机以及求解管理模型的数学规划算法的进展，也促进了管理模型的发展。从模型的研究内容上分析，主要集中在地表水-地下水联合调度、地下水量-水质综合管理、地下水经济管理模型的研究上；从模型结构上分析，多目标、大系统、多级优化、非线性、随机、动态和智能化管理模型是当前及今后研究的重点和难点。

1.2.5.1 地下水管理程序（GWM）
地下水管理程序（Ground-Water Management Process），简称GWM，它是基于USGS（美国地质调查局）的三维地下水模型MODFLOW-2000的地下水管理程序［101］。该程序由马萨诸塞州大学的Ahlfeld DP和伍兹霍尔海洋研究所（WHOI）的Barlow PM和Mulligan AE共同研制开发。GWM采用响应矩阵法将地下水流模拟模型和地下水优化模型耦合，并提供了单纯形法、序列线性规划以及分支定界法供用户来分别解决线性、非线性和0-1混合线性的地下水管理模型。
1.2.5.2 地下水资源优化管理系统软件（REMAX）
地下水资源优化管理系统软件（REMAX）是由国际灌溉中心和美国科学软件公司联合开发研制而成的，得到了美国政府的支持和保护，在美国具有很大的权威性，是目前国际上地下水资源优化管理系统软件中功能较为强大的优秀专业软件之一［102］。该系统软件是在地下水数值模拟软件MODFLOW基础上，在DOS环境下开发研制出的地下水三维流优化管理系统软件，基于Windows环境下运行的版本目前已经问世。
1.2.5.3 优化模型（MODMAN）
优化模型MODMAN是由HIS Geo Trans公司开发的［103］。MODMAN把三维地下水计算模型MODFLOW与优化方法有机结合，把地下水管理问题转换成线性规划问题（LP）或混合整数规划问题（MIP），在考虑最大开采量等目标函数和一系列约束条件下，确定开采井位置、最优抽水量等。

地下水管理模型是应用系统分析原理，为达到某既定管理目标所建立的优化决策数学模型。通常，它是由地下水系统的状态模拟模型（如地下水流模拟模型、地下水溶质模拟模型）和优化模型耦合而成。这样组成的地下水管理模型，可以在寻求最优决策的运转过程中严格服从地下水的运动规律，实现水文地质概念模型的仿真要求。

一、地下水管理模型概述

（一）地下水管理模型的数学表达式

地下水管理模型的数学表达式，一般由目标函数和约束条件两部分组成：

目标函数

现代水文地质学

约束条件

现代水文地质学

式（10-1）为目标函数，它以数学表达式来表示管理目标，它可取极大值或极小值。当式中k=1时，为单目标管理问题；当k＞1时，为多目标管理问题。

上两式中的x_j（j=1，2，…，n）为决策变量。

式（10-1）和（10-2）表示在满足式（10-2）中各约束条件下，求得目标函数的每个决策变量x_j的值，并使目标函数达到极大（或极小）。

（二）地下水管理模型的组成

1.决策变量

通过操纵可控变量，对地下水系统进行调配，并使系统的目标最终达到最优。该可控变量称为决策变量。对于地下水管理，可能的决策变量有：

（1）抽水量在空间和时间上的分布；

（2）人工补给量在空间和时间上的分布；

（3）与含水层有联系的地表水体的水位；

（4）所开采地下水的水质；

（5）地下水人工补给水源的水质；

（6）新增加的抽水井和人工补给设施的出水能力和补给能力及其所在地点和使用时间等。

在实际工作中，可根据具体的管理目标和当地的水文地质条件，选取决策变量。

2.目标函数

在地下水资源管理中，每一个问题都有一个明确的目标。这个目标以决策变量的函数式来表达，称为目标函数。目标不同，目标函数也不同。问题的解决可以是使目标函数达到极大值或极小值。最常用的目标函数如下：

（1）使供水系统在运行期内所得的净利润的总值，这一目标函数达到极大值；

（2）使单位体积水的供水成本（或开发水资源投资），这一目标函数达到极小值；

（3）使某些和水资源利用密切相关的部门的工农业总产值，这一目标达到最大值；

（4）为控制地下水位持续下降，寻求管理区内各结点水位总降深，这一目标函数的最小值，或采用人工回灌时，求区内地下水位回升，这一目标函数的最大值；

（5）实际水位和规定水位的拟合程度，通常用水位差的平方和或水位差的绝对值的总和来表示，并作为目标函数，求其极小值；

（6）在规定的降深条件下，求出水量极大值；

（7）求通过污水处理和地层自净后的再生水排放量，这一目标函数的极大值，或求含水层中地下水所受污染程度这一目标函数的极小值，等等。

3.约束条件

在地下水管理工作中，解决每一个问题时都要受到一定条件的约束。它常用决策变量的数学表达式表示，称为约束条件。通常，约束条件不止一个，在线性规划模型中，常用一组决策变量的线性等式或不等式表示。常见的约束条件有：

