对数的运算性质有哪些
如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
由定义知:
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.
2对数式与指数式的互化
式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)
3对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
问:①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③对数式与指数式的比较.(学生填表)
式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数
b—
N—a—对数的底数
b—
N—运
算
性
质am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中,为什么要规定a>0,,且a≠1?
理由如下:
①若a<0,则N的某些值不存在,例如log-28?
②若a=0,则N≠0时b不存在;N=0时b不惟一,可以为任何正数?
③若a=1时,则N≠1时b不存在;N=1时b也不惟一,可以为任何正数?
为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?
解题方法技巧
1
(1)将下列指数式写成对数式:
①54=625;②2-6=164;③3x=27;④13m=5?73.
(2)将下列对数式写成指数式:
①log1216=-4;②log2128=7;
③log327=x;④lg0.01=-2;
⑤ln10=2.303;⑥lgπ=k.
解析由对数定义:ab=N?logaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解题方法
指数式与对数式的互化,必须并且只需紧紧抓住对数的定义:ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根据下列条件分别求x的值:
(1)log8x=-23;(2)log2(log5x)=0;
(3)logx27=31+log32;(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)对数式化指数式,得:x=8-23=?
(2)log5x=20=1. x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x. x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1,x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6,
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化.
②熟练应用公式:loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值;
思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值?
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.
解题技巧
有时对数运算比指数运算来得方便,因此以指数形式出现的式子,可利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算.4
设x,y均为正数,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.
解析一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应,故y是x的函数,从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题,怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
两边取对数得:lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法;而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.
∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值:
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2;
(2)2log32-log3329+log38-52log53;
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.
(2)转化为log32的关系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系,能否从中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积,且指数含常用对数,
设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx,再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4,这里a>0,b>0.
若ab=1,则a-2b<0, ∴ab=1( 舍去).
∴ab=4,
∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.
(4)设x=7lg20·12lg0.7,则
lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12
=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)
=lg7+lg2=14,
∴x=14, 故原式=14.
解题规律
①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据,对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式,运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变,为防止增根所以需要检验,如(3).
②对一个式子先求它的常用对数值,再求原式的值是代数运算中常用的方法,如(4).6
证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0);
(2)logab·logbc=logac;
(3)logab=1logba(b>0,b≠1);
(4)loganbm=mnlogab.
解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b,则ab=N,两边取以c为底的对数得:b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
(2)由(1)logbc=logaclogab.
所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.
(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.
解题规律
(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式,(2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式,既要善于正用,也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.
7
已知log67=a,3b=4,求log127.
解析依题意a,b是常数,求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能否将log127转化为以6为底的对数,进而转化为以3为底呢?
解答已知log67=a,log34=b,
∴log127=log67log612=a1+log62.
又log62=log32log36=log321+log32,
由log34=b,得2log32=b.
∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.
∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.
解题技巧
利用已知条件求对数的值,一般运用换底公式和对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这是常用的方法技巧?8
已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.
(1)求满足2x=py的p值;
(2)求与p最接近的整数值;
(3)求证:12y=1z-1x.
解析已知条件中给出了指数幂的连等式,能否引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数的方法去解答?
解答(1)解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,
∴p=log316.
解法二设3x=4y=m,取对数得:
x·lg3=lgm,ylg4=lgm,
∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.
由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,
∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.
(2)∵2=log39<log316<log327=3,
∴2<p<3.
又3-p=log327-log316=log32716,
p-2=log316-log39=log3169,
而2716<169,
∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.
∴与p最接近的整数是3.
解题思想
①提倡一题多解.不同的思路,不同的方法,应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用,既发散了思维,又提高了分析问题和解决问题的能力,何乐而不为呢?
②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1,所以真数大的对数就大,问题转化为比较两个真数的大小,这里超前应用了对数函数的单调性,以鼓励学生超前学习,自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x,y,z∈R+,
∴k>1,则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,
所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm,12y=12·lg4lgm=lg2lgm,
故12y=1z-1x.
解法二3x=4y=6z=m,
则有3=m1x①,4=m1y②,6=m1z③,
③÷①,得m1z-1x=63=2=m12y.
∴1z-1x=12y.
9
已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证:logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).
解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式,想:能否将真数中的一次式也转化为二次,进而应用a2+b2=7ab?
