浅谈积分方程（1）——认识积分方程
封面插图：一幅废弃的李港铁路线，如今已重生为李七庄铁路公园，记录着历史的变迁。时间定格在2022年5月15日，由摄影师free光阴似箭在天津市西青区的这片绿色空间中捕捉。
引言
这个关于积分方程的话题，我曾打算在两年前提笔，但现实的种种因素让我一再推迟。如今，时机成熟，我决定弥补这份遗憾。本文虽名为浅谈，但内容主要源于B站，实质上是对这个主题的系统整理和分享。在知乎上，关于积分方程的知识并不丰富，因此，这篇文章不仅是为了科普，也是为了拓宽大家的视野。言归正传，我们开始深入探索积分方程的世界。
起源与定义
积分方程的诞生源于物理世界的复杂挑战，物理学家在求解难题时，数学家的智慧逐渐累积，发展出了今天的理论。高等数学中，我们曾接触过线性常微分方程，比如（1-0.2）式，它便是一个积分方程。我们的目标并非仅限于此，而是通过非微分方程的方法去理解它。
四大基本积分方程
积分方程定义为在积分号下含有未知函数的等式。以下是四种常见的积分方程：
- 第一类Fredholm方程：（1-1.1），第二类Fredholm方程：（1-1.2），它们由瑞典数学家Fredholm创立，积分限固定。进一步，当积分限变为变量，我们有第一类Volterra方程（1-1.3）和第二类Volterra方程（1-1.4），其中（1-0.2）式即属于第一类Volterra方程，它们都属于线性方程范畴。
线性算子的世界
函数的映射可以视为算子的基础，如微分算子和积分算子。线性算子遵守简单的线性性质。将（1-1.1）中的表达式替换为线性算子组合，我们可以验证其线性性。这四个积分方程也因此具备线性特征。
微分方程与积分方程的桥梁
积分方程与微分方程之间存在着深刻的联系。例如，我们可以通过连续积分将带初值的线性微分方程转化为积分方程，通过反复转化，我们发现微分方程与Volterra积分方程相互转化的可能。这个过程揭示了两者之间的转化机制。
习题与思考
在回顾了理论基础后，我们通过习题来巩固理解。试着验证积分方程的解，将微分方程转换为积分方程，这不仅检验了你的掌握程度，也为下一章的深入探索铺平道路。现在，让我们开始挑战这些题目，将理论付诸实践。
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全国化学竞赛
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高中生应该会做的化学实验
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高中化学竞赛大纲和重要的知识点
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逯阮塞兰： 积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程,与微分方程相对.许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解.积分方程是近代数学的一个重要分支.数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都可以归结为积分方程问题.正是因为这...
安县17541397574： 微积分是什么,微分方程,积分方程又是什么,麻烦谁可以讲解一下啥?？
逯阮塞兰： 微积分就是用来求微分方程和积分方程 微分就是求微,即求导 积分就是求积,是求导的逆过程,不定积分时记住加常数C (有这样的题目可以找我,我是数学专业的)
安县17541397574： 积分方程的发展 - ？
逯阮塞兰： D.希尔伯特和E.施密特对第二种弗雷德霍姆积分方程做了重要的工作,特别是关于对称核积分方程的特征值存在性,对称核关于特征函数序列的展开,以及希尔伯特 -施密特展开定理等.至于第一种弗雷德霍姆积分方程,早在1828年就为G.格林...
安县17541397574： 定积分方程 - ？
逯阮塞兰： 若L和Q是常数,是不能求解的 若L和Q是某个变量z的函数,可以两边对这个变量求导得出 t(L(z))L'(z)=Q'(z) 可用代换L(z)=x解出t(x)的表达式
安县17541397574： 什么是广义积分,什么是超越方程?？
逯阮塞兰： 广义积分 积分区间为无限,按照定积分的定义,这两种情形的积分都是没有意义的.但是为了把定积分的概念推广到这两种情形,就定义: 设函数f(x)在[a,+无穷)有定义,且在任意有限区间[a,A]上可积.若极限 lim(A->+无穷)积分符号(...
安县17541397574： 求助高手 解一个积分方程 - ？
逯阮塞兰： 由于积分与微分是两种互逆运算,可以考虑把这类方程转化为微分方程进行求解其理论依据由以下给出. 对含参变量积分方程的求解问题进行了讨论,给出了将这类方程化为微分方程的理论依据,指出了求解此类问题的一般方法,并明确提出 在原方程中寻找初始条件的问题,这对于学生进一步理解微分与积分的关系,求解此类方程很有帮助. 考虑一类垂直断层效应反演问题,其数学模型是具有解析核的第一类积分方程.因其不适定性,获得它的稳定解非常困难.为获得其数值解 ,通过积分变换和变量代换,将其转化为一维Hausdorff矩同题进行求解,获得了近似解的误差估计.数值算例显示了算法的有效性.
安县17541397574： 积分(微分方程) - ？
逯阮塞兰： u' = x^(-3) .e^(-1/x^2) u = ∫ x^(-3) .e^(-1/x^2) dx= (1/2)∫ de^(-1/x^2) = (1/2)e^(-1/x^2) +C
安县17541397574： 数学:全积分,究竟是什么样的概念? - ？
逯阮塞兰： n个自变量的一阶非线性偏微分方程的含有n个独立常数的解.例如,两个自变量的一阶非线性方程的包含两个独立常数的解称为方程(1)的全积分.在两参数曲面族(2)中选取单参数曲面族,例如,b=v(a)时,单参数曲面族的包络可由方程Φa+Φbv′(a)=0解出a=a(x,y)代入(3)得出,即这个包络是不含任意常数但与函数v的选取有关(因a=a(x,y)是由v的选取决定的)的解,这种含有任意函数v的解(4)称为方程(1)的通解;
安县17541397574： 积分方程求解 - ？
逯阮塞兰： 1、你这是有阻力情况下的下落物体运动方程吧?应该加上一个初速度为零的条件.dv/(9.8-cv)=dt 积分:-(1/c)ln(9.8-cv)=t+c1,c1是积分常数.由初始条件:t=0时,v=0,得 c1=-(1/c)ln9.8.ct=-ln[(9.8-cv)/9.8],v=(9.8/c)exp(-ct).令t→∞,v→49m/s,得c=0.2.2、为简化问题一般设c是不变的,实际情况比较复杂,一般是要随时间变化的.
安县17541397574： 微积分和微分方程的区别? - ？
逯阮塞兰： 微分方程是微积分的一个方面,就像几何学是数学的一个方面一样
