克拉默法则
[小宝数学]线性代数基础课系列——克拉默法则
[小宝数学]线性代数基础课系列——克拉默法则
克莱姆法则,又译克拉默法则(Cramer's Rule)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
1、当方程组的系数行列式不等于零时,则方程组有解,且具有唯一的解。
2、如果方程组无解或者有两个不同的解,那么方程组的系数行列式必定等于零。
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可以成立。
克拉默法则(Kramer's rule)是一种直接用行列式解线性方程组的方法。把线性方程组记为矩阵乘法的形式。
Ax=b(1)(1)Ax=b
其中 AA 为系数矩阵。当 AA 为 N×NN×N 的方阵且行列式 |A|≠0|A|≠0 时(即满秩矩阵),方程有唯一解(见 “线性方程组解的结构”)。该解可以用克拉默法则直接写出:
xi=|Ai||A|(i=1,…,N)(2)(2)xi=|Ai||A|(i=1,…,N)
其中 AiAi 是把 AA 的第 ii 列替换为 bb 而来。
例如:解方程组
令式 1 中 A=(21−13)A=(21−13),b=(45)b=(45),求解方程组。
解:|A|=7|A|=7,|A1|=∣∣∣4153∣∣∣=7|A1|=|4153|=7,|A2|=∣∣∣24−15∣∣∣=14|A2|=|24−15|=14。代入式 2 得 x=(12)x=(12)。
在数值计算时,克拉默法则解方程组效率较低,直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快。
推论1)n元齐次线性方程组有惟一零解的充要条件是系数行列式不等于零,系数矩阵可逆(矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关);
2)n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
xml法则总结
1.克莱姆法则的重要理论价值:
1)研究了方程组的系数与方程组解的存在性与惟一性关系;
2)与其在计算方面的做用相比,克莱姆法则更具备重大的理论价值。(通常没有计算价值,计算量较大,复杂度过高)
2.应用克莱姆法则判断具备N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
1)当方程组的系数行列式不等于零时,则方程组有解,且具备惟一的解;
2)若是方程组无解或者有两个不一样的解,那么方程组的系数行列式一定等于零;
3)克莱姆法则不单单适用于实数域,它在任何域上面均可以成立。
3.克莱姆法则的局限性:
1)当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时,或者当方程组系数的行列式等于零时,克莱姆法则失效;
2)运算量较大,求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
不确定的情况
1.当方程组没有解时,称为方程组不兼容或不一致,当存在多个解决方案时,称为不确定性。对于线性方程,不确定的系统将具有无穷多的解(如果它在无限域上),因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。
2.克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下,如果系数行列式为零,则如果分子决定因子为非零,则系统不兼容,如果分子决定因素为零,则系统不兼容。
3.对于3×3或更高的系统,当系数行列式等于零时,唯一可以说的是,如果任何分子决定因素是非零的,那么系统必须是不兼容的。然而,将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x + y + z = 1,x + y + z = 2,x + y + z = 3的一个简单的例子,其中所有决定因素消失(等于零)但系统仍然不兼容。
克拉默法则适用于变量和方程数目相等的线性方程组。克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理,研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比,克莱姆法则更具有重大的理论价值。
克拉默法则怎么用
克拉默法则解方程组过程:先求系数行列式,再求各未知数对应的行列式,相除得到方程的解。
应用克拉默法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
(1)当方程组的系数行列式不等于零时,则方程组有解,且具有唯一的解;
(2)如果方程组无解或者有两个不同的解,那么方程组的系数行列式必定等于零
(3)克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可以成立。
克莱姆法则的局限性:
(1):当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时,或者当方程组系数的行列式等于零时,克莱姆法则失效。
(2):运算量较大,求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
克拉默法则产生时间:这项法则是瑞士数学家克莱姆(1704-1752)于1750年,在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕,以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则,但他们的记法不如克莱姆。对于多于两个或三个方程的系统,克莱姆的规则在计算上非常低效;与具有多项式时间复杂度的消除方法相比,其渐近的复杂度为O(n·n!)。即使对于2×2系统,克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
作者介绍:克莱姆(Cramer,Gabriel,瑞士数学家 1704-1752)克莱姆1704年7月31日生于日内瓦,早年在日内瓦读书,1724 年起在日内瓦加尔文学院任教,1734年成为几何学教授,1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰.伯努利、欧拉等人学习交流,结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家,回国后在与他们的长期通信 中,加强了数学家之间的联系,为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚,专心治学,平易近人且德高望重,先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
作者成就:主要著作是《代数曲线的分析引论》(1750),首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念,第一次正式引入坐标系的纵轴(Y轴),然后讨论曲线变换,并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数,应用了著名的“克莱姆法则”,即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到,1748年发表,但克莱姆的优越符号使之流传。
请教几个音乐术语上的初级问题
还有“对称”、“反复”等等,而“倒影”句法(在巴赫作品中非常多见),“扩大”句法(指时值上的延长)或“缩小”句法,以及由此延伸的许多符合句法则是完全出于音乐的审美情趣。曲式结构的宏观概念体现了两种原则,“发展”与“回归”。以奏鸣曲式为例,发展是整个作品中的中间段落,在贝多芬以前,发展...
