模糊数学法

模糊数学方法~

模糊数学（FuzzyMathematics）是一个十分年轻的数学分支，它的产生使得数学能够在一片更广阔的领域里发挥独特作用。1965年，美国加利福尼亚大学Zadeh教授发表了《模糊集合论》，提出了用“隶属函数”来描述现象差异的中间过渡，从而突破了古典集合论中属于或不属于的绝对关系，引入模糊集合的概念，即将普通的二值集合（0，1）变为在区间上连续分布的模糊集合 [0，1]。自此，数学对象之间的各种模糊关系、模糊运算也相继产生，模糊数学迅速发展起来，理论不断完善，应用日益广泛。模糊数学经过近50年的发展，其应用几乎涉及了自然科学、社会科学和工程技术的各个领域。尤其是它将二值逻辑（非0则1）进行模糊推广，建立了模糊逻辑，使计算机的逻辑计算逐步接近人的形象思维方式，从而大大提高了计算机对模糊问题的处理能力，使机器智能化取得突破性进展。各种模糊技术成果和产品（如模糊芯片、模糊开发工具等硬件、模糊软件产品等等）也逐渐从实验室走向社会，并取得了显著的社会效益。
工程地质环境质量评价是一项复杂的系统工程，由于影响质量评价的因素众多且十分复杂，各因素的影响程度也不尽相同，其相互间又存在着一定的关联性。而作为衡量质量好坏的各因素标准及界线很不清晰，即作为外延也是非常模糊的，各种因素的影响很难用经典数学模型加以统一量度，也很难将复杂的影响因素综合成一个因素进行评价。对于这种复杂的系统问题，模糊数学的理论和方法使其得到了更合理的解决。在岩土工程方面，模糊数学的应用深度逐渐加深，如工程岩体质量评价，使本来模糊的岩土体质量分类界限得以定量化、清晰化、精确化，评价结果也更符合客观实际情况。同时，模糊数学在矿山环境综合评价、地表水环境质量评价、城市地质环境评价、生态地质环境评价和湖库综合水质评价等方面均有广泛的应用。
因此，用模糊数学的方法对某一具体区域进行工程地质环境质量综合评价有其突出的优势。本课题的研究也就采用了模糊数学的研究方法。

模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。
由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。

扩展资料
模糊数学为现代数学的基础，集合可以表现概念，把具有某种属性的东西的全体称为集合。现实生活中许多事物(或现象)的变化是过渡性的,没有明确的界限，如人长得高、矮、胖瘦等,都是模糊性的语言。
正思通感围像具有模物性的特征，为了提高分类精度，在通感图像识别中，引人模糊数学方法是很有前景的。应当指出，在目前的技术条件下，并算机自动识别方法还无法代特目视解译方法。

模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一门科学，它是由美国控制论专家查德（Zadeh L.A.）在1965年创立的。模糊数学的理论和方法虽然还不很完善，但是已显示出强大的生命力。

模糊数学的方法弥补了“综合指数法”忽略水质分级界线的模糊性的缺陷。因为地下水环境系统存在如下特征。

1）水环境系统中污染物质之间存在着复杂的、难以明确的相关关系。水污染是由各污染因子共同作用的结果，它是一个连续、渐变、边界模糊的复杂过程，在评价时客观上存在模糊性。

2）根据水的用途和环境指标来确定水质分级标准时，若用单一的每个因素的数值来表征其特征和用途，在标准选取上，人为因素极大，在客观上人们对水质的要求而制定的标准也存在模糊性。

