一道奥数题 Z的模=1 与 Z的3次方+Z的2次方+Z-1=0 的交点有几个
大家都知道1+2+3+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2,现在咱们推导
1^4+2^4+3^4+……+n^4:
我们知道(n-1)^5=n^5-5n^4+10n^3-10n^2+5n-1
那么有
n^5-(n-1)^5=5n^4-10n^3+10n^2-5n+1
(n-1)^5-(n-2)^5=5(n-1)^4-10(n-1)^3+10(n-1)^2-5(n-1)+1
(n-2)^5-(n-3)^5=5(n-2)^4-10(n-2)^3+10(n-2)^2-5(n-2)+1
……
3^5-2^5=5*3^4-10*3^3+10*3^2-5*3+1
2^5-1^5=5*2^4-10*2^3+10*2^2-5*2+1
1^5-0^5=5*1^4-10*1^3+10*1^2-5*1+1
左边相加等于右边,
左边之和为n^5,
右边为5*(1^4+2^4+3^4+……+n^4)-10(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+10(1^2+2^2+3^2+……+n^2)-5(1+2+3+……+n)+n
令1^4+2^4+3^4+……+n^4=M
得到n^5=5M-10[n(n+1)/2]^2+10n(n+1)(2n+1)/6-5n(n+1)/2+n,
上面的式子中有个M,解出
M=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30.
即1^4+2^4+3^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30.
补:
1^5+2^5+3^5+……+n^5
=n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12.
用平方差
=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)……(1-1/10)(1+1/10)
=(1/2)(3/2)(2/3)(4/3)……(9/10)(11/10)
中间约分
=(1/2)(11/10)
=11/20
把第二个方程化一下，得Z(Z²+Z+1)=1,两边取模，得（Z²+Z+1)的模=1。
设Z=x+yi(i是虚数单位，x,y为所设的参数，且x²+y²=1）然后代入最后解出x,y。（解方程时要时刻注意x²+y²=1，两式联立时可以使运算简便，不用把平方开出来）结果是两个3次单位根。LZ你对了，我先算错了。
设y=z^3+z^2+z-1
问题可以转化为 y在-1到1之间有几个交点
对y求导得 y'=3y^2+2z+1 配方得 恒大于0
所以 y在R上是增函数 值域也是R
所以 有两个交点
0个。分实数虚数讨论
二个交点
雍满鹭鸶： ^Z的左移3/4 1/2,我想你的形象应该是一个抛物线,如果您的z成为一个实数.:Z ^ 2-Z +1 =(Z-0.5)^ 2 + 0.75(Z-0.5)^ 2为中心的半径为1,实轴0.5模最大的价值:[-0.5,1.5]加0.75,是 [0.25,2.25]
四川省19512396492： (z - 3)/(z - 2)的模大于等于1.求z的范围 - ？
雍满鹭鸶： 首先z不等于2 若z>3,则z-3>0,z-2>0,z-3若z<2,则z-3<0,z-2<0,z-3丨z-2丨,(z-3)/(z-2)=丨z-3丨/丨z-2丨>1成立 若2<3,则-1<0,0<1,丨(z-3)/(z-2)丨=(3-z)/(z-2)>=1,即3-z>=z-2即z<=5/2,即2<=5/2 综上所述,z的范围是z<2或2<=5/2 望采纳~~~!!!