（1）均衡约束：多以地下水流状态方程或联合地下水溶质运移方程作为水均衡约束的等式约束条件。其目的在于保证地下水管理模型在寻优过程中必须服从地下水运动的客观规律。

（2）水量约束：例如，管理区内用水量之和不得大于当地总供水量指标（包括由外区引进的水量）；补给地下水的回灌量之和不得大于可提供的总回灌水量和补给设施的补给能力；抽水量不得超过抽水设备的出水能力；管理区内的开采量要保证满足当地工农业和生活用水的需求等。

（3）水质约束：包括按不同供水（人工补给）目的，在抽出的地下水中的某（些）化学组分和物理性质不得超过相应的水质标准的约束，以及污水排放的水质限制约束等。

（4）水位约束：包括为防止、控制和改善管理区内各种环境地质问题，如水位持续下降、含水层疏干、泉水量减少或断流、地面沉降、海水入侵、水质恶化、土壤盐碱化、盐渍化等产生和发展的地下水位升、降数值的限定约束。

（5）经济约束：例如，区内的水资源分配必须保证工农业总产值达到规划要求，保证开发水资源投资不超过预算标准等。

根据不同的具体情况，可以取以上各项中有关的项目作为约束条件。此外，还可能有社会经济等约束条件，在此不一一列举。

（三）地下水管理模型的分类

目前常用的地下水管理模型如下。

1.根据地下水系统的参数分布形式划分

（1）集中参数系统管理模型——主要用于地下水系统的宏观规划和控制。

（2）分布参数系统管理模型——主要用于水文地质研究程度较高的地区，进行具体的地下水资源调配和管理。

2.根据系统的状态和时间的关系划分

（1）稳态管理模型——模型的状态变量不随时间而变化。

（2）非稳态管理模型——模型的状态变量是随时间变化的函数。

3.根据系统的管理目的划分

（1）水力管理模型——以地下水和地表水的水力要素为主要的状态变量和决策变量而建立的管理模型，主要用于解决水量分配和水位控制问题。

（2）水质管理模型——主要用来解决地下水水质管理和污染控制问题而建立的管理模型。通常，水力模型是其重要组成部分。

（3）经济管理模型——更多地考虑了有关的经济因素（如成井经费，修建地表或地下水库的费用，设备及设施的折旧费等），而水力模型和水质模型常是该模型中的一个组成部分或是其子模型。

4.根据系统管理问题的目标个数划分

（1）单目标管理模型——当水资源优化决策过程中所追求的目标为单一目标时，所建立的管理模型。

（2）多目标管理模型——当水资源优化决策过程中所追求的目标为多个目标时，所建立的管理模型。

在实际工作中，可根据研究课题的任务、目标以及实际资料所能提供的研究条件来选择管理模型的种类。

地下水管理模型是一种耦合模型，它常是地下水流或溶质运移的模拟模型和优化管理模型相耦合的模型。可按其模型的类型，采用相应的优化规划法求解。

求解地下水管理模型的方法很多，最常用的优化规划方法有线性规划、动态规划、非线性规划和多目标规划以及遗传算法等，有关这些方法的实质可参阅有关参考书，不在此详述。

下面以目前应用最广的地下水分布参数系统的管理模型为例，加以介绍。

二、分布参数系统地下水管理模型

地下水分布参数模型，由于可模拟系统内不同时间和各空间点上的地下水状态，从而大大提高了管理模型的精度及实用性。如前所述，地下水管理模型是一种耦合模型，分布参数系统地下水管理模型用分布参数来描述地下水系统内地下水流（或溶质分布）状态，并作为一组约束条件与优化模型耦合，最终形成地下水管理模型。目前，实现耦合的方法有两种，即响应矩阵法（Response Matrix Approach）和嵌入法（Embedding Approach）。现分别介绍于下。

（一）响应矩阵法

根据线性系统原理，地下水降深是开采量与地下水降深响应系数的卷积积分。它表达了地下水系统内脉冲（开采量或注水量）与响应（地下水位升、降）之间的关系。其中，响应系数常以矩阵形式表达，并作为优化管理模型中的一组约束条件，以实现与优化模型的耦合，故称为响应矩阵法。