3）经过各种单项及综合运算后，对水质量给出一个结论，由于水质量是一个连续的变化的事件，因此给出的结论也存在模糊性（孙幼平等，1988）。

根据上述特征，为了真实地刻画这个过程，针对其模糊性，运用模糊数学理论进行处理，对地下水水质的评价会给出比较客观的结果。

（一）模糊综合评判法

所谓模糊评判，就是根据给出的评价标准和实测值，经过模糊变换，对事物的全体作出总的评价的一种方法。

模糊综合评判问题，实际上就是模糊变换问题，它的原理可用模式（4-27）表示：

B=A·R （4-27）

式中：A为因子权重。

为了突出地下水水质成分的主要因子，对各种样品、各因子视其在模糊分级标准中不同情况，分别赋权，得权重A。A是由各评价因子的权重处理后所构成的1×m阶行矩阵，称为输入。

权重A与评价的方法和目的有关。赋权应以各评价因子对地下水质量影响的贡献为主要考虑因素。若多种因子对地下水质量影响时，应能反映出多因子之间的协同、颉颃作用状况。在实际评价中，由于化学组分在地下水系统介质中迁移转化的机制不易认清，所以合理赋权是比较困难的。一般采用环境质量分指数法求出权重A。

为了进行模糊变换，W_i应满足归一化要求：

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

进行归一化，计算公式为

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

式中：W_i为经归一化i因子的权重。

由此构成（1×m）权重矩阵：A=（W₁，W₂，…，W_m）

R为模糊转换器，是由若干个单因子评价行向量构成的，它表示从被考查要素到评定最高等级的一种模糊转化关系，其模糊关系矩阵为

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B为综合评判结果，称为输出。

B是要求的评价结果，它是评价集上一个模糊子集，用一个1×n行向量的形式表示。

B=（μ（x₁），μ（x₂），…，μ（x_i））

上式中各个元是各因子对于评价等级的隶属度。

μ_mn的计算采用降半梯形法，换算公式如表4-4所示（韩银富等，2000）。

表4-4 隶属度μ_mn计算公式一览表

续表

概括地说，已知输入和模糊转换器求输出，就是模糊综合评判（付雁鹏等，1987）。

综合评判，即A与R两个模糊矩阵的复合运算，采用（∧，∨）型综合评判计算法，类似于普通矩阵乘法，只是将矩阵乘法运算中的“×”号改为“∧”号，将“+”号改为“∨”号，“∧”意为两数中取小值，“∨”意为两数中取大值。复合运算的结果，表示某水样相对于各个质量类别的综合评判隶属度。

根据所评价的综合隶属度，比较各级隶属度的大小。其中，隶属度最大者所在等级，即为水样点的分类等级。

若B_i=max｛B₁，B₂，…，B_n｝，则该样品水质等级定为第i级。

多样品水质按从优到劣排序的原则；同级别水质，比较各样品其邻级较优级别的隶属度，大的先排；不同级别水质，较劣的后排。

将模糊综合评判法应用到地下水质量评价中，可得出一个客观的综合评价结论，以及各种组分影响程度的顺序。

模糊综合判别法的局限性：

1）B=A·R是通过“∨”，“∧”得到的，这种运算形式过分强调了极值的作用，这就势必丢掉一些数据所提供的信息，使判断结果显得“粗糙”，如评价函数呈现b₁=b₂=…=b_m的情况时，就给最后的判别造成困难。

2）由于强调“取小，取大”，如果A中各分量小于R中各量，复合结果R中各量将全部被筛选掉，使单因素判别失去作用，结果形成以权数作为评判函数的现象。

以上情况会影响评价的精度。为了得到更好的评价结果，可根据实际情况，将“∨”，“∧”换成其他形式的算子进行评判，表4-5列出了几种常见的算子形式（付雁鹏等，1987）。

表4-5 其他几种常见的算子形式

注：a，b分别表示μ_a（x），μ_b（x）；a·b表示普通实数乘法；⊕表示有界和运算。

如果采用一种算子评判把握不准，可以同时采用多种算子分别评判，最后进行评判结果比较，确定客观的较优的结论。

（二）相似优先比法

相似优先比法是模糊数学中的一种计算方法，是在被选择对象所组成的集合上，根据一些因素建立一个模糊相似关系，然后由表现这个模糊关系的模糊矩阵来决定元素的优劣。借助这种方法，可以对集合中元素按优劣程度排序。

