为什么伴随矩阵的秩等于其列向量的秩？
因为行列式A的第i行(或列)与其它行(或列)对应的代数余子式的积=0。
矩阵A的伴随矩阵A*是A的各个元的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵。
A与A*相乘得一新矩阵为对角矩阵。
主对角线上所有元为|A|，其它元为0。
所以AA*=|A|E。
同样，A*A=|A|E。
扩展资料
定理设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。
只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。
令A为n×n矩阵。
若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。
若A有两行或两列相等，则det(A)=0。
这些结论容易利用余子式展开加以证明。
矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系?
矩阵的秩与其伴随矩阵的秩之间存在紧密的关系。当矩阵A的秩r(A)等于其阶数n时，意味着矩阵A的行列式|A|不为零，进而其伴随矩阵A*的行列式|A*|也不为零，因此r(A*)同样等于n，显示了秩的相等性。另一方面，当r(A)=n-1时，虽然|A|为零，但这并不意味着A*没有秩。由于矩阵A至少有一个不...
矩阵的秩和伴随矩阵的秩之间有什么关系
具体来说，伴随矩阵的秩与系数矩阵的秩之间存在一定的规律。在一般情况下，伴随矩阵的秩并不会超过原矩阵的秩。换句话说，原矩阵的秩至少会等于其伴随矩阵的秩。当矩阵可逆时，伴随矩阵与原矩阵具有相同的秩。但需要注意，伴随矩阵的秩并不一定会与原矩阵完全一致。在某些特定情况下，如果原矩阵经过初等...
伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系
矩阵的秩是指矩阵中非零行（或列）的最大个数，也可以理解为矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数。秩可以用来描述矩阵的线性相关性和维度。伴随矩阵是指一个矩阵的转置矩阵的代数余子式组成的矩阵。伴随矩阵在矩阵求逆、解线性方程组等应用中具有重要的作用。现在我们来探讨伴随矩阵的秩和原矩阵的...
矩阵伴随矩阵的秩是什么?
如果A的秩是小于n-1的话，伴随矩阵的秩是0。矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：AA*=|A|E=0，从而r(A)+r(A*)...
四阶方阵的行列式为1那么他的伴随矩阵的秩等于
即A伴随的秩是4
矩阵与伴随矩阵的秩的关系是什么?
矩阵与伴随矩阵的秩的关系是：R(A)=n，即A可逆，$A^{*}A=E$，秩为n。R(A)=n-1时，则至少有一个n-1代数余子式不为0，即秩≥1。又由线性方程组理论矩阵A和其伴随矩阵秩的和≤n，可得秩为1。R(A)＜n-1时，n-1代数余子式全为0，即伴随矩阵为零矩阵。解析：注意到，由上述分析，...
伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系
矩阵伴随的秩=矩阵的秩。矩阵伴随的最小非零子式一定是由矩阵的部分行或列构成的，而矩阵的部分行或列中的线性无关的列向量或行向量个数一定不会超过矩阵的秩。因此，矩阵伴随的秩一定不会超过矩阵的秩。矩阵伴随的最小非零子式一定是由矩阵的部分行或列构成的，而这些部分行或列中的线性无关的列...
伴随矩阵的秩是什么?
如果A的秩为n-1，那么A的伴随有n-1个为0的特征值和1个非0特征值。如果A的秩小于等于n-2，那么A伴随的特征值全为0。
矩阵的秩和伴随矩阵的秩之间有什么关系
矩阵秩与伴随矩阵秩之间存在紧密的关系。首先，当一个方阵A的秩r(A)等于其阶数n时，由于|A|不为零，其伴随矩阵A*的行列式也不为零，因此r(A*)同样等于n。其次，若r(A)=n-1，尽管|A|=0，但A至少存在一个n-1阶非零子式，这保证了A*至少有一个非零元素，从而r(A*)大于等于1。进一步...
伴随矩阵的秩是什么意思?
伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系如下：1、当r(A)=n时，|A|≠0,所以|A*|≠0，所以r(A*)=n。2、当r(A)=n-1时，|A|=0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0（秩的定义），所以r(A*)大于等于1（A*的定义）。为了证明r(A*)=1，下面证明 r(A*) 小于等于1。这里利用公式AA...