1.叠加原理（principle of superposition）

叠加原理就是，若φ₁=φ₁（x，y，t）和φ₂=φ₂（x，y，t）分别为非齐次线性偏微分方程L₁（φ）=f₁和L₂（φ）=f₂的通解，则其和（φ₁+φ₂），或者一般地为φ₁、φ₂的任意线性组合：

现代水文地质学

（式中C₁、C₂为任意常数）也是非齐次线性偏微分方程L（φ）=f₁+f₂的一个解。

L表示一线性算子。如描述二维承压含水层系统中的线性算子可写为：

现代水文地质学

对于初边值条件为非齐次的定解问题，如：

现代水文地质学

则叠加原理可将此问题分为二个问题：

现代水文地质学

和

现代水文地质学

定解问题式（10-4）的解φ₁与式（10-5）的解φ₂之和φ=φ₁+φ₂，即为定解问题式（10-3）的解。式中，h为承压水头；T₁，T₂为导水系数；S为贮水系数；Г₁为一类边界。

因此，利用叠加原理可以把一个问题分解为几个求解较简单的子问题来解决。在地下水流问题中，由几个分散而同时单独工作的源或汇对某点（或某一地区）产生作用的代数和，等同于各源或汇同时共同作用的效果；若干单个边界对计算区内地下水位作用之和，等同于总边界的综合作用结果。

如果描述含水层中地下水流的数学方程为线性式，则为线性地下水系统，它满足叠加原理。潜水地下水系统为非线性系统，方程需经过线性化后，才能应用叠加原理解决地下水流问题。

2.响应函数的建立

对于一个具有齐次初边值条件的线性地下水流系统，在给其中某些源或汇施加脉冲后，在系统中某一点产生的水位总响应，可以由各源或汇单独施加脉冲对该点所产生的响应的代数和求得。这里，脉冲是指为激发某一地下水系统内状态变化而加的输入，即地下水抽（或注）水量；响应就是在系统中施加脉冲后，系统状态发生变化而产生的输出，即地下水水位变化（水位降深或回升值等）。

在线性系统中，响应与脉冲的关系可用卷积积分的形式表达；

现代水文地质学

式中：S（u，u_j，t）——t时刻以前在u_j点施加脉冲Q（u_j，τ）时，在u点产生的响应值［L］；

Q（u_j，τ）——在τ时间段内作用于u_j点的地下水脉冲量［L³/T］；

β（u，u_j，t-τ）——单位脉冲的响应系数，表示由于在τ时间段内，在u_j点施加单位脉冲值时，在t时刻对u点产生的响应值［T/L³］；

u，u_j——分别表示二维空间坐标（x，y）和（x_j，y_j）［L］；

t——时间坐标［T］。

式（10-6）称为地下水响应函数，又有人称之为代数技术函数（Algebraic technological function）。

为了求解地下水位响应函数，对式（10-6）进行离散后，就得到了下列方程式：

现代水文地质学

式中：S（i，j，n）——由于第j点脉冲的作用，在第n时段末刻第i点的水位响应［L］；

β（i，j，n-k+1）——由于第j点在第k时段内单位脉冲的作用，在n时段末刻第i观测井（点）的平均响应，即单位脉冲响应系数［T/L²］；

Q（j，k）——第k时段第j井（点）的平均脉冲量［L³/T］。

式（10-7）以线性方程的形式表达了地下水系统中脉冲和响应的关系。

如果在渗流场中，有N个源（或汇）点同时抽（或注）水，对M个观测点（或井）的作用，就在一个时段内形成M×N个单位脉冲的响应系数，称为响应矩阵。如果有L个时段，则形成M×N×L的三维响应矩阵，此时，在第N时段末刻对第i点产生的水位总响应（降深或回升）值等于每个井在该时段以前单独作用的总结果（总和）。即有：

现代水文地质学

式中：S（i，n）为第n时段末刻，第i点的水位总响应，其他符号意义同前。

因此，如果求得响应矩阵，利用式（10-8）即可求出任意时段的各抽水井或注水井对任意观测点（或剖分节点）上产生的水位总降深或总回升值。

由上述分析可知，地下水位响应矩阵反映了地下水系统本身的特征，包括含水层类型、内部结构、边界性质和形状、水文地质参数、源汇点空间分布位置等，与地下水的输入输出无关。