模糊相似矩阵是以海明距离比为基础构建的，使用λ截矩阵概念计算各分区与环境目标值相似程度的次序。

1.海明距离

d_ki=x_k-x_i （4-29）

d_kj=x_k-x_j （4-30）

式中：x_k为某级水质（环境目标值）标准值；x_i，x_j为被比较的两个区的实测平均值。

2.模糊相似优先比

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r_ji=1-r_ij （4-32）

若r_ij在（0.5，1）之间，表示x_i比x_j优先；若r_ij在（0，0.5）之间，表示x_j比x_i优先。

理想情况有3种：若r_ij=1，表示x_i显然比x_j优先；若r_ij=0，表示x_j显然比x_i优先；若r_ij=0.5，无法确定优先比，两个选择等价。

3.模糊相似优先比矩阵

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4.相似程度

根据实际情况，在［0，1］之间由大到小选定一系列λ值（λ为评价样品与标准值相似程序的界限），作出相似的矩阵R_λ，得出各因子与目标之间的相似程度，并按求λ截矩阵的次序将元素排序。

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5.综合排序

综合排序，即将各元素的多种排序的序号求和，序号和越小，则该元素越优，反之，则差。

应用相似优先比法对地下水质量进行优劣排序，效果较好。但是建立模糊相似关系矩阵和求λ截矩阵的工作比较繁琐，为避免较大的计算量，建议当样品少时，应用此方法（胡志荣等，1996）。

（三）Fuzzy距离定序法

Fuzzy距离定序法是在相似优先比法的基础上，将繁琐的建立模糊相似关系矩阵和求λ截矩阵的工作，通过变换待定序样品的序列，分析利用Fuzzy距离确定的Fuzzy优先矩阵的性质给出Fuzzy优先关系定序的简化方法。

Fuzzy距离定序法简介：

设已知给定一标准样品为

B=（b₁，b₂，…，b_i） （4-35）

式中：i=1，2，…，m。

给定待序样品序列为A′：

A′₁，A′₂，…，A′_i，…，A′_n （4-36）

式中：A′_i=（a_i1，a_i2，…，a_ij），1≤i≤n，1≤j≤m，即每一个样品由m个指标构成。

由于样品的各项指标单位各异，同一指标可能相差较大，为充分发挥样品各项指标在综合评比中的作用，首先对样品序列A′中每一样品的各项指标进行标准化处理。然后计算待定序样与标准样品之间的Fuzzy距离，具体计算时采用下述公式：

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式中：d（A_i，B）为样品A_i与标准样品B的Fuzzy距离；x_ik为待定序样品A_i的第k项指标；d_k为样品第k项指标的权重，且

；p为选定的常数，p=1时，式（4-37）为加权海明距离；p=2时，为加权欧氏距离。

用式（4-35）通过计算得到待定序样品A′与标准样品B之间Fuzzy距离序列D′：

d（A₁，B），d（A₂，B），…，d（A_i，B），…，d（A_n，B） （4-38）

对序列（4-36）按从小到大的次序排列，得到新的Fuzzy距离序列d：

d₁，d₂，…，d_i，…，d_n （4-39）

其中：d₁＜d₂，…＜d_i…＜d_n

对样品序列式（4-36），按样品在序列式（4-39）中相应出现的先后次序进行重新排列，得到新的样品序列A：

A₁，A₂，…，A_i，…，A_n （4-40）

若在序列式（4-39）中，存在d_i=d_j，则相应把序列式（4-40）写成：

A₁，…，A₂，…，A_i，A_j，…，A_n

把Fuzzy距离按从小到大的顺序排列，待定序样品在距离序列中相应出现的先后次序即为所求的排列结果。对地下水质量优劣排序而言，Fuzzy距离由小到大代表地下水质量由优到劣。

