设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A+I)=n

设A为n阶矩阵,满足A²=A.试证:r(A)＋ r(A-I)=n~

具体回答如图：

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号。
扩展资料：
将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。
在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。
参考资料来源：百度百科——矩阵

可以的 是R(A)+R(A-E)=n


提示：A*(A-E）=0 所以 （A-E）是AX=0的解

（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n，否则是错的。例：取A=I，则A^2=I=A，但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）

证法一：

令U={x∈R^n|Ax=0}为A的解集，则dim(U)=n-rank(A)；
令V={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为(A-I)的解集，则dim(V)=n-rank(A-I)。
两式相加得dim(U)+dim(V)=2n-[rank(A)+rank(A-I)]。

声明：R^n=U⊕V。
证明：(1)U∩V=0：x∈U∩V则Ax=0且Ax=x，所以x=0；
(2)U+V=R^n：对任意x∈R^n，定义x1=x-Ax,x1=Ax，则x=x1+x2；且由A(Ax)=(A^2)x=Ax易知Ax1=Ax-Ax=0,Ax2=Ax=x2，所以x1∈U,x2∈V。

所以dim(U)+dim(V)=n。代入上式得rank(A)+rank(A-I)=n。

证法二：

由A^2=A，A有化零多项式f(x)=x^2-x=x(x-1)。A的最小多项式p(x)必整除f(x)，且f(x)无重根，所以p(x)无重根，所以A可对角化。A的特征值都是p(x)的根，所以都是f(x)的根，只能是0或1。所以A相似于对角元全为0或1的对角阵D。
A相似于D，所以rank(A)等于rank(D)，等于D中1的个数；
A-I相似于D-I，所以rank(A-I)等于rank(A-I)，等于D中0的个数。
所以rank(A)+rank(A-I)等于D的阶，即n。

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铁东区19344617199： 大学题目 线性代数 设A是n阶实对称矩阵且满足A2=A,又设A的秩为r . 请证明A的特征值为1或0设A是n阶实对称矩阵且满足A2=A,又设A的秩为r . 请证明A的... - ？
郁斩利君：[答案] 证明: 设r是A的特征值,x是r对应的特征向量,则: x不等于零向量; Ax=rx AAx=A(rx)=r^2x=Ax=rx (r^2-r)x=0 x不等于零向量,故 r^2-r=0 所以 r=0 或 1

铁东区19344617199： 如果n阶矩阵A满足A2=A,则称A是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是0或1. - ？
郁斩利君：[答案] 设λ是A的特征值,所以Aα=λα.α≠0是对应的特征向量. 上式两边左乘上A,得到;(A^2)α=Aλα=λAα=(λ^2)α 因为A^2=A,所以(A^2)α=Aα 所以(λ^2)α=λα [(λ^2)-λ]α=0 因为α≠0,所以(λ^2)-λ=0,解得λ=0或1.

铁东区19344617199： 设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A+I)=n在下感激不尽! - ？
郁斩利君：[答案] (结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的.例:取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n)证法一:令U={x∈R^n|Ax=0}为A的解集,则dim(U)=n-rank(A);令V={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为...

铁东区19344617199： 设A为n阶方阵,且满足A2=A,证明:秩(A)+秩(A - E)=n,其中E为n阶单位矩阵. - ？
郁斩利君：[答案] 证明:由A2=A,得A(A-E)=0,因此r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≤n, 又r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n ∴r(A)+r(E-A)=n

铁东区19344617199： 已知n阶矩阵A满足A2=A,证明:A=I或detA=0. - ？
郁斩利君：[答案] 证明:∵A2=A, ∴A(A-I)=0, 若detA≠0, 则A 可逆. 则A-I=A-1A(A-I)=A-10=0, ∴有A=I. 故A=I或detA=0.

铁东区19344617199： 27.设n阶矩阵A满足A2=A,证明E - 2A可逆,且(E - 2A) - 1=E - 2A. - ？
郁斩利君：[答案] 要证明E-2A可逆 我们可以假设其可逆,并设其逆为aE+bA 则(E-2A)(aE+bA)=E 那么aE+(b-2a)A-2bA^2=E 又A^2=A 那么(a-1)E-(b+2a)A=0 所以a-1=0,b+2a=0 所以a=1,b=-2 故E-2A可逆,且其逆是(E-2A)^-1=E-2A

铁东区19344617199： 设A是N阶方阵,若A2=A,证A不是可逆矩阵或者A=IA=I好证,如何证不可逆,或者说用反正法如何写过程 - ？
郁斩利君：[答案] 这类题目的结论是 或者A或者B, 证明方法是否定一个,推出必有另一个. 证明:若A可逆,(否定A不可逆) 由 A^2=A,等式两边左乘A^-1 得 A=I. 故 A不可逆 或 A=I.

铁东区19344617199： 设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r,则A - E的秩为n - r,其中E是n阶单位矩阵. - ？
郁斩利君：[答案]因为:A2=A,所以:A(A-E)=0, 则:r(A)+r(A-E)≤n, 又因为:r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n, 所以:r(A)+r(A-E)=n, 则:r(A-E)=n-r, 证毕.

铁东区19344617199： 设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A - I)=n.能用大学的线性代数知识来证明吗? - ？
郁斩利君： 可以的 是R(A)+R(A-E)=n提示:A*(A-E)=0 所以 (A-E)是AX=0的解

铁东区19344617199： 设n阶方阵A满足A²=A,证明:A或是单位矩阵,或是不可逆矩阵希望能写出具体思路. - ？
郁斩利君：[答案] 其实很简单…… A²=A A(A-E)=O |A|*|A-E|=0 于是|A|=0或|A-E|=0. |A|=0时A为不可逆矩阵. |A-E|=0时,A可逆.由于r(AB)>=r(A)+r(B)-n,又A(A-E)=O,r(A-E)必须为0.所以A为单位阵.