已知函数f（x）=ln x-bx（b为实数）（1）若b=-1，求函数f（x）的极值；（2）若函数M（x）满足M（x）≥N（
（1）f '(x)=3x²＋2ax＋b
由已知得 f '(1)=3×1²＋2a×1＋b＝2a+b+3=0
f '(-1)=3(-1)²＋2a(-1)＋b=-2a+b+3=0
b=-3,a=0
(2)由（1）知f(x)=x³－3x
∴g’(x)=x³－3x＋2＝（x-1)²(x＋1）
令g‘（x）＝0 即（x-1)²(x＋1）＝0 得x=1,或x＝－1即为所求
解：
（1）f'(x)=3x^2-6ax-b
f'(1)=3-6a-b=0, f(1)=1-3a-b=2
a=4/3，b=-5。
（2）f'(x)=3( x^2-2ax-3a )
[-1,2]上 f'(x)<0，
a+(a^2+3a)^(1/2) ≥ 2
a-(a^2+3a)^(1/2) ≤ -1
⊿=4a^2+12a>0
解得：a≥1。
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| x?1 |
| x2 |
令f′（x）=0，则x=1，
由于当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
故函数f（x）在x=1处取得极小值，且极小值为1；
（2）①由“上界函数”定义知，函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”?f（x）≥g（x）在其定义域上恒成立，
即ln x-
| b |
| x |
| b |
| x |
令H（x）=2ln x-
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| b |
| x2 |
| 2x+b |
| x2 |
当b≥0时，H′（x）＞0，则H（x）=2ln x-
| b |
| x |
| b |
| x |
当b＜0时，令H′（x）＞0，得到x＞?
| b |
| 2 |
则H（x）=2ln x-
| b |
| x |
| b |
| 2 |
| b |
| 2 |
故（2ln x-
| b |
| x |
| b |
| 2 |
| b | ||
?
|
| b |
| 2 |
| 2 |
| e |
故若函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”，b的取值范围为b≤?
| 2 |
| e |
②证明：由于b=0，则f（x）=ln x，又由函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数F（x）=ex，
当x∈（-2，+∞）时，令G（x）=F（x）?[f(
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 1 |
| x+2 |
| 1 |
| 2 |
若令G′（x）=0，解得x=0，故G（x）在（-2，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，
则[G(x)]最小值＝G(0)＝e0?ln1?1＝0
故当x∈（-2，+∞）时，G（x）≥0恒成立，
即当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f(
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
（1）由于b=-1，则函数f（x）=ln x+
1
x
，得到f′(x)＝
1
x
?
1
x2
＝
x?1
x2
令f′（x）=0，则x=1，
由于当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
故函数f（x）在x=1处取得极小值，且极小值为1；
（2）①由“上界函数”定义知，函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”?f（x）≥g（x）在其定义域上恒成立，
即ln x-
b
x
≥-lnx，亦即2ln x-
b
x
≥0在（0，+∞）上恒成立，
令H（x）=2ln x-
b
x
，则H′(x)＝
2
x
+
b
x2
＝
2x+b
x2
，
当b≥0时，H′（x）＞0，则H（x）=2ln x-
b
x
在（0，+∞）上递增，显然不满足（2ln x-
b
x
）极小值≥0；
当b＜0时，令H′（x）＞0，得到x＞?
b
2
则H（x）=2ln x-
b
x
在（0，-
b
2
）上递减，在（-
b
2
，+∞）上递增，
故（2ln x-
b
x
）极小值=2ln（?
b
2
）-
b
?
b
2
=2ln（?
b
2
）+2≥0，解得b≤?
2
e
，
故若函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”，b的取值范围为b≤?
2
e
；
②证明：由于b=0，则f（x）=ln x，又由函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数F（x）=ex，
当x∈（-2，+∞）时，令G（x）=F（x）?[f(
x
2
+1)+
x
2
+1]＝ex?ln(
x
2
+1)?
x
2
?1，则G′(x)＝ex?
1
x+2
?
1
2
若令G′（x）=0，解得x=0，故G（x）在（-2，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，
则[G(x)]最小值＝G(0)＝e0?ln1?1＝0
故当x∈（-2，+∞）时，G（x）≥0恒成立，
即当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f(
x
2
+1)+
x
2
+1的一个“上界函数”．
已知函数f(x)=aln(1+ex)-(a+1)x.(1)已知f(x)满足下面两个条件,求a的取...