利用Fuzzy距离定序法进行地下水质量优劣排序，比相似优先比法简便，计算量小，评别易行，尤其当样品多时，更体现出此方法的有效性。但是此方法存在许多问题需进一步研究和探讨，如Fuzzy距离公式的选用、样品指标权数的确定等。因为Fuzzy距离定序法，定序的结果与Fuzzy距离有关，因此，应根据实际问题选用适当的计算公式，并结合研究区的水文地质条件及监测数据进行优劣排序；样品指标权数的选取是人为根据诸指标对地下水质量贡献大小来进行的，需要对各因素的影响有比较清楚的认识，才能够把握权重值。

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集宁区15824398924： 什么是模糊数学法?计算过程? - ？
璩言玉屏：[答案] 设单因素评判方程为矩阵R(根据实验数据对各方案、各行单因素评判),各因素权重A(根据各因素重要程度设置相应权数) B1=A·R → 将B1归一化为B → 将B中元素由0→1基础离散 C为列向量,则最佳方案为Y=B·C*100%

集宁区15824398924： 模糊数学法 - 搜狗百科？
璩言玉屏：[答案] 一般来说普通数学只能解决十分精确的问题,比如一个东西长度是多少,宽度是多少等等,多为客观的判断. 模糊数学是利用给定的条件,来进行类似主观的判断,比如一个人是高还是矮,是胖还是瘦,是像他父亲还是像母亲等等. 记得我们考模糊数...

集宁区15824398924： 模糊数学是什么?能举个例子吗?谢谢麻烦告诉我 - ？
璩言玉屏： 再举一个例子,我们现在要从一片西瓜地里找出一个最大的西瓜,那是件很麻烦的事.必须把西瓜地里所有的西瓜都找出来,再比较一下,才知道哪个西瓜最大.西瓜越多,工作量就越大.如果按通常说的,到西瓜地里去找一个较大的西瓜,...

集宁区15824398924： 模糊数学与人们常说的数学有何差别? - ？
璩言玉屏：[答案] 模糊数学又称FUZZY 数学.“模糊”二字译自英文“FUZZY ”一词,该词除了有模糊意思外,还有“不分明”等含意.有人主张音义兼顾译之为“乏晰”等.但他们都没有“模糊”含意深刻.模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法.模糊...

集宁区15824398924： 什么是模糊评定? ？
璩言玉屏： 应用模糊数学的方法对组成要素具有模糊量的 系统进行综合评定的一种方法.客观事物所构成的 要素往往不是简单的二位逻辑,即是或非(0或1), 相反常常是似是而非的模糊现象.模糊数学把二值 逻辑转移到连续逻辑上,把绝对的“是”与“非”变为 在适当限阈上相对划分是与非,引进了隶属度的概 念.以数学的严密性对具有模糊特征的系统作综合 评定.

集宁区15824398924： 什么是模糊数学? - ？
璩言玉屏： 模糊数学又称FUZZY 数学.“模糊”二字译自英文“FUZZY ”一词,该词除了有模糊意思外,还有“不分明”等含意.有人主张音义兼顾译之为“乏晰”等.但他们都没有“模糊”含意深刻.模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学理论...

集宁区15824398924： 模糊数学模型的介绍 - ？
璩言玉屏： 实际中,我们处理现实的数学模型可以分成三大类:第一类是确定性数学模型,即模型的背景具有确定性,对象之间具有必然的关系.第二类是随机性的数学模型,即模型的背景具有随机性和偶然性.第三类是模糊性模型,即模型的背景及关系具有模糊性.

集宁区15824398924： 模糊评价法是什么 - ？
璩言玉屏： 模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法.该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价,即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价.它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解...

集宁区15824398924： 什么是“模糊数学'? - ？
璩言玉屏： 1、模糊数学作为一个新兴的数学分支,使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科(如生物学、心理学、语言学、社会科学等)都有可能用定量化和数学化加以描述和处理,从而显示了强大的生命力和渗透力,使数学的应用范围大大扩展2、...