克拉默法则

克拉默法则是什么？~

[小宝数学]线性代数基础课系列——克拉默法则

[小宝数学]线性代数基础课系列——克拉默法则

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解。

2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零。

3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

克拉默法则（Kramer's rule）是一种直接用行列式解线性方程组的方法。把线性方程组记为矩阵乘法的形式。

Ax=b(1)(1)Ax=b

其中 AA 为系数矩阵。当 AA 为 N×NN×N 的方阵且行列式 |A|≠0|A|≠0 时（即满秩矩阵），方程有唯一解（见 “线性方程组解的结构”）。该解可以用克拉默法则直接写出：

xi=|Ai||A|(i=1,…,N)(2)(2)xi=|Ai||A|(i=1,…,N)

其中 AiAi 是把 AA 的第 ii 列替换为 bb 而来。

例如：解方程组

　　 令式 1 中 A=(21−13)A=(21−13)，b=(45)b=(45)，求解方程组。

　　 解：|A|=7|A|=7，|A1|=∣∣∣4153∣∣∣=7|A1|=|4153|=7，|A2|=∣∣∣24−15∣∣∣=14|A2|=|24−15|=14。代入式 2 得 x=(12)x=(12)。

　　 在数值计算时，克拉默法则解方程组效率较低，直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快。

推论1）n元齐次线性方程组有惟一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）；

2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。

xml法则总结

1.克莱姆法则的重要理论价值：

1）研究了方程组的系数与方程组解的存在性与惟一性关系；

2）与其在计算方面的做用相比，克莱姆法则更具备重大的理论价值。（通常没有计算价值，计算量较大，复杂度过高）

2.应用克莱姆法则判断具备N个方程、N个未知数的线性方程组的解：

1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具备惟一的解；

2）若是方程组无解或者有两个不一样的解，那么方程组的系数行列式一定等于零；

3）克莱姆法则不单单适用于实数域，它在任何域上面均可以成立。

3.克莱姆法则的局限性：

1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效；

2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

不确定的情况

1.当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不一致，当存在多个解决方案时，称为不确定性。对于线性方程，不确定的系统将具有无穷多的解（如果它在无限域上），因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。

2.克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下，如果系数行列式为零，则如果分子决定因子为非零，则系统不兼容，如果分子决定因素为零，则系统不兼容。

3.对于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，唯一可以说的是，如果任何分子决定因素是非零的，那么系统必须是不兼容的。然而，将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的一个简单的例子，其中所有决定因素消失（等于零）但系统仍然不兼容。

克拉默法则适用于变量和方程数目相等的线性方程组。克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系；与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。

 

克拉默法则怎么用

克拉默法则解方程组过程：先求系数行列式，再求各未知数对应的行列式，相除得到方程的解。

应用克拉默法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零

（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

克莱姆法则的局限性：

（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。

（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

克拉默法则产生时间：这项法则是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。

作者介绍：克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信 中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。

作者成就：主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。

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开平区13067049624： 克拉默法则 - 搜狗百科？
冉克达内： 克拉默法则又称克莱姆法则,是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理.它适用于变量和方程数目相等的线性方程组.克拉默法则是一种直接用行列式解线性方程组的方法,当系数矩阵是满秩矩阵时,方程组有唯一解.

开平区13067049624： 线性代数克拉默法则 - ？
冉克达内： 克莱默法则是用于解线性方程组的,与这里的计算行列式没有关系.这个第三题只要把最后一列乘-1加到每一列上,就化成了上三角行列式.

开平区13067049624： 线性代数,克拉默法则的推论克拉默法则的一个推论:齐次线性方程组有非零解,则系数行列式等于0那能不能由其次线性方程组系数行列式等于0,推出有非... - ？
冉克达内：[答案] 是的.这是充要条件 若齐次线性方程组系数行列式等于0,则系数矩阵的列秩r(A)小于未知数个数n,所以方程组有n-r(A)个自由未知量,因此必有非零解.

开平区13067049624： 克拉默法则,为什么当D不等于0时,它的解只有零解?如题~ - ？
冉克达内：[答案] 不是只有零解 零解是齐次方程的唯一解 非齐次方程的解不是零解 解都是唯一的 即 AX=b |A|不为0 b=0就是齐次方程,零向量是他的解,且是唯一解 b不为零,是非齐次方程.解必不为零解 可以用克拉墨法则

开平区13067049624： 行列式,克拉默法则 - ？
冉克达内： 就是线性代数中行列式那一章中的克拉默法则,也叫克莱姆法则. “行列式D的1 2 3 4 2 4 5 2 4 3 1 0 0 2 5 1 比如这样一个四阶行列式,

开平区13067049624： 克拉默法则如何能判断非齐次线性方程组无解? - ？
冉克达内：[答案] 不能 系数矩阵的行列式等于0时,并不能保证方程组有解或无解 只能说明有解时解不唯一(无穷多解)

开平区13067049624： 克拉默法则 判定齐次线性方程组 是否有非零解 需要过程 - ？
冉克达内：[答案] 系数行列式 = 1 0 1 0 -1 4 1 2 0 = 1-8 = -7 ≠ 0. 所以方程组有唯一解,故只有零解,没有非零解.

开平区13067049624： 线性代数,克拉默法则 - ？
冉克达内： 按C1展开的意思是,第一列展开.第一列的每个数*(除去该数所在行和列的行列式)*(-1)的(行号+列号)次方.解释如下图:此法则自己可以搜得到,我就不多说了.

开平区13067049624： 克拉默法则适合解什么样的克拉默法则可以解线性方程组,后面学的矩阵解线性方程组的优势是什么呢,什么样的线性方程组适合用克拉默法则,什么样的线... - ？
冉克达内：[答案] 什么样的线性方程组适合用克拉默法则,什么样的线性方程组适合用矩阵解法呢 n个未知数,n个方程,且系数矩阵的秩=n,的非齐次线性方程组可用克拉默法则求解. 除此之外的其余情形,均用系数矩阵或增广矩阵初等行变换法求解.