（1）f'（x）=a?ex1+ex-a-1=?a+1+ex1+ex，接下来分两步：㈠、先考虑条件①：（i）当a+1≥0时，即a≥-1时，可得f'（x）＜0在R上恒成立，故f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，与题意不符．（ii）当a+1＜0时，即a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1...
f(x)属于l是什么意思
在数学领域中，f(x)属于L通常指的是函数f(x)属于Lebesgue可测函数的集合L。Lebesgue可测函数是指在测度论下，满足Lebesgue测度可测性质的函数。这种函数在实际中有很多应用，例如在概率论和统计学中的随机变量等。除了在数学领域中，f(x)属于L还有其他的解释。例如在编程中，L通常指的是程序中的数据...
证明极限的方法
证明极限的方法如下：1、ε-δ定义法：这是一种常用的证明极限的方法。对于给定的函数f(x)和极限L，如果对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，那么我们就可以说极限存在，并记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。2、夹逼...
已知定义在R上的函数f(x)=lxl ,则f(x)
f(-x)=l-xl=lxl=f(x)所以是 偶函数 ，但是增减性是根据区间来说的，如果在区间R上，既不是 增函数 ，也不是 减函数 ，所以 无法选择 答案，一定要给个区间才行。
指出下列函数的单调区间及单调性。(1)f(x)=lxl(2)f(x)=x3
(1)f(x)=-x(x<=0)x(x>=0)减:(-oo,0）增：（0,+oo)(2)增：（-oo，+oo）
已知函数f(x)=lx+1l+lx+2l+L+lx+2011l+lx-1l+lx-2l+L+lx-2011l,f(a2...
这样的函数 自己体会 那么当lxl＞1 与f（x）相等的只有f（-x）而任取lx1l≤1 lx2l≤1 f（x1）=f（x2）那么 首选满足a2-3a+2≤1 a-1≤1 的整数a就一定成立 a=1、2均可以 a≠1、2时 再解|a^2-3a+2|=|a-1| 只有a=3成立 故 a1+a2+a3=6 其实这道题大...
极限运算的六个法则是什么?
6、复合函数法则：若函数g（x）在点a处有一个极限lim（x→a）g（x）=L，并且函数f（x）在点L处有一个极限lim（y→L）f（y）=M，则lim（x→a）f（g（x））=M。也就是说，如果两个函数的极限存在，并且满足复合关系，那么复合函数的极限等于这两个函数的极限的组合。极限的定义 1、对于...
已知函数f(x)=log a (x+1=,g(x)=log a (1-x) (a大于0且a不等于1).1...
∴f(x)+g(x) 的定义域是x∈（-1，1）2. 当0＜a≠1,且x∈（-1，1）时，.令H(x)＝ f(x)+g(x) ＝l...,2,已知函数f(x)=log a (x+1=,g(x)=log a (1-x) (a大于0且a不等于1）.1,求函数f(x)+g(x)的定义域；2,判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由.
已知函数f(x)=丨2^x-1丨,(x∈R)若关于x的方程丨2^x-1丨=k,k有两解...
解 方程l 2^x-1 l=k有解，首先必须满足k>=0。再将方程两边同时平方 （2^x)^2-2*(2^x)+(1-k^2)=0 令2^x=t，则t>0。要使方程t^2-2t+(1-k^2)=0 有2个解且都大于0，必须满足：（1）△=4-4（1-k^2)>0 解得 k≠0 （2）f(0)>0 即 1-k^2>0 解得 -1<k<1...
设f(x)是以L为周期的连续函数,证明f(x)在[a,a+L]的定积分值与a无关
令 F(a)=∫f(x)dx,两边对a求导有 F'(a)=f(a+L) - f(a) = f(a)-f(a)=0 这说明F(a)是一个常数 令a=0有,F(a)=F(0))=∫f(x)dx,是一个常函数,以a无关
磨家杞菊：[答案] 问题1:由于y=f(x)图象上的点(1,2)处的切线斜率为0;所以(2,1)在该函数上,可得: ln(1)-b*(1)^2+a(1) = 2 => 0-b+a=2; 该函数斜率为 对函数求导:1/x-2bx+a ;当x=1时,1/x-2bx+a=0; => 1-2b+a=0; 有上述两个等式可得:a=5; b=3; 然后将a,b...
