最小二乘法公式的推导过程
设:y = at + b (1)
E(y) = aE(t) + b (2)
E(yt)= aE(t²) + bE(t) (3)
E(y) = 26.0625
E(t) = 3.5
3.5a + b = 26.0625 (4)
由(3)可以得到一个关于a、b的方程:
17.5a + 3.5b = 89.625 (5)
3.5a + b = 26.0625 (4)
联立(4),(5) 解出:
a = -0.3035
b = 27.125
最后得到: y = -0.3035...t + 27.125 (6)
而相关系数: r =-0.9813 (7)
实际上方程(2),(3) 就是由最小二乘法导出的求取拟合参数a,b的方程。
求得相关系数为负值,是因为随时间t的增加,刀具厚度变小的原因!
|r|值很接近1,试验数据真实有效!
最小二乘法
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym);将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中:a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。
(式1-4)
(式1-5)
亦即:
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出:
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:数学模型。
在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于 1 越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) *
在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数;Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法
从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤.
考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系数 , 的方法称为最小二乘法.
由极值原理得 , 即
解此联立方程得
(*)
参考资料:http://baike.baidu.com/view/139822.htm
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中:a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)²最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。
(式1-4)
(式1-5)
亦即
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出:
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:数学模型。
在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于 1 越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) *
在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数;Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法
从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤.
考虑函数, 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系数, 的方法称为最小二乘法.
由极值原理得 , 即
解此联立方程得
(*)
问题 I 为研究某一化学反应过程中, 温度 ℃)对产品得率 (%)的影响, 测得数据如下:
温度 ℃)
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率 (%)
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
(1) 利用“ListPlot”函数, 绘出数据 的散点图(采用格式: ListPlot[{ , , …, }, Prolog->AbsolutePointSize[3]] );
(2) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 注意观察有何特征? (采用格式: Show[Graphics[Line[{ , , …, }]] , Axes->True ]) ;
(3) 根据公式(*), 利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序, 求经验公式;
(程序编写思路为: 任意给定两个集合A (此处表示温度)、B(此处表示得率), 由公式(*)可定义两个二元函数(集合A和B为其变量)分别表示 和 . 集合A元素求和: Apply[Plus,A] 表示将加法施加到集合A上, 即各元素相加, 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的个数, 即为n; A.B表示两集合元素相乘相加;A*B表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合.)
(4) 在同一张图中显示直线 及散点图;
(5) 估计温度为200时产品得率.
然而, 不少实际问题的观测数据 , , …, 的散点图明显地不能用线性关系来描叙, 但确实散落在某一曲线近旁, 这时可以根据散点图的轮廓和实际经验, 选一条曲线来近似表达 与 的相互关系.
问题 II 下表是美国旧轿车价格的调查资料, 今以 表示轿车的使用年数, (美元)表示相应的平均价格, 求 与 之间的关系.
最小二乘法公式是什么
最小二乘法公式是一个数学的公式,在数学上称为曲线拟合,不仅仅包括线性回归方程,还包括矩阵的最小二乘法其最小二乘法公式为a=y(平均)-b*x(平均)。推到线性回归方程的一种方法,y=ax+b,也就是把a和b求出来。求出x和y的样本均值点b的公式如下,求出b这个方程必然经过x和y的均值点,带...
最小二乘法公式推导过程
假设现在有n对坐标系中的点 现在要做k阶多项式拟合,多项式函数如下 将已知的观测点数据代入上述公式得到如下n组等式:...最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数...
数学'最小二乘法'公式是什么
最小二乘法利用在减少误差上,所以必定有多组数据关于X.Y的。设为N组。所以 ∑(Y)=b∑(X)+N*a ∑(X*Y)=b∑(X*X)+a∑(X)∑为连加,就是把后面字母对应的数据都加起来!如数据X=1.2.3.4.5,则∑(X)=1+2+3+4+5=15 数据Y=2.3.4.5.6 则∑(Y)=2+3+4+5+6=20 ∑(...
什么是最小二乘法?
aver_xx$ 是 $x^2$ 的均值 斜率 $m$ 的表达式为:对于截距 $b$ 的表达式:这些表达式是用数据集的均值来估计直线拟合的斜率和截距的方法。在简单线性回归中,这些表达式提供了一个直观且简单的方式来计算拟合直线的参数。五、为什么可以用均值替代 在最小二乘法的推导中,我们通过对误差平方和 $S...