解答logma+b3=logm(a+b3)212=
解题技巧
①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.
②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式,以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.
∵a2+b2=7ab,
∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),
即logma+b3=12(logma+logmb).
思维拓展发散
1
数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数,就能揭示其中的奥秘.
解析由已知,对N=a×10n取常用对数得,lgN=n+lga.真数与对数有何联系?
解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10,
∴lga∈〔0,1).
我们把整数n叫做N的常用对数的首数,把lga叫做N的常用对数的尾数,它是正的纯小数或0.
小结:①lgN的首数就是N中10n的指数,尾数就是lga,0≤lga<1;
②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同,只是首数不同;
③当N≥1时,lgN的首数n比它的整数位数少1,当N∈(0,1)时,lgN的首数n是负整数,|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.
师生互动
什么叫做科学记数法?
N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系?
有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同?什么不同?
2
若lgx的首数比lg1x的首数大9,lgx的尾数比lg1x的尾数小0?380 4,且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.
解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3,1是对数的首数,0.308 3是对数的尾数,是正的纯小数;②若设lgx=n+lga,则lg1x也可表出.
解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).
又lg1x=-lgx=-(n+lga),
∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga,其中n-9是首数,lga+0?380 4是尾数,-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数,所以:
n-9=-(n+1)
lga+0.380 4=1-lga?n=4,
lga=0.308 3.
∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,
∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.
∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.
解题规律
把lgx的首数和尾数,lg1x的首数和尾数都看成未知数,根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数,尾数等于尾数,求出未知数的值,是解决这类问题的常用方法.3
计算:
(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);
(2)2lg(lga100)2+lg(lga).
解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号,如何化简?
(2)中分母已无法化简,分子能化简吗?
解题方法
认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法,不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2
=-1+12log6(4+22+3·2-3)
=-1+12log66
=-12.
(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.
4
已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.
解析已知是对数等式,要比较大小的是根式,根式能转化成指数幂,所以,对数等式应设法转化为指数式.
解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则
x=2m,y=3m,z=5m.
x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.
下面只需比较2与33,55的大小:
(2)6=23=8,(33)6=32=9,所以2<33.
又(2)10=25=32,(55)10=52=25,
∴2>55.
∴55<2<33. 又m<0,
图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像,如图2-7-1?
解题规律
①转化的思想是一个重要的数学思想,对数与指数有着密切的关系,在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.
②比较指数相同,底不同的指数幂(底大于0)的大小,要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?
①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时,图像在第二象限从下到上,底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.
潜能挑战测试
1(1)将下列指数式化为对数式:
①73=343;②14-2=16;③e-5=m.
(2)将下列对数式化为指数式:
①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.
2计算:
(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.
3(1)已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求lg45;
(2)若lg3.127=a,求lg0.031 27.
4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()
A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()
A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x,则logMa的值为()
A若log63=0.673 1,log6x=-0.326 9, 则x为()
A若log5〔log3(log2x)〕=0,则x=.
98log87·log76·log65=.
10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.
11生态学指出:生物系统中,每输入一个营养级的能量,大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中 (Hn表示第n个营养级,n=1,2,3,4,5,6).已知对H1输入了106千焦的能量,问第几个营养级能获得100千焦的能量?
12已知x,y,z∈R+且3x=4y=6z,比较3x,4y,6z的大小.
13已知a,b均为不等于1的正数,且axby=aybx=1,求证x2=y2.
14已知2a·5b=2c·5d=10,证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).
15设集合M={x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0},若M≠?,M?{x|x<0},求实数a的取值范围.
16在张江高科技园区的上海超级计算中心内,被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.
17某工厂引进新的生产设备,预计产品的生产成本比上一年降低10%,试问经过几年,生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)
18某厂为适应改革开放,完善管理机制,满足市场需求,某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%,那么经过y季度增长到原来的x倍,则函数y=f(x)的解析式f(x)=.
名师助你成长
1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.
(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.
2.(1)48点拨:先应用积的乘方,再用对数恒等式.
(2)98点拨:应用商的乘方和对数恒等式.
(3)144点拨:应用对数运算性质和积的乘方.
3.(1)0.826 6点拨:lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).
(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a
4.C点拨:a≠0,a可能是负数,应用对数运算性质要注意对数都有意义.
