一个函数求导数之后是f(x)=2x,怎么反推出原函数!多谢多谢了
f(x)的一个原函数是arctanx
所以f(x)=(arctanx)'=1/(1+x²)
这里求得是f(x)的导函数,不是f(x)
所以f'(x)=-1/(1+x²)²*(1+x²)'
这是链式法则
原函数的导数等于反函数导数的倒数。
设y=f(x),其反函数为x=g(y),
可以得到微分关系式:dy=(df/dx)dx ,dx=(dg/dy)dy .
那么,由导数和微分的关系我们得到,
原函数的导数是 df/dx = dy/dx,
反函数的导数是 dg/dy = dx/dy .
所以,可以得到 df/dx = 1/(dg/dx) .
扩展资料:
反函数存在定理
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减,证明类似。
参考资料:
反函数_百度百科
根据数学求导公式f(x)=x^a的导数为ax^a-1
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江源县15856409322: 已知函数f(x)的导数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+lnx,求f(1),,要详细过程 - ?
俞唯康炎: 对f(x)=2xf'(1)+lnx两边分别求导得 f'(x)=2f'(1)+1/x (把f'(1)看作是常数,故2xf'(1)求导后为2f'(1)令x=1 f'(1)=2f'(1)+1 f'(1)=-1 f(x)=-2x+Inx 令x=1 f(x)=-2*1+0=-2
江源县15856409322: 已知函数f(x)的导函数为f'(x) 且f(x)=2xf'(1)+InX 则f'(X)等于多少 然后f'1等于多少?? - ?
俞唯康炎: 求导 f'(x)=2f'(1)+1/x x=1 f'(1)=2f'(1)+1 f'(1)=-1 所以f(x)=-2x+lnx 所以f'(x)=-2+1/xf'(1)=-1
江源县15856409322: 求导 f(x)=2xf'(e) 怎么求 请详细说一下 谢谢! - ?
俞唯康炎: 直接对fx求导,你把f'(e)要看成一个常数,这样的话得到f′(e)=2f'(e),f′(e)=1 f(x)=2x
江源县15856409322: 对于函数求导假设求f(x)=(2x+1)^2的导数,我是应该先化简还是直接求?^2代表平方 - ?
俞唯康炎:[答案] 假设求f(x)=(2x+1)^2的导数,我是应该先化简还是直接求? 都可以 先化简: f(x)=4x^2+4x+1 f'(x)=8x+4 直接求: f(x)=(u)^2,u=2x+1 f'(x)=2u*(2)= 2*(2x+1)*(2)= 8x+4
江源县15856409322: 求导此函数 f(x)=2x*f'(1)+x∧2 - ?
俞唯康炎:[答案] 其中f'(1)是f(x)的导函数f'(x)在x=1处的值为常数.可令2f'(1)=c . 求cx的导数就ok了,其他的你也会就不说详细了.
江源县15856409322: f(x)=2x,求f(1+x^2)的导数.这一类问题应该先求导还是先代换?其实因为做一个类似的题是先求导再代换,但移到这一个题上瞬间迷茫. - ?
俞唯康炎:[答案] 1] 复合函数求导: [f(1+x^2)]'=f'(1+x^2)*2x 2]f(1+x^2)=2(1+x^2)=2+2x^2=>[f(1+x^2)]'=4x 因为f(x)有具体表达式,所以方法更合理;
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江源县15856409322: 求解答数学题, 求导数, 1. f(x)=2x 2. f(x)=2x平方+3x 3. - ?
俞唯康炎: 1. f(x)=2xf'(x)=22. f(x)=2x平方+3xf'(x)=4x+3 3.f(x)=2x分之3 f'(x)==-3/[2x²]