3.单位脉冲响应系数的确定

单位脉冲响应系数是以地下水流模拟模型为基础，对地下水系统施加单位脉冲量时，所得到的地下水系统的响应值。

目前，在生产实际中，主要采用数值法建立地下水流模拟模型，以模拟大区域内非均质各向异性含水层和边界条件不规则的地下水流状态。因此，常用数值法确定响应系数。

（1）齐次初边值条件下响应系数的确定：如果渗流场的初边值条件均为齐次，即初始条件和边界条件均为零，则单位脉冲响应系数的求解步骤为：

①对渗流场进行空间剖分，对管理期进行时间剖分。

②在剖分基础上，利用一定的原理和方法建立数值模拟模型，如承压水（或潜水）、一维（或二、三维）流的、均质（或非均质）的、稳定（或非稳定）的模拟模型。

③第一时段内，第一口井以单位流量抽水，其余各井不抽水，计算各个观测孔（节点）的水位降深值；然后，第二口井以单位流量抽水，其余井不抽水，再计算各观测孔的水位降深……依此类推直至N个抽水井全部循环完毕。通过一定的换算，可求得M个观测孔或节点上的水位响应系数，最后即可得到M×N个水位降深响应值，构成M×N阶响应矩阵。

④对各时段按步骤③进行循环求解，直至L个时段全部算完，则得M×N×L个响应系数，构成M×N×L阶三维响应矩阵。

对于稳定流条件下的响应系数，求解步骤基本同上，只是不必对时间进行剖分，不必对时间段进行循环（见步骤④），得到的响应矩阵是M×N阶二维响应矩阵。

（2）非齐次初边值条件下响应系数的确定：

设一个承压含水层系统中平面二维流问题，可用下列偏微分方程的定解问题描述：

现代水文地质学

式中：h（x，y，t）——水位分布；

T，μ^*——分别为导水系数与贮水系数；

Γ₁，Γ₂——分别为一类边界和二类边界；

g₀（x，y）——初始水位降深值；

g₁（x，y，t）——一类边界值；

g₂（x，y，t）——二类边界值；

P（x，y，t）——t时刻，位于（x，y）点的可控制脉冲量（如抽水量和回灌量）；

ε（x，y，t）——不可控制的脉冲量（如降雨入渗量）；

（x，y）——平面位置坐标；

D——地下水渗流区域。

如果初边值条件为非齐次，即g（x，y，t）≠0或者地下水系统的不可控制脉冲量不为零时，则此地下水系统不是线性系统，因此不能直接应用叠加原理确定单位脉冲量响应系数。为了解决此问题，可把定解问题式（10-9）分解为下列二个定解问题：

现代水文地质学

和

现代水文地质学

根据数理方程原理有：

现代水文地质学

式中：h为由定解问题（10-9）所确定的实际水位；H是不可控制脉冲量，它仅由初始流场、边界条件和天然补给和排泄形成的水位分布，即由式（10-10）确定的天然水位；S是齐次初边值条件，无不可控制脉冲影响，仅由可控脉冲（抽水或注水）形成的水位降深（或回升），即由式（10-11）确定的人为影响水位降，它表示由水位响应函数所确定的水位降，可应用叠加原理确定单位脉冲量响应系数。

由式（10-12）等号两边同时减去初始水位H₀：

现代水文地质学

根据式（10-8），可将式（10-13）化为求第n时段，第i点的水位降深公式：

现代水文地质学

或写为：

现代水文地质学

式（10-15）表示有N口抽水井作用于地下水系统；S_t（i，n）表示实际水位降深值；S₀（i，n）则表示仅由初边值条件和天然补、径、排条件确定的水位附加降深值。

因此，对有天然补给或排泄（不可控脉冲量）的非齐次初边值条件下的非线性地下水系统，为确定响应系数，可通过分解渗流场，用一附加降深场S₀（i，n）来模拟天然补、径、排，初始流场和边界条件对实际渗流场S_t（i，n）的影响，将非齐次初边值条件化为齐次，然后，在齐次初边值条件下确定单位脉冲响应系数，形成响应矩阵。

4.地下水管理模型的组成

如前所述，地下水管理模型是由目标函数和约束条件两个主要部分组成。目标函数表示针对地下水系统中某一管理问题所要达到的目的，一般它可以为在一定约束条件下地下水系统的水量、水质的最优值（如地下水总开采量最大或总排水量最小）或者水位最优值（如水位降深值最小等）；也可以在一定的水量、水质和水位限制下，寻求系统经济效益的最优值（如开采费用最小，总收益最大等）；也可以为追求与地下水系统相关的环境效益或社会效益最优值（它常隐含在求地下水位或水质等最优值中加以表示）。约束条件，如前所述，是针对具体的管理目标，对决策变量在技术、经济、环境、社会等方面的限制。

