极限问题

极限定义的问题~

一、楼主应该是还没有理解极限证明的本质究竟是什么，这无可非议。
大学教师、教授，教微积分一辈子，穿凿附会一辈子，比比皆是。
大学教材，绝大多数都是垃圾教材，学生不被误导实在太难太难。
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二、楼主的题图上的 a 是数列的极限，是指 x₁、x₂、x₃、x₄、、、、
越来越趋向于 a，无止境地趋向于 a，跟 a 的差值，越来越趋于 0。
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三、关于极限证明的方法，用最通俗的话解答如下，楼主如有任何疑问，
欢迎追问，有问必答，有疑必释，直到满意。
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总体来说：

极限的证明过程，就是
一个吵架的过程；
一个理性争辩、逻辑辩论的过程；
一个穷举法的精简过程。
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下面以最通俗的语言，讲解一下证明的逻辑过程：
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1、我说：Xn的极限就是a，可是你不信。
2、你说：Xn与 a 有差值啊。
3、我问你：差值多少你能接受？你给出一个很小的数吧。
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你给出了一个很小很小的数，譬如0.0000123。
我计算了一下，我说当N大于100时(比方)，两者之差就小于0.0000123了。
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你不服，又给出一个更小的数，譬如0.0000000000456。
我又计算了一下，我说当N大于1000时(也是比方)，两者之差就小于0.0000000000456了。
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你依旧不服，你又给了更小更小的数，我又算；
你再给，我再算；
你再再给，我再再算；
、、、、、、

我说，算了吧，你给一个象征性的很小很小的数的代号，
我算一个用你的代号表示的公式给你，你自己计算，自己验证吧。
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你给的这个数就是ε，我就给你一个公式，算出了N，从N后面起，差值就小于 ε。
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说到这里，你明白极限证明的论证过程了吗？
这个过程，是无穷列举理论化的过程；
这个过程，强调的是趋势，是无休止的趋势，是无止境的趋势，英文是tendency。
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“任给”二字，体现的是 ε 可以无限地更改，无限的反悔；
根据 ε 算出来的 N，只是一个具体的数，N 之后的任何数，都可以作为 N；
这就是放大缩小的理论依据，只要能确定一个 N，从 这个 N 之后的任何数
都是 n。
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【请记住】：
N、n 都仅仅只是项数！是 number of terms ！
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如果明白了，那就恭喜你！你已经掌握极限证明的真谛了！可喜可贺！
如果不明白，那也恭喜你！你终于体察出我们落后的原因！可喜可贺！
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我们祖先，不落后人，他们也有悖论，也有极限思维。
我们后人，没有超越，我们没有开拓，落后始于极限。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答。

因为： lime^(1/x) x趋近于0+=无穷大 lime^(1/x) x趋近于0-=0 左极限为负数，且无限接近0,1/X等于负无穷，e的负无穷等于e的无穷是倒数，表示1除以无穷大，等于0 所以当x趋向于左极限，原极限=lim(4+0)/(1+0)=4 当x趋向于右极限，原极限是无穷/无。

解答:

1、分子分母同除以n²，是将无穷大化为无穷小计算，直接以0代入即可。

2、按照楼主的思路写成“无穷大+无穷大”或“无穷大-无穷大”的形式解题，
是非常容易出错的。因为“无穷大+无穷大”，有一个量级的关系，究竟哪
一个是高阶无穷大？同时，“无穷大-无穷大”，可能是正无穷大，可能是
负无穷大，可能是0，也可能是一个常数。

如果楼主还有疑问，欢迎来讨论。

没有看见你的图，不过看你的文字就知道你理解错了。

“原式就=(无穷大+无穷大-1)/(无穷大-无穷大-1)=无穷大-1/-1=无穷小”

首先，两个无穷大相加肯定是无穷大，
两个无穷大相减肯定是不等于零的，是未知的。

除以N^2,用的是因为：常数除以无穷大的的极限是零

所以，解法要除以N^2

楼上的说得很正确。无穷大是分阶的，这和无穷小是类似的。n²是n的高阶无穷大。如分子分母不除n²，当n→∞时，分子和分母都趋于无穷。和处理无穷小一样，你可略去分子分母中的低阶无穷大，结果得：2n²/n²=2。由于分子和分母都趋于无穷，你也可利用洛必达法则求这题的极限。所以除n²并非必须。