四川省19512396492： 关于数学复数的一个计算z是一个复数./z/(z的模)=1+3i - z 求(1+3i)(1+3i)(3+4i)(3+4i)/2z - ？
雍满鹭鸶：[答案] 设z=a+bi /z/(z的模)=1+3i-z =(1+a)+(3-b)i 因为|z|是实数,不是复数 3-b=0 b=3 |z|=√(a^2+b^2)=(1+a) a=4 z=4+3i 1/z=(4-3i)/25 (1+3i)(1+3i)(3+4i)(3+4i) =(-8+6i)(-7+24i) =88-234i (1+3i)(1+3i)(3+4i)(3+4i)/2z =(88-234i)(4-3i)/50 =-7-20i
四川省19512396492： z的模等于1求z^2 - 2z - 3的最小值 - ？
雍满鹭鸶： 题目有点问题吧.虚数怎么可能有最值,需要带上模符号 z^2-2z-3=(z-1)^2-4 显然,只需要求(z-1)^2的最小值 而|z|=1,所以(z-1)^2表示圆上一点到(1,0)上的距离的平方的最小值 显然最小值为当点位(1,0)时,最小值为0 所以z^2-2z-3最小值为-4
四川省19512396492： 复数Z的模是1,求Z^2 - Z+1的模的最大值与最小值 - ？
雍满鹭鸶： 我有个好办法: ∵|z|=1 ∴|z^2-z+1|=|z(z+1/z-1)|=|(z+1/z-1)|=|2rez-1|(z=1/z=z的共轭) ∵rez∈[-1,1]∴原式得最大值为3,最小值为0
四川省19512396492： 若复数Z满足/Z/=1,则/Z - 3 - 4i/的最小值为? - ？
雍满鹭鸶： 我说说思路,数形结合 复数的模=1,说明了在复平面上,Z位于半径=1的圆周上./Z-3-4i/表示的是点Z到3+4i的距离,那么/Z-3-4i/的最小值就是圆上距离3+4i最近的点到3+4i的距离.连接圆心即0点和3+4i,该线段长度为/3+4i/=5,减去半径1,所以/Z-3-4i/得最小值为4 第2题思路一样,就是Z的轨迹是以-1+i即(-1,1)为圆心,半径为2的圆,找出与2-i最远的点.第3题先把/3+4i/=5,那么Z就是以i即(0,1)为圆心,半径为5的圆
四川省19512396492： 一道关于复数的题 复数Z满足Z的模=1 且w=z^4 - z^3 - 3iz^2 - z+1 求w的模的最小值以及相应的Z - ？
雍满鹭鸶： 提示一下:|w|=|w/z^2|,再令z=x+iy,1/z=x-iy,把w/z^2用x表示出来即可
四川省19512396492： 已知复数满足z - 1的模等于1,求z - i的模的最小与最大值 - ？
雍满鹭鸶：[答案] 设z=x+yi |z-1|=1 (x-1)²+y²=1 设x-1=cosa ,y=sina |z-i| =√[x²+(y-1)²] =√[(cosa+1)²+(sina-1)²] =√(cos²a+2cosa+1+sin²a-2sina+1) =√[3+2(cosa-sina)] =√[3+2√2(cos(a+π/4)] 所以|z-i|的最小值=√(3-2√2)=√2-1 最大值=√(3+2√2)=√2+1 符...
四川省19512396492： 一道复数的题 若Z1的模=1 Z2的模=1 Z1+Z2的模=1 则Z1 - Z2的模等于多少 写出详细解题步骤 - ？
雍满鹭鸶： |z1|=1 |z2|=1 |z1+z2|=1 ||z1+z2|=√[|z1|²+2z1z2+|z2|²]=√[2+2z1z2]=1 得 2z1z2=-1 所以 |z1-z2|=√[|z1|²-2z1z2+|z2|²]=√[1+1+1]=√3
四川省19512396492： 已知复数z满足z=1求z³ - 3z 2的最大值 - ？
雍满鹭鸶： 因为题目不太清,所以下面为两种猜测: 1)|z|=1,| z^3 - 3z^2 | 的最大值为 4; 2)|z|=1,| z^3 - 3z + 2 | 或 | z^3 - 3z - 2 | 的最大值都为 2√5; ------------------------------- 解析: 1)(z^3 - 3z^2) 的模最大,z^3 与 -z^2 就要在同一方向上,即 z^3 与 -z^2 的辅角主...
