锐角三角形三个内角的正切值的积大于1证明

试证明在锐角三角形中，任意两个角的正切值大于1(初中数学)~

解析：
利用三角函数的定义，把tanA•tanB用线段的比表示，实现边角的相互转化，即可证明
证明：
以∠A、∠B为例证明，如图
以AB为直径作半圆，则点C必在圆外．设半圆交高CD于点M．
∴tanA•tanB＝(CD/AD)•(CD/DB)＞(MD/AD)•(MD/DB)＝(MD²)/(AD•DB)
∵AB为直径
∴∠AMB＝90°，且MD⊥AB
易证△AMD∽△BMD
∴AD/MD＝MD/DB
即MD²＝AD•DB
∴tanA•tanB＞1

90°角为π/2弧度
可以使用泰勒展开得到
tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!
显然减去x之后，后面的项都是正数，当然大于0
或者(tanx-x)'=1/cos²x -1=(1-cos²x)/cos²x
锐角时导数恒大于0，而tan0 -0=0
即tanx-x恒大于0，得到锐角的正切值大于弧度值

因为 ： tanC=-tan(A+B)=(tanA + tanB)/(tanAtanB-1),

化简得：tanAtanBtanC=tanA + tanB + tanC

又因为A，B，C都是锐角所以必有一个大于45°，否则A+B+C<135≠180°。

所以 ： tanAtanBtanC=tanA + tanB + tanC>1

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三角形等积变形的应用
时间：2009-12-25 作者： 来源：北京新东方

①等底等高的两个三角形面积相等．

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

③夹在一组平行线之间的等积变形
如；
反之如果
则可知直线平行于

上述的几个性质是小学三角形面积的基础，可以说，绝大部分的求面积题目都是由这几个基本性质变化来的，包括求面积常用的几何五大模型，也是这几个性质的更高层次应用。

下面给大家看两个最常见的用等积变形性质解决的例题：

【例1】如图，已知三角形面积为1，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．

分析：本题是性质的反复使用

连接AE、CD.

同理可得其它，最后三角形的面积=18.

例2】如图，四边形的面积是66平方米，，，，，求四边形的面积。

分析：连接 设

∵

又∵
∴
同理
∴
连接AC，同理

∴
（平方米）

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武陵源区19263354775： 在锐角三角形中怎样求证三角形三个内角各自的正切值的乘积大于零 - ？
查许福卡：[答案] 在0到90度之间,各角度的正切值都是大于0得,即tanA>0,tanB>0,tanC>0,三个正数的乘积仍为正数,即tanA*tanB*tanC>0,证毕.

武陵源区19263354775： 用正弦定理证锐角三角形3个锐角正切积大于1 - ？
查许福卡： 首先证明这样一个结论 :三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC 证明如下 tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)= -(tanB+tanC)/(1-tanBtanC) =(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) 所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC 所以...

武陵源区19263354775： 用正弦定理证锐角三角形3个锐角正切积大于1 - ？
查许福卡：[答案] 首先证明这样一个结论 :三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC 证明如下 tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)= -(tanB+tanC)/(1-tanBtanC) =(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) 所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC tanA*tanB*tanC - ...

武陵源区19263354775： 怎样证明锐角三角形ABC中,tanA+tanB+tanC>0 - ？
查许福卡： 锐角三角形三个内角都是锐角,所以三个角的正切值都大于0,所以他们的正切值的和大于0

武陵源区19263354775： 在锐角三角形中,求证三个内角正切之和等于三个内角正切之积 - ？
查许福卡： 假设三个内角分别是A,B,C,则C=180-A-B 所以tanC = tan((90-A) + (90-B)) = [tan(90-A) + tan(90-B)] / [1 - tan(90-A)tan(90-B)] = (ctgA + ctgB) / (1-ctgActgB) 《--上下同时乘以tanAtanB = (tanA + tanB) / (tanAtanB - 1) 所以tanA + tanB + tanC = tanA...

武陵源区19263354775： 在三角形abc中为什么角A角B的正切之积大于一则ABC为锐角三角形在线等 - ？
查许福卡：[答案] 因为tanA*tanB>1, 即tanA*tanB-1=(sinA*sinB-cosAcosB)/(cosAcosB)=-cos(A+B)/(cosAcosB)>0 若AB中有一个角大于90°,则A+B必然大于90°,则上式不成立,所以AB均小于90°, 且A+B大于90°,所以三角形为锐角三角形

武陵源区19263354775： 三角形ABC中,求证:三个内角正切值的积等于正切值的和. - ？
查许福卡：[答案] tanC=tan(180°-A-B)=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 所以tanC(1-tanAtanB)=-(tanA+tanB) tanC-tanAtanBtanC=-(tanA+tanB) 所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

武陵源区19263354775： 证明:锐角三角形任意两个内角的正切值的积大于1要详细点的,用初中的知识,这个是初三的题... - ？
查许福卡：[答案] 设一个角为A,另一个为B,最后的为C 因为C90 所以A+B是第二象限角 所以cos(A+B)

武陵源区19263354775： 为什么三角形三个角的正切值都大于1,那么这个三角形就是锐角三角形 - ？
查许福卡： 正切值大于1,表示正弦值大于余弦值,在0到二分之pai之内成立,所以是锐角

武陵源区19263354775： 在锐角三角形abc中请证明这三个内角的正弦值的和大于这三个内角余弦值的和？
查许福卡： 延长一边做直角,用对边比邻边,余弦等于对边比斜边