锐角三角形三个内角的正切值的积大于1证明
解析:
利用三角函数的定义,把tanA•tanB用线段的比表示,实现边角的相互转化,即可证明
证明:
以∠A、∠B为例证明,如图
以AB为直径作半圆,则点C必在圆外.设半圆交高CD于点M.
∴tanA•tanB=(CD/AD)•(CD/DB)>(MD/AD)•(MD/DB)=(MD²)/(AD•DB)
∵AB为直径
∴∠AMB=90°,且MD⊥AB
易证△AMD∽△BMD
∴AD/MD=MD/DB
即MD²=AD•DB
∴tanA•tanB>1
90°角为π/2弧度
可以使用泰勒展开得到
tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!
显然减去x之后,后面的项都是正数,当然大于0
或者(tanx-x)'=1/cos²x -1=(1-cos²x)/cos²x
锐角时导数恒大于0,而tan0 -0=0
即tanx-x恒大于0,得到锐角的正切值大于弧度值
化简得:tanAtanBtanC=tanA + tanB + tanC
又因为A,B,C都是锐角所以必有一个大于45°,否则A+B+C<135≠180°。
所以 : tanAtanBtanC=tanA + tanB + tanC>1
冬夏令营
泡泡首页 | 泡泡幼儿英语 | 泡泡少儿英语 | 泡泡数学 | 泡泡作文 | 泡泡美术 | 泡泡舞蹈 | 泡泡夏令营
第五届POP全国少儿英语风采北京地区大赛 | 五一“我能我行”亲子拓展营(投票结果出来了)
咨询电话:010-62605757-2067 | 少儿专线:010-62684499
您的位置:泡泡少儿教育 >> POP少儿-奥数 >> 几何专题解析
三角形等积变形的应用
时间:2009-12-25 作者: 来源:北京新东方
①等底等高的两个三角形面积相等.
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
③夹在一组平行线之间的等积变形
如;
反之如果
则可知直线平行于
上述的几个性质是小学三角形面积的基础,可以说,绝大部分的求面积题目都是由这几个基本性质变化来的,包括求面积常用的几何五大模型,也是这几个性质的更高层次应用。
下面给大家看两个最常见的用等积变形性质解决的例题:
【例1】如图,已知三角形面积为1,延长至,使;延长至,使;延长至,使,求三角形的面积.
分析:本题是性质的反复使用
连接AE、CD.
同理可得其它,最后三角形的面积=18.
例2】如图,四边形的面积是66平方米,,,,,求四边形的面积。
分析:连接 设
∵
又∵
∴
同理
∴
连接AC,同理
∴
(平方米)
一个三角形中肯定有什么角?最多有几个直角
肯定有锐角,只有一个直角。一个三角形中有三个角,最少有两个锐角,这三个角可以分为下列三种情况:1、三个锐角 2、一个钝角加两个锐角 3、一个直角加两个锐角,所以一个三角形中最多只能出现一个直角!
在一个三角形里面画多少个角,才能使三个内角的和为180度?
公式:三角形 定理三角形两边的和大于第三边。推论三角形两边的差小于第三边。三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。推论1直角三角形的两个锐角互余。推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。全等三角形的对应边、对应角...
三角形的三个内角两两一定互为( ) A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D...
三角形的三个内角中,每两个内角都可以看作是在两条直线内,且被第三条直线所截得的两个角(在截线同旁),比照各选项角的定义进行判断即可. 【解析】 由于三角形的每两个内角都是在三角形两边所在的直线内,且被第三条直线所截的同旁,因此它们都互为同旁内角; 故选C.
三角形的三个内角和等于多少度
很容易发现这个角和与它相临的三角形内角相加为一平角(180度),所以它们是邻补角。再过这个内角的顶点作一条直线平行于这个角的对边,将那个外交分成两个角。利用两直线平行,同位角相等,内错角相等,可以证明三角形另外两个角分别于这个外交分出来的两个角相等。则三角形三个内角之和就等于其中那个...