冉克达内: 克拉默法则又称克莱姆法则,是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理.它适用于变量和方程数目相等的线性方程组.克拉默法则是一种直接用行列式解线性方程组的方法,当系数矩阵是满秩矩阵时,方程组有唯一解.
开平区13067049624: 线性代数克拉默法则 - ?
冉克达内: 克莱默法则是用于解线性方程组的,与这里的计算行列式没有关系.这个第三题只要把最后一列乘-1加到每一列上,就化成了上三角行列式.
开平区13067049624: 线性代数,克拉默法则的推论克拉默法则的一个推论:齐次线性方程组有非零解,则系数行列式等于0那能不能由其次线性方程组系数行列式等于0,推出有非... - ?
冉克达内:[答案] 是的.这是充要条件 若齐次线性方程组系数行列式等于0,则系数矩阵的列秩r(A)小于未知数个数n,所以方程组有n-r(A)个自由未知量,因此必有非零解.
开平区13067049624: 克拉默法则,为什么当D不等于0时,它的解只有零解?如题~ - ?
冉克达内:[答案] 不是只有零解 零解是齐次方程的唯一解 非齐次方程的解不是零解 解都是唯一的 即 AX=b |A|不为0 b=0就是齐次方程,零向量是他的解,且是唯一解 b不为零,是非齐次方程.解必不为零解 可以用克拉墨法则
开平区13067049624: 行列式,克拉默法则 - ?
冉克达内: 就是线性代数中行列式那一章中的克拉默法则,也叫克莱姆法则. “行列式D的1 2 3 4 2 4 5 2 4 3 1 0 0 2 5 1 比如这样一个四阶行列式,
开平区13067049624: 克拉默法则如何能判断非齐次线性方程组无解? - ?
冉克达内:[答案] 不能 系数矩阵的行列式等于0时,并不能保证方程组有解或无解 只能说明有解时解不唯一(无穷多解)
开平区13067049624: 克拉默法则 判定齐次线性方程组 是否有非零解 需要过程 - ?
冉克达内:[答案] 系数行列式 = 1 0 1 0 -1 4 1 2 0 = 1-8 = -7 ≠ 0. 所以方程组有唯一解,故只有零解,没有非零解.
开平区13067049624: 线性代数,克拉默法则 - ?
冉克达内: 按C1展开的意思是,第一列展开.第一列的每个数*(除去该数所在行和列的行列式)*(-1)的(行号+列号)次方.解释如下图:此法则自己可以搜得到,我就不多说了.
开平区13067049624: 克拉默法则适合解什么样的克拉默法则可以解线性方程组,后面学的矩阵解线性方程组的优势是什么呢,什么样的线性方程组适合用克拉默法则,什么样的线... - ?
冉克达内:[答案] 什么样的线性方程组适合用克拉默法则,什么样的线性方程组适合用矩阵解法呢 n个未知数,n个方程,且系数矩阵的秩=n,的非齐次线性方程组可用克拉默法则求解. 除此之外的其余情形,均用系数矩阵或增广矩阵初等行变换法求解.