数论中最具创新和美丽的证明之一，等差级数的狄利克雷定理
1837年，狄利克雷开始思考一个问题，这个问题彻底改变了我们研究整数的方法。数学家们知道素数有无限多（公元前300年欧几里得证明了这一点），但在当时，研究自然数子集中的素数似乎是遥不可及的。但后来狄利克雷有了一个好的想法。当时的先驱们正在积极地发展复变分析，创造出了许多分析工具。他利用这些工具来研究整数，从而将复分析和数论结合起来。
他想要解决的问题是：对于任意两个互质整数a和m，有无穷多个a+nm形式的质数，其中n是一个正整数。狄利克雷证明了这个命题，现在这个定理以他的名字命名，叫做等差级数的狄利克雷定理。为了证明这一点，狄利克雷发明了一类完全乘性函数，现在称为狄利克雷特征（Dirichlet characters）。
狄利克雷特征设m为自然数。模m的狄利克雷特征是函数χ：ℤ→ℂ，从整数到复数，满足以下条件：
1. χ(1)=1
2. 如果a和b互质，则χ(ab)=χ(a)χ(b)
3. χ(n^2)=1，对于所有奇素数n
4. χ(n)=0，对于所有其他正整数n
从这些性质，还可以推导出其他一些性质。例如，根据上面的第二个性质：χ(1)≠0，因此，我们可以除以它，得到χ(1)χ(1)=χ(1)⋅1=χ(1)，这意味着，对所有特征都有顷春搏χ(1)=1。所以我们有：
我们称这个符号为特征的奇偶校验；如果χ(-1)=1，则称其为偶，如果χ(-1)=-1，则称其为奇。注意，对于任何模m，有一个特殊的特征称为主特征χ0 mod m。它由以下方法定义：
其他一些属性是可派生的。其最重要的性质之一是它们都是乘法群之间的同态，因此在复平面的单位圆上取值。我们在这里不讨论特征的群方面，开始之前，有两个知识需要知道。
第一个是欧拉函数ϕ。我们定义ϕ(n)为小于n的正整数中与n互质的数的数目。即森虚自然数k＜n使gcd(k, n)=1。例如，ϕ(10)=4，因为有4个小于10的自然数与10互质。
我们需要知道的第二个知识是关于狄利克雷特征的一个事实叫做正交关系：
这里求和是所有模为m的特征，第一个特征上的横杠是这个特征的复共轭。
从欧拉函数到L-函数欧拉研究了ζ函数，发现素数和自然数之间有一个美丽的联系，称为欧拉乘积。令s＞1，那么：
s实际上可以是复数（由黎曼推广），但在欧拉的时代，复数分析还处于初级阶段，他只考虑s为实值。
这实际上给出了“有无限多个素数”的另一个证明。欧拉注意到如果对方程两边取对数会发生一些有趣的事情：
现在回想一下对数的泰勒级数展开：
因此我们得到，当s向右趋近于1：
我们看到，logζ(s)=∑1/p^s加上某个有界函数。有很多方法来证明这个渐近界O(1)。一种方法是回到对数的和。我们可以用微积分的各种方法证明，如果0＜x≤1/2，那么-log(1-x)＜x+x²。
因为对于所有质数p和s＞1，1/p^s≤1/2，我们可以用这个引理代入得到：
这显示了一个显式的边界和欧拉著名的巴塞尔问题解的一个很好的应用。通过这种方法，我们不仅确定了有无限多个质数，而且知道∑1/p是发散的。这样，我们就可以有把握地说，质数在自然数中比平方数的密度大。
尽管质数倒数的和发散的速度很慢。实际上，我们可以从上面看到它的发散近似于loglogx。这是一个增长极其缓慢的函数。例如，这个函数要超过数字4，需要x大于：
这是一个有24位的数字。狄利克雷的想法是试图将这个结果推广到素数的子集即等差数列中的素数。注意下面的等差数列：
可以表示为：
换句话说，狄利克雷想要证明，如果gcd(a, m)=1，我们得到的结果：
是发散的。
为了做到这一点，狄利克雷有了第二个奇迹般的洞察。结果是ζ函数有很多“表亲”，它们显示出和ζ函数相同的性质包括欧拉乘积。这类函数是狄利克雷的第二大发现。
由于狄利克雷特征是完全乘性的，因此它们对应的狄利克雷级数也有欧拉积。具体地说，我们有关于χ的狄利克雷L-级数的定义：
我们假设s＞1。
这也可以定义为复数s。通过解析延拓，这个函数可以扩展为整个复平面上的亚纯函数，称为狄利克雷L-函数。
在复平面上定义ζ函数时，称为黎曼ζ函数。
因为所有的狄利克雷特征都是完全乘性的，这个级数也有一个欧拉积，：
注意，对于具有平凡特征的狄利克雷L-级数的定义，即χ(n)=1对于所有n，给出了通常的带有欧拉乘积的ζ函数。这使得狄利克雷L-函数成为了ζ函数的推广。
事实上，这些函数与黎曼ζ函数非常相似，它们不仅具有等价的欧拉乘积，而且在Re(s)=1/2这条线周围有一个漂亮的对称关系。此外，它们被期望满足一个与黎曼假设等价的命题，但这尚未得到证明。
狄利克雷的证明一旦狄利克雷建立了特征的欧拉积，接下来的逻辑步骤是对两边取对数，得到质数的和：
再一次，通过类似于上面的论证，我们可以用渐近函数来重写它：
这仅仅意味着，当s→1时，右边的和的增长近似于左边。从这里，狄利克雷有了一个伟大的想法。他用正交关系把它变成了他想要的形式。具体地说，如果我们在上面的方程两边乘以χ(a)的复共轭，然后用模m对所有的特征求和，我们得到如下结果：
这太神奇了。狄利克雷用他的特征定义了一个（全纯）函数，它是等差数列：
中所有素数的和。
现在，狄利克雷“只”需要证明左边在s→1时发散。
证明这一点的策略是，通过将特征分组到三个不相交的集合，：
这样做的原因之一是，对于任何非主特征的χ，结果表明级数L(s，χ)对于s>0是收敛的。
其策略是证明L(s，χ0)在s=1处有一个简单的极，即对应的L级数是发散的，如果χ是一个非主特征，则L(1，χ)≠0。
第二个原因是，我们需要确保L(s，χ0)的极点不会被“log(0)”这样形式的负无穷吞噬。
第一个（主特征），很简单，可以用很多方法证明。例如，我们可以检验，
观察一下，右边除模m的质数的乘积总是有限的——事实上，当s=1时，你可以检查它等于ϕ(m)/m。所以左边的级数从ζ(s=1)继承了极点。
因此，最重要的是证明L(1，χ)对任何非主特征都不等于0。
复数的情况比较简单，因为如果我们对相应的L级数的所有特征取一个乘积，
那么首先，可以证明
我们可以把L-级数的对数写成另一个级数，在这种情况下更容易处理。
第二（复特征），由于主特征的L-级数在s→1时发散，乘积中最多只能有一个零因子，否则，它将是0，与它大于1相矛盾。但如果χ是一个复数，那么它的共轭复数也是不同的，但如果一个是0，另一个也是不同的。因此，对于复χ， L(1，χ)≠0。
二次特征的情况更加微妙，超出了本文的范围。
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