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菜荆一泰： 显然,当x趋向2a时,x-2a趋向0,∴f(x)中必有因式:x-2a. 当x趋向4a时,x-4a趋向0,∴f(x)中必有因式:x-4a. 又f(x)是三次多项式,∴可令f(x)=(x-2a)(x-4a)(mx+n). ∴当x趋向2a时,有:(2a-4a)(2am+n)=1. 当x趋向4a时,有:(4a-2a)(...

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菜荆一泰： lim(x->1) f(x)=lim(x->1) 6(x-1)+5=5 lim(x->0) f(x)=lim(x->0) 10x^2=0, lim(x->0) (f(x)/x)=lim(x->0) 10x=0

贵港市18166488082： 高数极限问题？
菜荆一泰： 你这个问题提的不错,学习关键就在于思考和置疑,在不断怀疑和解除怀疑中进步,相信我下面的回答会让你对无穷小有一个更准确清晰的理解: 第一,当β和α是等价无穷小时, β=α+ο(α) (1)式 α=β+ο(β) (2)式 都是正确的,你的推理到这里都没...

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菜荆一泰： limx→0 sinax/sinβx=ax/βx=a/β limn→∞ 2^n sinx/2^n=2^n*(x/2^n)=x limx→0 (1+2x)^1/x=(((1+2x)^(1/(2x)))^(2)=e^2 lima→∏/4 (sin2a)^3=(sin(2*∏/4))^3=1 limt→-2 e^t+1/t=e^(-2)-(1/2)

贵港市18166488082： 数学极限问题 - ？
菜荆一泰： x趋于正无穷时 lim[√(x²+1)+2x]²/(3x²+1)=lim[(x²+1)+4x√(x²+1)+4x²]/(3x²+1)=lim[5x²+1+4x²√(1+1/x²)]/(3x²+1)=lim[5+1/x²+4√(1+1/x²)]/(3+1/x²)=(5+4)/3=3

贵港市18166488082： 高数上的极限问题怎样才能更加容易理解极限问题?请有个人心得, - ？
菜荆一泰：[答案] 极限问题在高数里其实不算难,但它几乎贯穿整个高数体系,所以算是高数的基础.跟其他数学知识一样,掌握极限主要还是靠做题,做多了就能总结出套路了,相比后面的多元函数微积分,极限问题像过家家,每年考研数学里的极限题得分率都很高.

贵港市18166488082： 数学极限问题？
菜荆一泰： 由x(n+1)=1+xn/(1+x(n+1))得 x^(n+1)^2=x(n)+1 则对于任意n>=1有x(n)+1>=0即x(n)>=-1 现在要证明对于任意n>=1有x(n)>0 (数学归纳法) 1)n=1时x(1)=1>0成立 2)假设n=k时命题成立即x(k)>0则x(k)=x(k+1)^2-1>0 又因为x(k+1)>=-1 所以x(k+1)...

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菜荆一泰： 解:lim(x→∞)xcosx 当x=2kπ时 k→∞ 这时lim(x→∞)xcosx=∞ 当x=2kπ+π/2时 k→∞ 这时lim(x→∞)xcosx=0 综上可知函数极限不存在.

贵港市18166488082： 关于极限问题 - ？
菜荆一泰： 这是著名的Henie定理.简要证明如下:lim[x->a]f(x)=A ==> lim[an->∞]f(an)=A (n->∞) 由函数极限定义:任给e>0,存在d>0,当|x-a|<d时,|f(x)-A|<e 再由数列极限定义,存在N,使n>N时|an-a|<d, 则当n>N时,|f(an)-A|<e,得证.lim[x->a]f(x)=A <== lim[an->∞]f(an)=A (n->∞) 反证法,若lim[x->a]f(x)不是A, 则存在e>0,对任意d>0,都存在某个x:满足|x-a|<d,但|f(x)-A|>e 再利用lim[n->∞]f(an)=A的数列极限定义推出矛盾. ……