初中数学 如图，在在△PAB中，点C、D在边AB上，PC=PD=CD，∠APB=120°

如图，在△PAB中，点C、D在边AB上，PC=PD=CD，∠APB=120°。 （1）试说明△APC与△PBD相似~

解：（1）证得△APC∽△PBD；（2）由（1）得 ，∴ ，∴y= （x＞0）；（3）2β-α=180°。

解；
∵PC＝PD＝CD
∴△PCD是等边三角形
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°
∴∠ACP＝∠BDP＝120°
∴∠APC＋∠PAC＝180°－∠ACP＝60°
∵∠APB＝120°
∴∠APC＋∠BPD＝120°－∠CPD＝60°
∴∠BPD＝∠PAC（等量代换）
又∠ACP＝∠PDB＝120°
∴△ACP∽△PDB
∴AC／CP＝PD／BD
∴CP×PD＝AC×BD
∵CP＝PD＝CD
∴CD²＝AC×BD

(1)相似
根据题意我们知道△PCD为等边三角形，∠APB=120°
所以有，∠APC+∠DPB=60°
而∠APC+∠A=60°，∠B+∠DPB=60°
所以，∠A=∠DPB ，∠APC=∠B
所以）△APC与△PBD相似
（2）△PAB与△CAP △PAB与△DPB

（1）△APC∽△PBD，理由如下：
∵PC＝PD＝CD，∴△PCD是等边三角形，∴∠CPD＝∠PCD＝∠PDC＝60°
∴∠APC＋∠A＝60°
又∠APB＝120°，∴∠APC＋∠DPB＝60°
∴∠A＝∠DPB，又∠PCD＝∠PDC＝60°
∴∠PCA＝∠PDB＝120°
∴△APC∽△PBD
（2）△APC∽△PBD∽△PAB

因为∠APB=120
所以∠A+∠B=60
∠ACP为∠PCD外角 所以也是120
所以∠A+∠APC=120
得到∠APC=∠B
同理得∠A=∠DPB

所以三角形APC相似与三角形PAB，也形似与三角形PBD

(1)不一定
（2）AP=PB时，AOC相似PBD相似APB
APD相似PBC

由特殊角60°（∠CPD）对特殊角120°（∠APB）的分割，引导启发学生把∠APB分成α、60°、这三个角（α+β=60°），并寻找含有α、β、120°的三个三角形，从而有△APC∽△PBD∽△ABP，则有PA2=AC·AB、PB2=PD·AB，则可证得PA2PB2=xy

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丹泉石椒： (1)△APC∽△PBD,理由如下:∵PC=PD=CD,∴△PCD是等边三角形,∴∠CPD=∠PCD=∠PDC=60° ∴∠APC+∠A=60° 又∠APB=120°,∴∠APC+∠DPB=60° ∴∠A=∠DPB,又∠PCD=∠PDC=60° ∴∠PCA=∠PDB=120° ∴△APC∽△PBD (2)△APC∽△PBD∽△PAB

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