蠹嵇西罗： 向量组的秩是其中极大线性无关组向量的个数.你三个列向量虽然都不为0,但是任何两个都可以线性表示第三个,只有2个是线性无关的,所以是2
本溪市13427105782： 矩阵的“秩”和伴随矩阵的“秩”之间有什么关系? - ？
蠹嵇西罗： 根据伴随矩阵的元素的定义:每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以(-1)的i+j次方的代数余子式.有: 1.当r(A)=n时,由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B),并且r(AA*)=r(I)=n,则,伴随的秩为n; 2.当r(A)=n-1时,r(AA*)=|A|I=0,加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB),带入得到,r(A*)=1; 3.当r(A)<n-1时,由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零,所以秩为零.
本溪市13427105782： 请问老师,为什么“矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩”? - ？
蠹嵇西罗： 都是大姨妈的回答,看你大表叔我的~首先为了帮助你明白,你先要弄清楚2个定义:矩阵的秩的定义:存在K阶子式不为0,对任意K+1阶子式均为0,则k即为矩阵的秩.向量组的秩的定义:向量组的极大线性无关组所包含向量的个数,称为向量...
本溪市13427105782： 向量组的秩1.为什么说矩阵的秩等于向量组的秩 - ？
蠹嵇西罗： 向量组的轶指的是极大线性无关组中向量的个数 矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶.
本溪市13427105782： 证明:矩阵的秩和向量组秩相等 - ？
蠹嵇西罗： 1.矩阵的秩和向量组秩相等以列向量,因为,初等变换不改变矩阵的秩.并且,向量组的矩阵经初等变换后得到的向量组与原向量组有相同的线性关系,进而有相同的秩. 故矩阵的秩与其列向量组的秩相同.2.求矩阵的行秩时用初等行变换,那求列秩呢 初等列变换没有意义吧并没有规定求矩阵的行秩(实际上你应该表达的是列秩)只能使用行变换,因为第一个命题,其实行列变换都可以用,只是在求列向量组的极大无关组时才只能用行变换.在求行向量组的极大无关组时只能用列变换.
本溪市13427105782： 为什么说任意一个矩阵的列向量的秩等于行向量的秩,例如1 1 1为什么说任意一个矩阵的列向量的秩等于行向量的秩,例如1 1 1 0 2 5 0 0 0 这个矩阵,行向... - ？
蠹嵇西罗：[答案] 向量组的秩是其中极大线性无关组向量的个数.你三个列向量虽然都不为0,但是任何两个都可以线性表示第三个,只有2个是线性无关的,所以是2
本溪市13427105782： 请问矩阵的秩和向量组的秩在定义上和计算方法上有什么关系? - ？
蠹嵇西罗： 两者的定义你说的都对 两者的关系是 矩阵的秩等于矩阵列向量组的秩(即列秩), 而不是等于列数 矩阵的秩 也等于行向量组的秩, 即行秩计算矩阵的秩: 用初等行变换化为梯矩阵, 非零行数即矩阵的秩 列变换也可用, 但行变换足够计算向量组的秩: 将向量按列构成矩阵, 用初等行变换化梯矩阵, 非零行数即向量组的秩, 非零行的首非零元所在列对应的向量构成一个极大无关组
本溪市13427105782： 矩阵的秩等于r的充分必要必条件是的列向量组的秩和行向量组的秩都等于 - ？
蠹嵇西罗： 有一个定理:矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩.所以,矩阵的秩等于r的充分必要必条件是的列向量组的秩和行向量组的秩都等于r.
本溪市13427105782： 线性代数中对矩阵的秩如何理解? - ？
蠹嵇西罗： 一般来说,如果将矩阵视为行向量或列向量,则秩是这些行向量或列向量的秩,即,包含在最大独立组中的向量数.在线性代数中,矩阵A的列秩是A的线性独立垂直列的最大数量.同样,行秩是A的线性独立水平行数的最大数量. 矩阵秩是反...
本溪市13427105782： 证明一个矩阵的行秩等于它的列秩 - ？
蠹嵇西罗： 令A是一个m*n的矩阵,其列秩为r. 令A的列的一组基为c1,c2,...cr,并记矩阵C=(c1,c2,...cr). 显然A的每个列向量是c1,c2....cr这r个列向量的线性组合. 设A的第i列ai=bi1c1+bi2c2+....+bircr ,令B=(bij) 这是一个r*n矩阵 有A=CB 再观察A的行向量,有A=CB知A 的每个行向量都是B的行向量的线性组合,因此A的行秩 ≤R 的行秩. 但R仅有r行, 所以A的行秩 ≤r =A 的列秩. 这就证明了A的行秩 ≤A 的列秩类似可知A的列秩=A的转置的行秩 ≤A的转置 的列秩=A的行秩 所以A的行秩=A 的列秩