等边三角形3个内角的度数都是多少度
等边三角形3个内角的度数都是60度。分析过程如下:等边三角形的三个内角相等,再根据三角形的内角和是180度,由此可得:每个内角的度数=180÷3=60度。
一个三角形的三个内角何为多少
180度。
三角形角的内角是什么,急
这三个红色的角就是三角形的内角,这是一个锐角三角形,还有钝角三角形 ,直角三角形 按角分 判定法一: 锐角三角形:三个角都小于90度. 直角三角形:简称Rt△(Right triangle),其中一个角必须等于90度. 钝角三角形:有一个角大于90度.[1] 判定法二: 锐角三角形:最大角小于90...
三角形的三个内角分别为
三角形的内角和为:180度 等边三角形:60\/60\/60 等边直角三角形:45\/45\/90
一个三角形的3个内角度数的比是7比三比二,这个三角形三个内角分别是多少...
您好,寒樱暖暖为你解答:180×7\/(7+3+2)=105度 180×3\/(7+3+2)=45度 180×2\/(7+3+2)=30度 这三个内角分别是105、45和30度 如果你认可我的回答,请及时点击【采纳为满意回答】按钮,(或在客户端右上角评价点【满意】)你的采纳,是我前进的动力! 你的采纳也会给你带去财富...
三角形的三个内角可以拼成一个什么角
把一个三角形的三个内角拼在一起,正好拼成一个(平)角,是(180)度
查许福卡:[答案] 在0到90度之间,各角度的正切值都是大于0得,即tanA>0,tanB>0,tanC>0,三个正数的乘积仍为正数,即tanA*tanB*tanC>0,证毕.
武陵源区19263354775: 用正弦定理证锐角三角形3个锐角正切积大于1 - ?
查许福卡: 首先证明这样一个结论 :三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC 证明如下 tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)= -(tanB+tanC)/(1-tanBtanC) =(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) 所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC 所以...
武陵源区19263354775: 用正弦定理证锐角三角形3个锐角正切积大于1 - ?
查许福卡:[答案] 首先证明这样一个结论 :三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC 证明如下 tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)= -(tanB+tanC)/(1-tanBtanC) =(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) 所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC tanA*tanB*tanC - ...
武陵源区19263354775: 怎样证明锐角三角形ABC中,tanA+tanB+tanC>0 - ?
查许福卡: 锐角三角形三个内角都是锐角,所以三个角的正切值都大于0,所以他们的正切值的和大于0
武陵源区19263354775: 在锐角三角形中,求证三个内角正切之和等于三个内角正切之积 - ?
查许福卡: 假设三个内角分别是A,B,C,则C=180-A-B 所以tanC = tan((90-A) + (90-B)) = [tan(90-A) + tan(90-B)] / [1 - tan(90-A)tan(90-B)] = (ctgA + ctgB) / (1-ctgActgB) 《--上下同时乘以tanAtanB = (tanA + tanB) / (tanAtanB - 1) 所以tanA + tanB + tanC = tanA...
武陵源区19263354775: 在三角形abc中为什么角A角B的正切之积大于一则ABC为锐角三角形在线等 - ?
查许福卡:[答案] 因为tanA*tanB>1, 即tanA*tanB-1=(sinA*sinB-cosAcosB)/(cosAcosB)=-cos(A+B)/(cosAcosB)>0 若AB中有一个角大于90°,则A+B必然大于90°,则上式不成立,所以AB均小于90°, 且A+B大于90°,所以三角形为锐角三角形
武陵源区19263354775: 三角形ABC中,求证:三个内角正切值的积等于正切值的和. - ?
查许福卡:[答案] tanC=tan(180°-A-B)=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 所以tanC(1-tanAtanB)=-(tanA+tanB) tanC-tanAtanBtanC=-(tanA+tanB) 所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
武陵源区19263354775: 证明:锐角三角形任意两个内角的正切值的积大于1要详细点的,用初中的知识,这个是初三的题... - ?
查许福卡:[答案] 设一个角为A,另一个为B,最后的为C 因为C90 所以A+B是第二象限角 所以cos(A+B)
武陵源区19263354775: 为什么三角形三个角的正切值都大于1,那么这个三角形就是锐角三角形 - ?
查许福卡: 正切值大于1,表示正弦值大于余弦值,在0到二分之pai之内成立,所以是锐角
武陵源区19263354775: 在锐角三角形abc中请证明这三个内角的正弦值的和大于这三个内角余弦值的和?
查许福卡: 延长一边做直角,用对边比邻边,余弦等于对边比斜边