现以建立寻求地下水系统最大开采量的管理目标为例，说明模型的构成。目标函数是使管理期内L个规划阶段，N口井中的地下水总开采量为最大：

现代水文地质学

约束条件包括以下几个方面：

（1）每口井中各规划阶段出水能力限制：

现代水文地质学

（2）地下水总开采量指标约束（资源约束）：

现代水文地质学

（3）水位降深极限约束：

现代水文地质学

（4）地下水流状态约束。为表示地下水系统内水量与水位之间关系的状态方程式，这一约束可通过响应矩阵所联系的抽水量与降深的关系式来实现：

现代水文地质学

（5）非负性约束，表示各决策变量为非负：

现代水文地质学

式中：i=1，2，……，N；

j=1，2，……，N；

n=1，2，……，L

N——系统中观测孔或节点数目；

Q（j，n）——第j口井在第n规划阶段的抽水量；

S（i，n）——第i个观测孔或节点从开始抽水至第n阶段末的水位降深值；

Q_T——地下水需水量指标；

Q₀——各井出水能力；

S₀——地下水位降深极限。

如果将第n阶段的响应矩阵表示为：

现代水文地质学

对应的水位降深和抽水量也用矩阵表示为：

现代水文地质学

则约束式的第4个方程式可表示为：

现代水文地质学

即通过响应矩阵［R］使地下水流连续性方程作为等式约束进入最优化模型，从而构成地下水管理模型。

（二）嵌入法

建立地下水管理模型的嵌入法，又称嵌套法或镶嵌法。

嵌入法的基本原理是把地下水水流模拟模型作为优化管理模型的一部分约束条件，进入管理模型，实现水流模拟模型与管理模型的耦合。Bredehoeft和Young于1974年初次提出这种方法。他们联合求解了有限差分水流模拟模型和线性规划模型。之后，Aguad和Remson于1974年进一步运用有限差分法离散地下水流运动方程，并将所形成的线性代数方程组作为优化管理模型的一组约束条件，构成线性规划模型，在满足一定供水要求条件下，以含水层中特定位置的水头最高为目标，确定出最佳抽水量分配和水头分布。Alley，Aguad和Remson又于1976年对非稳定流问题，分步建立了一系列管理模型，从而使嵌入法趋于成熟，并得到一定的应用。

用嵌入法建立的管理模型，其地下水流模拟模型与管理模型的运行是同时进行的，二者一步完成。对于用数值法建立的地下水水流模拟模型，要把数值离散后形成的线性代数方程组，以约束条件的形式“嵌入”到管理模型中。

嵌入法对于管理期限短、时段少及计算面积小的稳定流问题和一些非稳定流问题比较有效。但对于区域性、多期规划管理问题，其管理模型的求解存在困难，这就使嵌入法在实际应用中受到一定的限制。

对比上述两种分布参数系统地下水管理模型的建立方法和步骤，有如下特点：

（1）响应矩阵法是将地下水管理模型的建立分为两大步骤，即首先通过地下水状态模拟模型计算出响应矩阵，然后把响应矩阵所表示的水位或浓度与水量的关系作为约束条件进入管理模型。嵌入法则为一步法，即把经过离散的整个地下水流方程组直接作为优化模型的等式约束条件，将地下水状态模型与地下水管理模型同时运行，一步完成，方法原理较为简单。

（2）响应矩阵法可针对特定的地下水管理问题，对管理区中某些重点区域或时间段上的变量进行约束，不必对全区所有点进行约束，这样，可避免大规模计算的困难。

（3）响应矩阵法尤其实用于大区域、多阶段性的非稳定流地下水管理问题。而嵌入法则适合于面积不大的稳定流地下水管理问题。

（4）响应矩阵法在建立模型和管理运行中得到的最佳决策，仅包含决策变量（抽水量）或状态变量（水位、浓度），而后再通过水流模拟模型或响应矩阵求得其他变量。嵌入法则同时给出方案的各种变量结果。

以上介绍的建立模型过程中所运用的优化技术，主要是线性规划。实际上，动态规划、非线性规划、整数规划等也可以广泛地用来解决地下水管理问题。

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