连江县17180522512： 已知函数f(x)=lnx - bx^2+ax(a,b属于实数) - ？
磨家杞菊： 解答:问题1:由于y=f(x)图象上的点(1,2)处的切线斜率为0;所以(2,1)在该函数上,可得: ln(1)-b*(1)^2+a(1) = 2 => 0-b+a=2;该函数斜率为 对函数求导:1/x-2bx+a ;当x=1时,1/x-2bx+a=0; => 1-2b+a=0; 有上述两个等式可得:a=5; b=...
连江县17180522512： 已知函数f(x)=x - ln(x+a)的最小值为0,其中a>0. 若对任的x∈[0,+∞),有f( - ？
磨家杞菊： :(1)函数的定义域为(-a,+∞),求导函数可得 令f′(x)=0,可得x=1-a>-a 令f′(x)>0,x>-a可得x>1-a;令f′(x)-a可得-a∴x=1-a时,函数取得极小值且为最小值 ∵函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0, ∴f(1-a)=1-a-0,解得a=1.(2)解:当k≤0时,取x=1,有f(1)=1-...
连江县17180522512： 已知函数f(x)=ln x - a2x2+ax(a∈R).若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围 - ？
磨家杞菊： ∵f′(x)=-2a2x2?ax?1 x =-(2ax+1)(ax?1) x ①当a=0时,不成立. ②当a>0时,f'(x)1 a ,∴1 a ≤1,a≥1. ③当a-1 2a ,∴-1 2a ≤1,a≤-1 2 综上得:a∈(-∞,-1 2 ]∪[1,+∞)(12分)
连江县17180522512： 已知函数f(x)=ln x -- ？
磨家杞菊： f(x)=lnx-1=-1lnx
连江县17180522512： 已知函数f(x)=lnx - ax^2 - bx - ？
磨家杞菊： f(x)=lnx-ax^2-bx x>0 f'(x)=(-2ax2-bx+1)/x 增函数 f'(x)=(-2ax2-bx+1)/x>0 2x2-bx+1>0 b<2x+1/x 而2x+1/x≥2√2 所以b<2√2
连江县17180522512： 数列问题,函数f(x)=lnx - x..... - ？
磨家杞菊： (1) f(x)=lnx-x (x>0),f'(x)=1/x-1=-(x-1)/x 令f'(x)≥0,那么0<x≤1;令f'(x)<0,那么x>1 所以f(x)在(0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减 ∴f(x)≤f(x)max=f(1)=0-1=-1,得证(2) a(n+1)=1/(2-an) ∴a(n+1)-1=1/(2-an)-1=(an-1)/(2-an) ∴1/[a(n+1)-1]=(2-an)/(an-...
连江县17180522512： 已知函数f(x)=ln(ax - bx)(a>1>b>0).(1)判断函数f(x)在其定义域内的单调性(2)若函数f(x) - ？
磨家杞菊： (1)要使函数有意义,则ax-bx>0,∴( a b)x>1,∵a>1>b>0,∴ a b >1,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).设x2>x1>0,∵a>1>b>0,∴ax2>ax1,bx1>bx2,则-bx2>-bx1,∴ax2-bx2>ax1-bx1>0,∴ax2-bx2 ax1-bx1>1.∵函数y=lgx在定义域上是增函数,∴f(x2)-f(x...
连江县17180522512： 已知函数f(x)=ln(x^2 - 2x+a)当a=1,求fx的定义域和值域若a>1,且函数fx在【 - 1,4】上的最小值为1,求a的值 - ？
磨家杞菊：[答案] 当a=1时,函数为: f(x)=ln(x²-2x+1) =ln(x-1)² 函数定义域为:x≠1 当a>1时,函数导数为: f′(x)=(2x-2)/(x²-2x+a) 当x=1时,函数有最小值: f(1)=ln(a-1) ∴ln(a-1)=1 a-1=e a=e+1
连江县17180522512： 已知函数f(x)=ln(ax - bx)(0<b<1<a)(Ⅰ)求函数f(x)的定义域G,并判断f(x)在G上的单调性;( - ？
磨家杞菊： (Ⅰ)由ax-bx>0,得(ab)x>1,由于0<b<1<a,则ab>1,即有x>0,则定义域为(0,+∞);由于0<b<1<...
