证明函数f(x)=庚号x的平方+1(在庚号内）-X（在庚号外）在其定义域内是减函数
f(x)=2f(1/x)*√x -1 (-1在根号外）……①
则f(1/x) =2f(x)*√(1/x) -1 (-1在根号外）……②
②*2 2f(1/x) =4f(x)*√(1/x) -2 (-2在根号外）……③
把③代入① f(x)=[4f(x)*√(1/x) -2]*√x-1 (-1在根号外）
整理得f(x)=(2√x+1)/3 (+1在根号外）
已知函数f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]，(Ⅰ)求函数的定义域.并证明f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若x属于[2，6]，f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]＞ln[m/(x-1)(x-7)]恒成立，求实数m的取值范围
解：(1). 定义域：由(x+1)/(x-1)>0，得定义域为x1，即定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)；
定义域关于原点对称，且f(-x)=ln[(-x+1)/(-x-1)]=ln[(x-1)/(x+1)]=ln[(x+1)/(x-1)]ֿ¹=-ln[(x+1)/(x-1)
=-f(x)，故f(x)是奇函数。
(2).y=lnx是增函数，故由ln[(x+1)/(x-1)]＞ln[m/(x-1)(x-7)]得(x+1)/(x-1)>m/(x-1)(x-7)
移项得(x+1)/(x-1)-m/(x-1)(x-7)=[(x+1)(x-7)-m]/(x-1)(x-7)=(x²-6x-7-m)/(x-1)(x-7)>0.........(1)
不等式(1)在区间[2，6]上恒成立，此时有x-1>0，x-7<0，故有(x-1)(x-7)<0，故要(1)成立，必须
G(x)=x²-6x-7-m<0在区间[2，6]上恒成立；由x²-6x-7-m=(x-3)²-16-m<0，知其对称轴为x=3，故
只需G(6)=36-36-7-m=-7-m-7及G(2)=4-12-7-m=-15-m-15；
{m︱m>-7}∩{m︱m>-15}={m︱m>-7},，这就是m的取值范围。
法一：定义法
设a<b，a，b∈R（因x1，x2打起来麻烦，换用a，b了）
则f(a)－f(b)= [√(a²+1) – a] － [√(b²+1) – b]
=[√(a²+1) －√(b²+1)]－(a－b)
=(a²－b²)/[√(a²+1)+√(b²+1)] –(a－b)
（∵[√(a²+1) －√(b²+1)] [√(a²+1)+√(b²+1)]= a²－b²）
=(a－b){ (a+b)/[√(a²+1)+√(b²+1)] –1}
=(a－b){[a－√(a²+1)]+[b－√(b²+1)] }/[√(a²+1)+√(b²+1)]
∵a<b，∴a－b<0，
又∵√(a²+1)> √a²=|a|≥a，
∴a－√(a²+1)<0，同理b－√(b²+1)<0，
∴[a－√(a²+1)]+[b－√(b²+1)]<0，
∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>(b)，
∴函数f(x)在R上为减函数.
法二：导数法
f′(x)=[x/√(x²+1)]－1
=[x－√(x²+1)]/ √(x²+1)
∵x－√(x²+1)<0恒成立，
∴f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R上为减函数.
f(x)=√(x^2+1)-x
定义域为R
f'(x)=[ (x-√(x^2+1)) ]/(√(x^2+1))<0
所以函数是减函数
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当到第二章《指数函数、对数函数和幂函数》时,说到: 晨雾茫茫碍交通,蘑菇核云蔽长空; 化石岁月...这相当于方程X\/6 + X\/12 + X\/7 + 5 + X\/2 + 4 = X,X = 84,由此知道丢番图享年84岁
戴生尤靖：[答案] 根号x^2+1-x 当x0时 √(x^2+1-x]=1/[√(x^2+1)+x] 随着x的增大而减小,所以 √(x^2+1)-x]在[0,+∞)上是减函数 所以函数在R上是减函数
弋阳县14758091315： 证明:f(x)=根号里(x的平方+1)—x在R上是减函数. - ？
戴生尤靖： 根号里(x的平方+1)—x =1/(根号里(x的平方+1)+x) 这一步是因为[根号里(x的平方+1)—x]*(根号里(x的平方+1)+x) =[根号里(x的平方+1)]的平方-x的平方 =x的平方+1-x的平方=1 f(x)=1/(根号里(x的平方+1)+x) 根号里(x的平方+1)+x在R上关于x递增 所以f(x)=根号里(x的平方+1)—x在R上是减函数.
弋阳县14758091315： 证明函数f(x)=根号(x平方+1)—x在其定义域内是减函数 - ？
戴生尤靖： 证明:f(x)=根号(x^2 +1)-x =(根号(x^2 +1)-x)(根号(x^2 +1)+x)/(根号(x^2 +1)+x)= 1/(根号(x^2 +1)+x) 根号(x^2 +1)+x是增函数 1/(根号(x^2 +1)+x)是减函数 所以函数f(x)=根号(x^2 +1)-x 在其定义域上是减函数
弋阳县14758091315： 求证f(x)=根号下x的平方+1x在(一无穷大,十无穷大)上是减函数 - ？
戴生尤靖： 你好函数是f(x)=√(x^2+1)-x吧 若是 则证明如下 设x1,x2属于R,且x1则f(x1)-f(x2)=[√(x1^2+1)-x1]-[√(x2^2+1)-x2]=1/[√(x1^2+1)+x1]-1/[√(x2^2+1)+x2]=[[√(x2^2+1)+x2]-[√(x1^2+1)+x1]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]=[[√(x2^2+1)-√(x1^2+1)]+(x2-x...
弋阳县14758091315： 证明:f(x)=根号(x+1)在定义域是增函数？
戴生尤靖： f(x)=根号(x+1),所以f(x)大于等于0 设x1>x2>0,f(x1)的平方-f(x2)的平方=x1-x2>0 f(x1)>f(x2)所以是增函数
弋阳县14758091315： 才学要颓了这个 用定义证明函数y=f(x)=根号下x的平方加一 再减x是减函数 - ？
戴生尤靖：[答案] 设x10,所以当x1,x2是0到无限大时 ,根号下x1平方加1- 根号下x2 平方加1>0则f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)所以为减函数.谢谢!
弋阳县14758091315： f(x)=根号下x的平方+1 再减去x 试证明 在R定义域上是减函数 - ？
戴生尤靖：[答案] 若直接用减函数定义去证会很麻烦 可以用复合函数的单调性的性质去证 若f(x)>0且单调递减(或递增),则1/f(x)单调递增(或递减) 1/f(x) = 1/[√(x+1)-x] = √(x+1) + x 显然f(x)>0且1/f(x)单调递增 所以f(x)单调递减
弋阳县14758091315： 利用定义证明函数f(x)=根号下(x方加一) - x在其定义域内为减函数 - ？
戴生尤靖：[答案] 任取实数x1,x2且x1
弋阳县14758091315： 怎么证明函数f(x)=lg(x+根号下(x平方+1)) 在R上为单调增函数?帮忙一下,谢谢! - ？
戴生尤靖： 利用定义法,两个对数相减等于真数相除,再利用平方差公式进行分子有理化,把分母变成常数,然后把分子与0比较即可
弋阳县14758091315： 已知函数fx=根号下x+1,求证fx在定义域上是增函数 - ？
戴生尤靖： 函数f(x)=√(x+1)的定义域是x>-1. 设任意x1、x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 则0<x1+1<x2+1, ∴√(x1+1)<√(x2+1),即f(x1)<f(x2) 故f(x)在(-1,+∞)上是增函数.