5.B点拨:底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.
6.A点拨:对ab=M取以M为底的对数.
7.C点拨:注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9,
所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.
8.x=8点拨:由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.
9.5点拨:log87·log76·log65=log85, 8log85=5.
10.16点拨:关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.
由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3,得x1=12,x2=13.
11.设第n个营养级能获得100千焦的能量,
依题意:106·10100n-1=100,
化简得:107-n=102,利用同底幂相等,得7-n=2,
或者两边取常用对数也得7-n=2.
∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.
12?设3x=4y=6z=k,因为x,y,z∈R+,
所以k>1.取以k为底的对数,得:
x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.
∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,
同理得:4y=1logk44,6z=1logk66.
而33=1281,44=1264,66=1236,
∴logk33>logk44>logk66.
又k>1,33>44>66>1,
∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.
13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,
即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)
两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.
即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.
当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:
(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.
∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.
14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得:a-1=(1-b)log25.
∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).
即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.
∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),
∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).
当b=1,c=1时显然成立.
15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则
ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).
∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.
①当a=0时,解集{x|x<-1}?{x|x<0};
当a≠0时,M≠?且M?{x|x<0}.
∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根,设为x1,x2且x1<x2,则
②当a>0时,M={x|x<x1,或x>x2},显然不是{x|x<0}的子集;
③当a<0时,M={x|x1<x<x2}只要:
a<0,
Δ=4(a+1)2+8a>0,
x1+x2=2(a+1)a<0,
x1·x2=-2a>0.
解得3-2<a<0,综上所求,a的取值范围是:3-2<a≤0.
16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.
17.设经过x年,成本降为原来的40%.则
(1-10%)x=40%,两边取常用对数,得:
x·lg(1-10%)=lg40% ,
即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.
所以经过10年成本降低为原来的40%.
18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.
点拨:设原来一个季度产品为a,则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.
运算性质有哪些
1、两个数相加,交换加数的位置,和不变,a+b=b+a。2、三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。(a+b)+c=a+(b+c)。3、减去一个数,等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b);减去一个数再加上一个数,等于减去这两个数的差。a-b+c=a-(b-c);在连减中,...
五个运算定律,三个运算性质,一倍数和多倍数的关系?
三个运算性质:1. 交换律:对于运算*(即加法或乘法),a * b = b * a。2. 结合律:对于运算*,(a * b) * c = a * (b * c)。3. 分配律:对于运算*(即加法或乘法)和运算+(即加法),a * (b + c) = a * b + a * c。一倍数和多倍数的关系:所谓一数字k是另一个...
数学的运算定律公式是什么?
数学的运算定律公式是如下:1、加法交换律:一个加法算式中,两个和交换位置再相加,和不变,这就是加法的交换律。字母公式:a+b=b+a。2、加法结合律:一个加法算式中,前两个数相加或者是后两个数相加和不变,这就是加法的结合律。3、减法性质:一个数连续减去两个数,可以用这个数减去另外两...
小数的运算性质?
1、加法交换律:两个加数交换位置,和不变。这叫做加法交换律。用字母表示:a+b=b+a 2、加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。这叫做加法结合律。用字母表示:(a+b)+c= a +( b+c)3、乘法交换律:两个因数交换位置,积不变。这叫做乘法交换律。...
小学数学教师要理解“运算法则”“运算性质”“运算方法”三者的关系有...
6. 减法的性质:从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c) 。运算法则 1. 整数加法计算法则:相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。2. 整数减法计算法则:相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从...
运算性质是什么呢?
运算性质指的是:定义在某个集合上的运算所具有的性质,叫做这种运算的“运算性质”;同样的,所谓的运算定律指的是:基本的、能推导出其它运算性质的那些运算性质叫做“运算定律”。常见的乘法除法都有运算性质,比如除法运算性质一个数连续除以两个数,等于一个数除以这两个数的积。除法的运算性质:被...
四年级运算定律有哪些?
2、连减的性质:一个数连续减去两个数,等于这个数减去那两个数的和。a-b-c=a-(b+c)3、乘法运算定律:①乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变。a×b=b×a ②乘法结合律:三个数相乘,可以先把前两个数相乘,再乘以第三个数,也可以先把后两个数相乘,再乘以第一个数,...