最小二乘法计算公式是什么
其次,它具有无偏性,即估计量的期望值与总体的真实参数相一致。最后,最小二乘估计量具有最小方差性,即在所有线性无偏估计中,它的方差最小,被认为是最佳的,这是由高斯-马尔可夫定理所保证的。总的来说,最小二乘法公式和其背后的原理为我们提供了一种有效的方法,用于拟合数据并得出最接近实际的...
如何理解最小二乘法的求解过程?
如果题干没有歧义,上\/下界也可以忽略不写。而Σ的作用域仅仅为后面的第一个式子,这里的式子可以理解为一个“乘除表达式”,而非“加减表达式”,这也是记忆该最小二乘法计算方法的关键!该公式的计算步骤在追问&追答中有,下面补充一个例子。问:设n=2,k1=3,k2=6,h=5。求Σki+h、Σ(ki+...
最小二乘估计 公式推导过程 详细点的 知道的说下不要说得太深奥了 要...
下图从总体中抽出的样本所对应的点,蓝色直线表示回归线,这条线就是用最小二乘的方法作出来的,方法就是使各点与所作出的直线的距离的平方和最小,这就使最小二乘法。为了更好理解一些,先从最简单的一次函数y=kx+b讲起 已知坐标轴上有些点(1.1,2.0),(2.1,3.2),(3,4.0),(4,6),...
最小二乘法步骤和原理
指导意义不能满足要求。如果用误差的绝对值来计算的话,那应该好一些。但由于函数计算中,绝对值的和的计算和分析是比较复杂的,也不易。所以,人们发明了用误差的平方来作为拟合的指标,由于平方总是正的,在统计计算中比较方便,所以误差的最小平方和(最小二乘法)就应运而生了。
最小二乘法的原理是什么?
最小二乘法原理:找出一条直线使得所有图上面的点纵坐标的差值的平方和最小,其实也是方差最小。最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小...
最小二乘法公式
该公式是数学上用于曲线拟合的一种方法,尤其常用于线性回归方程中。最小二乘法公式其基本思想是通过最小化实际值与估计值之差的平方和来找到最佳拟合的参数值。在数学上,这通常通过最小化实际值与估计值之差的平方和来实现,因此称为最小二乘法。最小二乘法公式是一种强大的数学工具,用于从数据中...
集码吲哚:[答案] 最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配.最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小.最小二乘法通常用于曲线拟合.很多其他的优化问题也...
济南市17864686851: 最小平方法(最小二乘法)是怎么推导出来的! - ?
集码吲哚:[答案] 最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配. 最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小. 最小二乘法通常用于曲线拟合.很多其他的优化问题也可通过最小化能量或...
济南市17864686851: 最小2乘法公式推导过程 - ?
集码吲哚: http://baike.baidu.com/view/139822.htm?fr=ala0_1_1
济南市17864686851: 普通最小二乘估计量b1的方差 var(b1)=(∑X^2/n∑x^2)*σ2公式怎么推导? - ?
集码吲哚: 在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1.x2,y2... xm,ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1). Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其...
济南市17864686851: 统计方面 最小二乘法a b是怎么算出来的? - ?
集码吲哚:[答案] 最小二乘法公式 ∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平 ∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2 最小二乘法原...
济南市17864686851: 最小二乘法拟合直线的公式是什么,如何推导的?已知一些离散点(xi,yi),如何拟合直线y=kx+b,也就是确定系数k和b呢?如何推导?公式是什么? - ?
集码吲哚:[答案] ∑(Yi-b-kXi)=0 ∑(Yi-b-kXi)Xi=0 或∑Yi=nb-k∑Xi ∑YiXi=b∑Xi+k∑(Xi^2) 解得, k=(n∑YiXi-∑Yi∑Xi)/[n∑(Xi^2)-(∑Xi)^2] ... n为样本容量,原理是利用残差平方和最小来估计回归系数.取最小值是利用残差平方和的大小依赖于k、b的取值,对k、b求偏...
济南市17864686851: 最小平方法(最小二乘法)是怎么推导出来的!统计学里的.说得越明白越好 - ?
集码吲哚:[答案] 最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配. 最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小. 最小二乘法通常用于曲线拟合.很多其他的优化问题...
济南市17864686851: 最小二乘法怎么来的,推导怎么推导的? - ?
集码吲哚: 最小二乘法原理在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1). ...