数的运算定律有哪些?
A+B=B+A A+B+C=A+C+B=C+B+A 2、结合律 先把前两个数相加,或者把后两个数相加,和不变,这叫做加法结合律。(A+B)+C=A+(B+C)五年级下册数学全部的运算定律和性质有哪些 ①加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。 a+b=b+a ②加法结合律:三个数相加,先把前两个...
小数乘除法的运算性质都有哪些?
1、将相同的数加起来使用乘法。例如:将5个8连续加起来就可以使用乘法5×8=40计算。2、计算倍数可以使用乘法。例如:将一个面积为4平方米的正方形放大8倍是多少,可以使用乘法4×8=32计算。二、除法 已知两个因数的积与其中一个非零因数,求另一个因数的情况下使用除法。例如:A×B=30,A=5,...
小学数学性质都有哪些
一、数与代数的基本性质 1. 数字的基本性质:包括整数、小数、分数等的性质和运算规则。例如,整数的加减法性质、小数的基本运算规则、分数的通分与约分等。这些性质是数学运算的基础,对于培养学生的数学运算能力至关重要。二、几何图形的性质 2. 平面图形的性质:包括直线、线段、角、三角形等的性质。
殷勤娣雪山:[答案] 基本性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:1、a^log(a)(b)=b2、log(a)(a)=13、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n(注:^均为上标符号,例:a...
大兴安岭地区18274061289: 对数的运算性质 - ?
殷勤娣雪山:[答案] 基本性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:1、a^log(a) N=N (对数恒等式) 证:设log(a) N=t,(t∈R) 则有a^t=Na^(log(a)N)=a^t=N.即证.[2] 2、log(a) a=1 证:因为a^b=a^b ...
大兴安岭地区18274061289: 对数有什么运算性质 - ?
殷勤娣雪山: 基本性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:1、a^log(a)(b)=b2、log(a)(a)=13、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n(注:^均为上标符号,例:a^1即为a) 7、换底公式: log(a)(N)=log(b){N}÷log(b){a} 8、log(a){b}=1/log(b){a}
大兴安岭地区18274061289: 对数函数的公式有?及其性质. - ?
殷勤娣雪山:[答案] 对数的定义和运算性质 一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 底数则要大于0且不为1 对数的运算性质: 当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么: (...
大兴安岭地区18274061289: 对数函数的性质及运算 - ?
殷勤娣雪山:[答案] 性质 y=loga(x) (1)定义域 x>0 (2)值域 R (3) a>1,在定义域内是增函数,0(4)过定点(1,0) (5)是非奇非偶函数 对数函数没有啥运算 对数有运算法则 loga(M)+loga(N)=loga(MN) loga(M)-loga(N)=loga(M-N) nloga(M)=loga(M^n)
大兴安岭地区18274061289: 对数函数性质 - ?
殷勤娣雪山: 对数函数性质: 值域:实数集R,显然对数函数无界; 定点:对数函数的函数图像恒过定点(1,0); 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数; 0<a<1时,在定义域上为单调减函数; 奇偶性:非奇非偶函数 周期性:不是周期函数 对称性:无 最值:无 零点:x=1 扩展资料:对数函数的运算性质 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 底数则要>0且≠1 真数>0 并且,在比较两个函数值时: 如果底数一样,真数越大,函数值越大.(a>1时) 如果底数一样,真数越小,函数值越大.(0<a<1时) 参考资料来源:搜狗百科-对数函数
大兴安岭地区18274061289: 对数函数的运算性质 - ?
殷勤娣雪山: 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.底数则要>0且≠1 真数>0 并且,在比较两个函数值时:如果底数一样,真数越大,函数值越大.(a>1时) 如果底数一样,真数越小,函数值越大.(0<a<1时) 当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么: 推导:设 所以 两边取对数,则有 即 又因为 所以
大兴安岭地区18274061289: 对数的性质及推导 - ?
殷勤娣雪山:[答案] 是指它的运算性质吗? 积的对数=对数的和; 商的对数=对数的差; 幂的对数=指数*对数
大兴安岭地区18274061289: 对数的运算法则 - ?
殷勤娣雪山:[答案] 基本性质:1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)推导 1、因为n=log(a)(b),代入则a^...